人教版高数必修三第8讲:变量间的相关关系(教师版)教学内容.docx
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1、此文档仅供收集于网络,如有侵权请联系网站删除变量间的相关关系_1.通过收集现实问题中两个有关联变量的数据认识变量间的相关关系.2.明确事物间的相互联系.认识现实生活中变量间除了存在确定的关系外,仍存在大量的非确定性的相关关系,并利用散点图直观体会这种相关关系.3.经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程1相关关系(1)定义:如果两个变量中一个变量的取值一定时,另一个变量的取值带有一定的_性,那么这两个变量之间的关系,叫做相关关系(2)两类特殊的相关关系:如果散点图中点的分布是从_角到_角的区域,那么这两个变量的相关关系
2、称为正相关,如果散点图中点的分布是从_角到_角的区域,那么这两个变量的相关关系称为负相关随机 左下 右上 左上 右下两个变量间的关系分为三类:一类是确定性的函数关系,如正方形的边长与面积的关系;另一类是变量间确实存在关系,但又不具备函数关系所要求的确定性,它们的关系是带有随机性的,这种关系就是相关关系,例如,某位同学的“物理成绩”与“数学成绩”之间的关系,我们称它们为相关关系;再一类是不相关,即两个变量间没有任何关系2线性相关(1)定义:如果两个变量散点图中点的分布从整体上看大致在一条_附近,我们就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做_(2)最小二乘法:求线性回归直线方程x时,使得样
3、本数据的点到它的_最小的方法叫做最小二乘法,其中a,b的值由以下公式给出:直线 回归直线 距离的平方和其中,是回归方程的_,是回归方程在y轴上的_ 斜率 截距线性回归分析涉及大量的计算,形成操作上的一个难点,可以利用计算机非常方便地作散点图、回归直线,并能求出回归直线方程因此在学习过程中,要重视信息技术的应用类型一 变量之间的相关关系的判断例1:(1)下列变量之间的关系不是相关关系的是()A二次函数yax2bxc中,a,c是已知常数,取b为自变量,因变量是判别式b24acB光照时间和果树亩产量C降雪量和交通事故发生率D每亩田施肥量和粮食亩产量(2)现随机抽取某校10名学生在入学考试中的数学成绩
4、x与入学后的第一次数学成绩y,数据如下:学号12345678910x12010811710410311010410599108y84648468696869465771请利用散点图判断这10名学生的两次数学考试成绩是否具有相关关系解析(1)在A中,若b确定,则a,b,c都是常数,b24ac也就唯一确这了,因此,这两者之间是确定性的函数关系;一般来说,光照时间越长,果树亩产量越高;降雪量越大,交通事故发生率越高;施肥量越多,粮食亩产量越高,所以B,C,D是相关关系故选A.(2)两次数学考试成绩散点图如图所示,由散点图可以看出两个变量的对应点集中在一条直线的周围,具有正相关关系因此,这10名学生的
5、两次数学考试成绩具有相关关系练习1:对变量x,y有观测数据(xi,yi)(i1,2,10),得散点图(1);对变量u,v有观测数据(ui,vi)(i1,2,10),得散点图(2)由这两个散点图可以判断()A变量x与y正相关,u与v正相关B变量x与y正相关,u与v负相关C变量x与y负相关,u与v正相关D变量x与y负相关,u与v负相关答案C类型二 回归直线方程例2:随着人们经济收入的不断增长,个人购买家庭轿车已不再是一种时尚车的使用费用,尤其是随着使用年限的增多,所支出的费用到底会增长多少,一直是购车一族非常关心的问题某汽车销售公司作了一次抽样调查,并统计得出某款车的使用年限x与所支出的总费用y(
6、万元)有如下的数据资料:使用年限x23456总费用y2.23.85.56.57.0若由资料,知y对x呈线性相关关系试求:(1)线性回归方程x的回归系数、;(2)估计使用年限为10年时,车的使用总费用是多少?解析第一步,列表xi,yi,xiyi;第二步,计算,iyi;第三步,代入公式计算b,a的值;第四步,写出回归直线方程(1)利用公式:来计算回归系数有时为了方便常列表,对应列出xiyi、x,以利于求和(2)获得线性回归方程后,取x10,即得所求答案(1)列表:i12345xi23456yi2.23.85.56.57.0xiyi4.411.422.032.542.0x491625364,5,90
7、,iyi112.3于是1.23;b51.2340.08.(2)线性回归直线方程是1.23x0.08,当x10(年)时,1.23100.0812.38(万元),即估计使用10年时,支出总费用是12.38万元练习1:(2015石家庄高二检测)已知回归直线的斜率的估计值是1.23,样本点中心(即(,)为(4,5),则回归直线的方程是()A.1.23x4 B.1.23x5C.1.23x0.08 D.0.08x1.23答案C练习2:某公司的广告费支出x(单位:万元)与销售额y(单位:万元)之间有下列对应数据:x24568y3040605070资料显示y对x呈线性相关关系根据上表提供的数据得到回归方程x中
8、的6.5,预测销售额为115万元时约需_万元广告费答案15有人统计了同一个省的6个城市某一年的人均国民生产总值(即人均GDP)和这一年各城市患白血病的儿童年数量,如下表:人均GDP/万元1086431患白血病的儿童数/人351312207175132180(1)画出散点图,并判定这两个变量是否具有线性相关关系;(2)通过计算可知这两个变量的回归直线方程为23.25x102.15,假如一个城市的人均GDP为12万元,那么可以断言,这个城市患白血病的儿童一定超过380人,请问这个断言是否正确?解析(1)根据表中数据画散点图,如图所示,从图可以看出,在6个点中,虽然第一个点离这条直线较远,但其余5个
9、点大致分布在这条直线的附近,所以这两个变量具有线性相关关系(2)上述断言是错误的,将x12代入23.25x102.15得23.2512102.15381.15380,但381.15是对该城市人均GDP为12万元的情况下所作的一个估计,该城市患白血病的儿童可能超过380人,也可能低于380人练习1:某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:单价x(元)88.28.48.68.89销量y(件)908483807568(1)求回归直线方程x,其中20.(2)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(1)中的关系,且该产品的成本是4元/件,为使工厂获得最大
10、利润,该产品的单价应定为多少元?(利润销售收入成本)答案(1)由于(x1x2x3x4x5x6)8.5,(y1y2y3y4y5y6)80.所以80208.5250,从而回归直线方程为20x250.(2)设工厂获得的利润为L元,依题意得Lx(20x250)4(20x250)20x2330x100020(x8.25)2361.25.当且仅当x8.25时,L取得是大值,故当单价定为8.25元时,工厂可获得最大利润1下列两个变量之间的关系:角度和它的余弦值;正n边形的边数与内角和;家庭的支出与收入;某户家庭用电量与电价间的关系其中是相关关系的有()A1个B2个C3个D4个答案A2下列图形中两个变量具有相
11、关关系的是() 答案C3设一个回归方程为31.2x,则变量x增加一个单位时()Ay平均增加1.2个单位By平均增加3个单位Cy平均减少1.2个单位Dy平均减少3个单位答案A4现有5组数据A(1,3)、B(2,4)、C(4,5)、D(3,10)、E(10,12),去掉_组数据后,剩下的4组数据的线性相关性最大答案D5下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据:x3456y2.5344.5(1)请画出上表数据的散点图;(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程x;(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗
12、为90吨标准煤试根据(2)求出的线性回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?解析(1)散点图,如图所示(2)由题意,得iyi32.5435464.566.5,4.5,3.5,3242526286,0.7,3.50.74.50.35,故线性回归方程为0.7x0.35.(3)根据回归方程的预测,现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.71000.3570.35,故耗能减少了9070.3519.65(吨标准煤)_基础巩固一、选择题1由一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn)得到的回归直线方程bxa,那么下面说法不正确的是()A直线bxa必经过点(,)
13、B直线bxa至少经过点(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn)中的一个点C直线bxa的斜率为D直线bxa和各点(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn)的偏差yi(bxia)2是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的直线答案B解析由ab 知b bx,必定过(,)点回归直线方程对应的直线是与样本数据距离最小的,但不一定过原始数据点,只须和这些点很接近即可2下列说法正确的是()A对于相关系数r来说,|r|1,|r|越接近0,相关程度越大;|r|越接近1,相关程度越小B对于相关系数r来说,|r|1,|r|越接近1,相关程度越大;|r|越大,相关程度越小C对于相关系数r来说,|r|1,|
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