同时考虑可控制前置时间及货币时间价值因素之存货订购策略.doc

2002年管理創新與新願景研討會 I-25
同時考慮可控制前置時間及貨幣時間價值因素之存貨訂購策略

吳坤山 淡江大學企業管理學系專任副教授
顏秀鳳 淡江大學管理科學學系碩士班研究生
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摘要
本篇論文主要嘗試建立在同時考慮可控制前置時間與貨幣時間價值因素下，缺貨數量允許部份欠撥與部份不補(銷售損失)的混合存貨模型，其中訂購量、請購點及前置時間均為決策變數。在文中，我們假設前置時間內需求量的機率分配為未知的情形，並利用大中取小分配不拘程序(minimax distribution free procedure)求解。本文亦利用古典最佳化理論，証明了本模式之總變動成本函數型態為凸函數(convex function)，進而找出使得總成本為最小之最適訂購量、請購點及前置時間。最後，以一範例來說明本研究的存貨模式演算法，並對模式中各參數作敏感度分析。

關鍵字：存貨、前置時間、貨幣時間價值、大中取小分配不拘程序

1.前言
自從日本企業界提出及時(Just in time, JIT)存貨管理系統以來，企業的生產力提高，且效果顯著。及時存貨模式主要強調高品質、低存貨、短前置時間及少數供應商；其中縮短前置時間是及時化成功的主要關鍵[1]。傳統的存貨模式大都將前置時間視為已知且為不可控制的常數或隨機變數，但在許多實際的情況中，前置時間可藉由增加趕工成本(crashing cost)來縮短；換言之，前置時間是可以控制的。因此已有許多的製造商或經銷商開始對固定或隨機的前置時間產生質疑，因為他們需要的是可以控制的前置時間。近年來，已有許多學者提出將前置時間視為可控制變數的存貨模式。Liao和Shyu [2]首先提出在訂購量為事前決定而前置時間為決策變數的機率性存貨模型。在此模型中，假設前置時間內的作業是由n個成份(component)所組成，每個成份各有不同的正常作業時間、充分趕工下的作業時間及單位時間趕工成本，並假設前置時間內的趕工成本函數為一分段線性函數(piecewise linear function)，在訂購量事先給定的情況下求得其最適前置時間。Ben-Daya和Raouf [3]採用Liao和Shyu [2]的想法，增加訂購量為另一決策變數，推廣為前置時間與訂購量均為決策變數的存貨模式，並提出一新的趕工成本函數。接著，Ouyang等學者 [4]，Oyuang和Wu [5-7] 延伸Ben-Daya和Raouf [3]的模式，考慮缺貨成本，針對可控制前置時間探討缺貨數量允許部份欠撥 (backorder)部份不補 (lost sales)的混合存貨模式；其中，前置時間內的需求量則假設服從常態分配或分配不知等情況。Moon和Choi [8]，Hariga和Ben-Daya [9]則採用Ouyang等學者 [4]的想法，增加請購點為另一決策變數，推廣為前置時間、訂購量與請購點三個決策變數的存貨模式。其他關於此領域方面的相關文獻請參考Lan等學者[10]，Ouyang和Chang [11]，Pan和Hsiao [12]等等。
再者，早期的存貨管理中幾乎很少考慮貨幣時間價值的影響，因為大部份的模式都假設利率極低，因此將其視為與決策無關的項目。但是近年來，各國物價持續上漲而金錢購買能力則不斷下跌，使得存貨過剩，導致儲存成本的增加與資金的凍結進而阻礙企業的經營與發展。因此在存貨管理中將貨幣時間價值的影響加以考慮是有其必要性的。
本文嘗試同時考慮在可控制前置時間及貨幣時間價值因素的影響下，建立缺貨數量允許部份欠撥與部份不補的混合存貨模型。其次，有關於前置時間內需求量的機率分配則考慮為分配不拘的情形，由於前置時間內需求量的機率分配未知，故無法求得精確的期望缺貨量；因此，我們運用大中取小分配不拘的方法，找出具有最大期望總成本現值函數，進而求出使得期望總成本現值為最小的最適值，以謀定最佳的訂購策略。本文亦利用古典最佳化理論，証明了本模式之總變動成本函數型態為凸函數，進而找出使得總成本為最小之最適訂購量、請購點及前置時間。最後，以一範例來說明本研究的存貨模式演算法，並對模式中各參數作敏感度分析。

2.符號說明與假設
為了便利模型的建立，本文將採用下列的符號與假設。
本論文的符號說明如下：
= 每次訂購的訂購成本
= 單位時間內的需求量
= 每單位時間的單位存貨持有成本
= 經濟訂購量
= 週期時間長度
= 單位時間的折現率
= 每單位貨品的缺貨懲罰成本
= 每單位貨品的邊際利潤
= 單位時間內需求量的標準差
=缺貨期間缺貨數量允許欠撥的比例，則為銷售損失的比例，
=前置時間內的需求量，為一隨機變數，其累積分配函數為，其平均數為，標準差為
=前置時間內需求量具有相同的平均數和標準差之所有累積分配函數所形成的集合。

本論文的假設如下：
(1)請購點=前置時間內平均需求量+安全存量(Safety stock,；即，其中為安全因子(Safety factor)。
(2)以連續盤查的方式記錄存貨水準，當存貨水準降到訂購點時，即發出訂單訂購。
(3)前置時間的長度不會超過訂購週期，故在一個訂購週期之內，只能發出一次訂單訂貨。
(4)前置時間內的作業由個互相獨立的成份所組成。第個成份有充分趕工下的最小作業時間，正常的作業時間和單位時間的趕工成本。再者，為了方便起見，假設。在充份趕工時，優先考慮第1個成份(因為它有最小的單位時間趕工成本)，接著是第2個成份，依此類推。
(5)假設令，並且定義為成份1至皆充分趕工時的前置時間長度，則的數學式為
，
且在一個已知的前置時間下，每一個訂購週期趕工成本為
並且
(6)允許缺貨並且缺貨數量允許部分欠撥、部分不補。
(7)計劃幅度是無限的。

3模式的建立與推導
由於前置時間內需求量的機率分配未知，故一週期內的期望缺貨數量，其中為請購點。每週期缺貨欠撥的期望數量為，而每週期缺貨不補的期望數量為。故每週期的缺貨成本為。
從Ouyang等學者[4]，Moon和Choi[8]，Hariga和Ben-Daya[9]的文中得知，請購點，而期望淨存貨在訂購量之前後分別以與。因此，一週期循環平均存貨水準為。所以第一週期之存貨持有成本的現值為：

(1)
式中的。
接著利用Moon與Yun[13]所提出的現金流量折現法(discounted cash flow, DCF)法，可以得到第一週期之存貨總成本=訂購成本+趕工成本+缺貨成本+存貨持有成本；即為
(2)
因為計劃幅度是無限的，所以期望總成本的現值為

=(3)
式中。
當前置時間內的需求量之機率分配型式未知時，週期末期望缺貨數量將因而無法精確的求得。然而，我們可以運用大中取小分配不拘程序，對於所有的，在集合中先行找出具有最大期望總成本現值的累積分配函數；接著在此一累積分配函數下，求出使得有最小值的最適值。若以數學符號表之，我們的問題乃是在求解
(4)
我們注意到，從集合中找出一個累積分配函數使得問題(4)具有最大期望總成本現值，相當於從模型(3)中找出項的最大可能值；此一作業可利用下面的推理來完成。
推理一：(Gallego和Moon[14])
對任意的，
(5)
並且可以找到一個累積分配函數，使得上式的等號成立。
因為，且對於任何前置時間內需求量的機率分配上述不等式均可以滿足；因此利用(5)式及模型(3)，問題(4)變成求解

(6)
其中為的最小上界。
為了求得期望總成本現值的最小值，我們將(6)式分別對、、做一階微分，得到下列式子：

(7)
(8)
(9)
接著，檢視二階充份條件(second order sufficient conditions)。我們發現並非是的一個凸函數。然而，對任意給定的而言，為的凹函數(concave function)，因為
(10)
因此，對任意給定和值而言，最小期望總成本現值必發生在區間的端點上。另一方面，對已知的時，我們令(7)及(8)等於零，經移項整理後可得(11)式及(12)式
(11)
(12)
理論上，在固定，我們可以利用(11)式及(12)式二個式子解出和值，這些值我們分別以符號及表示之。再者，由下面的推理可以証明：解點為滿足最小化問題的二階充份條件；也就是說，對固定的，為和的凸函數(convex funciton)。因此，當固定時，點是使期望總成本現值有最小值的最適解。
推理二
對已知的，由期望總成本現值所推演出之海塞矩陣(Hessian Martix)為正定(Positive definite)。
其証明請參閱附錄一。
囿於(11)式和(12)式中，決策變數和互為函數關係，其個別的明確解無法一一求出，因此我們建立下列的演算法以幫助求算訂購週期(訂購量)、安全因子(請購點)與前置時間之最適值。

演算法一
步驟1：對每一個前置時間,，接著執行(i)-(iii)步驟。
設定起始值，代入(11)式解出。
再將代入(12)式解出。
重覆(i)及(ii)步驟，直到及收歛時為止，並以表示此收斂值。
步驟2：對每一組數值，利用(6)式計算其對應的總成本現值。
步驟3：找出最小的期望總成本現值。其所對的值，記作，即為此模型的最適解。
一旦及求出，最適的訂購量可由及求得。

例題一：
為了說明上述的求解過程，我們沿用學者Ouyang等學者(1996)之如下數值資料：=600 件/年，=$200 每次訂購，=$20/件/年，=$50 /件，=$150 /件，=7 件/週；且前置時間內的作業由三個成份所組成，每一個成份的正常作業時間、充分趕工下的作業時間和每單位時間的趕工成本如表1所示，此外我們假設。

表1 前置時間內各成份的相關資料
前置時間
組成成份

正常的
作業時間
(天)
充分趕工下的
作業時間
(天)
單位時間的
趕工成本
($/天)
1
20
6
0.4
2
20
6
1.2
3
16
9
5.0
在本例中，我們討論缺貨數量允許欠撥的比例分別為0、0.5、0.8及1四種情況，運用演算法一的求解程序可以得到表2之結果。
由表2，在固定值下，藉由比較各前置時間所對應的期望總成本現值，我們即可獲悉此模型的最適訂購策略，其結果彙整於表3。

表2 最適解的求解過程(前置時間的單位為”週”)

0
8
0
0.2986
2.82
47890.40
6
5.6
0.2855
2.89
44956.81
4
22.4
0.2733
2.96
41774.90
3
57.4
0.2747
2.95
40788.08*
0.5
8
0
0.2767
2.26
42748.91
6
5.6
0.2657
2.31
40420.11
4
22.4
0.2573
2.35
38006.48
3
57.4
0.2612
2.33
37539.35*
0.8
8
0
0.2590
1.79
38686.32
6
5.6
0.2508
1.83
36847.43
4
22.4
0.2453
1.85
35053.42
3
57.4
0.2512
1.82
35003.75*
1
8
0
0.2447
1.36
35118.66
6
5.6
0.2386
1.38
33720.25
4
22.4
0.2352
1.40
32479.86*
3
57.4
0.2426
1.37
32800.72

表3 不同值下的最適解

0.0
3
2.95
0.2747
40788.08
0.5
3
2.33
0.2612
37539.35
0.8
3
1.82
0.2512
35003.75
1.0
4
1.40
0.2352
32479.86
因表3所呈現的結果，我們發現，隨著欠撥比例的提高，最小期望總成本現值隨之減少。

4.敏感度分析及管理上的涵意
我們以例題一的數值資料為例的情況)，對參數和作敏感度分析，在其他參數不變的情況下，觀察個別參數對最適訂購週期、最適安全因子以及最小期望總成本現值的影響，其分析結果如表4所示。從表4的結果我們可以得到以下的結論。
(1) 當隨著的遞增而遞減時，及有遞增的趨勢，但，和 對的變化均呈現中敏感性。
(2) 當隨著的遞增而遞減時，及有遞增的趨勢，其中對的變化呈現高敏感性，及對的變化則呈現中敏感性。
(3) 當隨著的遞增而遞增時，及有遞減的趨勢，其中及對的變化呈現高敏感性，對的變化則呈現中敏感性。
(4) 當隨著的遞增而遞增時，和亦呈遞增的趨勢，其中對的變化呈現高敏感性，及對的變化呈現低敏感性。
(5) 當隨著的遞增而遞減時，和有遞增的趨勢，但，及對的變化均呈現低敏感性。
(6) 當隨著的遞增而遞減時，及亦有遞減的趨勢，其中對的變化呈現高敏感性，及對的變化呈現低敏感性。
綜觀上述的結果，我們可以得以下的結論：
1. 就訂購週期面而言
最佳訂購週期對於參數、和的變動敏感性較低，因此我們可以知道缺貨懲罰成本、單位時間內需求量的標準差及單位時間折現率，對於最佳訂購週期的影響不大。
2. 就服務率面而言
最佳服務率會隨著和的增加而遞增，而隨著、、和的增加而遞減。因此，為了提高服務率，經營者可以考慮採取以下的行動：降低訂購成本、降低持有成本或是降低單位時間內需求量的標準差。其中最佳服務率對於和的變動呈現中敏感性，這與實際情形相吻合。當持有成本較低時，一般我們會有較多的存貨來提供較高的服務水準，而當缺貨懲罰成本較高時，廠商為了避免缺貨的發生，通常亦能提供較高的服務水準。
3. 就總成本面而言
最小總成本現值會隨著和的減少而遞減，特別是持有成本的遞減對總成本的影響較為顯著。這表示說如果經營者可以有降低持有成本，就可以降低總成本現值。值得注意的是，當我們把貨幣的時間價值因素納入考量後，可以發現，利率因子的變動對總成本有相當大的影響。所以管理者在考量存貨模式時，利率因子須加以考量。

表4 參數值改變對其最佳解的影響
變動參數

變動百分比(%)
最佳解變動百分比

+50
+15.05
-9.28
+12.32
+25
+7.82
-5.00
+6.37
-25
-8.58
+5.70
-6.91
-50
-18.23
+13.57
-14.55

+50
-19.81
+15.00
+19.40
+25
-11.43
+7.85
+10.23
-25
+17.17
-10.71
-11.77
-50
+46.72
-24.28
-25.99

+50
-16.45
-15.00
+25.38
+25
-9.43
-8.57
+13.24
-25
+13.81
+10.71
-14.96
-50
+36.69
+27.85
-31.91

+50
+3.78
+26.42
+6.55
+25
+1.95
+14.28
+3.47
-25
-2.21
-17.14
-4.02
-50
-4.67
-40.00
-8.97

+50
+9.14
-5.71
+13.14
+25
+4.67
-3.57
+6.64
-25
-4.59
+2.85
-6.81
-50
-9.22
+6.42
-13.81

+50
-0.21
0
-33.10
+25
-0.12
0
-19.86
-25
+0.17
-0.71
+33.10
-50
+0.29
-0.71
+99.31

5.結論
5.1主要研究成果
本論文主要考慮可控制前置時間與貨幣時間價值因素下，建立缺貨數量允許部份欠撥與部份不補(銷售損失)的混合存貨模型，其中訂購量、請購點及前置時間均為決策變數。在本研究中，我們假設前置時間內的需求量的機率分配不知，但其平均數及標準差為已知的情況下建立存貨數學模式，進而求得其最適訂購策略，並且探討參數的敏感度分析。
綜合以上的討論，大致可歸納出下列幾點結論：
1. 當欠撥參數(亦即缺貨數量全部欠撥待補)時，其存貨總成本現值為最小。此外，當欠撥參數遞增時，最小總成本現值隨之遞減。
2. 由敏感度分析中，我們可以得到以下的結果：
(a)就訂購週期面而言
最佳訂購週期對於參數、和的變動敏感性較低，因此我們可以知道缺貨懲罰成本、單位時間內需求量的標準差及單位時間折現率，對於最佳訂購週期的影響不大。
(b)就服務率面而言
最佳服務率會隨著和的增加而遞增，而隨著、、和的增加而遞減。因此，為了提高服務率，經營者可以考慮採取以下的行動：降低訂購成本、降低持有成本或是降低單位時間內需求量的標準差。其中最佳服務率對於和的變動呈現中敏感性，這與實際情形相吻合。當持有成本較低時，一般我們會有較多的存貨來提供較高的服務水準，而當缺貨懲罰成本較高時，廠商為了避免缺貨的發生，通常亦能提供較高的服務水準。
(c)就總成本面而言
最小總成本現值會隨著和的減少而遞減，特別是持有成本的遞減對總成本的影響較為顯著。這表示說如果經營者可以有降低持有成本，就可以降低總成本現值。值得注意的是，當我們把貨幣的時間價值因素納入考量後，可以發現，利率因子的變動對總成本有相當大的影響。所以管理者在考量存貨模式時，利率因子須加以考量。
5.2未來研究方向
本論主要是同時考慮可控制前置時間與貨幣時間價值因素下，探討缺貨數量允許部份欠撥與部份不補存貨系統最佳補貨策略。立基在本論文研究架構的存貨模型，後續研究應可朝以下方面進行：
1. 本論文所考慮的計劃幅度為無限，未來可進一步放寬此條件探討計劃幅度為有限且為隨機變數的情形。
2. 隨著信用卡及支票交易的普遍化，未來我們在考量存貨總成本時應同時考慮通貨膨脹及允許延遲付款等因素，以使存貨模型更加完善。

參考文獻
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附錄一
在證明推理二時，我們需要以下的補助定理。
補助定理1：(Chung和Lin[15])
(a) for .
(b) for .
推理二：對固定的前置時間，則為之凸函數。
証明：由(7)、(8)、(9)式及補助定理1，可知

故Hessian矩陣的行列式如下：

其中
所以，Hessian矩陣行列式值為正值。因此，為和的凸函數。