湖南省长沙市雅礼中学理实班自主招生考试数学试卷(二)试卷.doc
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1、2013年湖南省长沙市雅礼中学理实班自主招生考试数学试卷(二)一、选择题(每小题4分,共32分)1(4分)当x时,代数式+的值是()A3B12C32D212(4分)如果一直角三角形的三边为a,b,c,B90,那么关于x的方程a(x21)2cx+b(x2+1)0的根的情况为()A有两个相等的实数根B有两个不相等的实数根C没有实数根D无法确定根的情况3(4分)两年期定期储蓄的年利率为2.25,按照国家规定,所得利息要缴纳20的利息税,王大爷于2002年6月存入银行一笔钱,两年到期时,共得税后利息540元,则王大爷2002年6月的存款额为()A20000元B18000元C15000元D12800元4
2、(4分)如图,MN是O的直径,A20,PMQ50,以PM为边作圆的内接正多边形,则这个正多边形是()A正七边形B正八边形C正六边形D正十边形5(4分)如图,ABAC,EAED,BAD20,EDC10,则B的度数为()A45B50C55D不能确定6(4分)已知非零实数a,b满足a2+ab+b2+ab+10,则+的值等于()A1B0C1D27(4分)若函数y(x2100x+196+x2100x+196),则自变量x取1,2,3,4,99,100这100个自然数时,函数和的值是()A540B390C194D978(4分)设x1,x2是方程x22003x+20050的两个实根,实数a,b满足:ax12
3、003+bx220032003,ax12004+bx220042004,则ax12005+bx22005的值为()A2005B2003C2005D2003二、填空题(每小题4分,共32分)9(4分)已知实数a满足2002a|+a,则a20022的值为 10(4分)如图,直径AB和弦CD相交于点E,已知AE1cm,EB5cm,DEB60,则CD的长为 11(4分)AD是ABC的中线,ADC45,把ADC沿直线AD翻折,点C落在点C的位置,BC4,则BC的长为 12(4分)如图,平行四边形ABCD中,AB24,P、Q三等分AC,DP交AB于M,MQ交CD于N,则CN 13(4分)抛物线yax2与直
4、线x1,x2,y1,y2组成的正方形有公共点,则a的取值范围是 14(4分)如图,ABCD和EBFG都是正方形,AB30cm,则阴影部分的面积为 15(4分)如图,在梯形ABCD中,ABDC,A90,AB4,CD3,BC7,O为AD边的中点,则点O到BC的距离为 16(4分)如图,在ABC中,ABC100,ACB20,CE是ACB的平分线,D是AC上的一点且BDED,若CBD20,则CED的度数为 三、解答题(每小题12分,共36分)17(12分)某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品,规定试销时的销售单价不低于成本单价,也不高于800元/件,经试销调查,发现销售量y(件)与销售单价x(
5、元/件)可近似于一次函数ykx+b的关系,如图所示(1)根据图象,求一次函数ykx+b的表达式;(2)设公司获得的毛利润为S元,试问销售单价定为多少时,该公司获得最大毛利润?最大毛利润是多少?此时销售量是多少?18(12分)如图,在O的内接ABC中,ABAC,D是O上一点,AD的延长线交BC的延长线于点P(1)求证:AB2ADAP;(2)若O的直径为25,AB20,AD15,求PC和DC的长19(12分)已知抛物线yx2+(2m)x2m(m2)与y轴交于点A,与x轴交于点B、C(B点在C点的左边)(1)写出A、B、C三点的坐标;(2)设ma22a+4,试问是否存在实数a,使ABC为直角三角形;
6、(3)设ma22a+4,当BAC最大时,求实数a的值2013年湖南省长沙市雅礼中学理实班自主招生考试数学试卷(二)参考答案与试题解析一、选择题(每小题4分,共32分)1(4分)当x时,代数式+的值是()A3B12C32D21【考点】2C:实数的运算【专题】11:计算题;511:实数【分析】原式利用算术平方根、立方根的性质化简,将x的值代入计算即可求出值【解答】解:x,x20,则原式|x2|+1x2x+1x32x32,故选:C【点评】此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键2(4分)如果一直角三角形的三边为a,b,c,B90,那么关于x的方程a(x21)2cx+b(x2+1)0的根的
7、情况为()A有两个相等的实数根B有两个不相等的实数根C没有实数根D无法确定根的情况【考点】AA:根的判别式;KQ:勾股定理【专题】16:压轴题【分析】根据勾股定理,确立a2+c2b2,化简根的判别式,判断根的情况就是判断与0的大小关系【解答】解:B90a2+c2b2化简原方程为:(a+b)x22cx+ba04c24(b2a2)4c24c20方程有两个相等实数根故选:A【点评】总结:1、勾股定理:在直角三角形中,C90,有a2+b2c22、一元二次方程根的情况与判别式的关系:(1)0方程有两个不相等的实数根;(2)0方程有两个相等的实数根;(3)0方程没有实数根3(4分)两年期定期储蓄的年利率为
8、2.25%,按照国家规定,所得利息要缴纳20的利息税,王大爷于2002年6月存入银行一笔钱,两年到期时,共得税后利息540元,则王大爷2002年6月的存款额为()A20000元B18000元C15000元D12800元【考点】8A:一元一次方程的应用【专题】12:应用题【分析】如果设王大爷2002年6月的存款额为x元,根据本金利率时间(1税率)税后利息,列出方程求解即可【解答】解:设王大爷2002年6月的存款额为x元,由题意,得x2.252(120%)540,解得x15000故选:C【点评】本题考查一元一次方程的应用,关键是根据利息的求法得到相应的等量关系4(4分)如图,MN是O的直径,A20
9、,PMQ50,以PM为边作圆的内接正多边形,则这个正多边形是()A正七边形B正八边形C正六边形D正十边形【考点】MM:正多边形和圆【分析】首先根据圆周角定理得出POQ100,进而利用等腰三角形的性质得出OPQOQP,再由外角的性质得出A+APOPOM20+4060,即可得出POM是等边三角形,再由正六边形的性质得出答案【解答】解:连接QO,PO,如图所示;QOPO,OPQOQP,PMQ50,POQ100,OPQ+OQP18010080,OPQOQP40,A+APOPOM20+4060,POOM,POM是等边三角形,PMOPOM,以PM为边作圆的内接正多边形,则这个正多边形是正六边形故选:C【点
10、评】此题主要考查了正六边形的性质以及圆周角定理和外角的性质等知识,根据已知得出POM是等边三角形是解题关键5(4分)如图,ABAC,EAED,BAD20,EDC10,则B的度数为()A45B50C55D不能确定【考点】KH:等腰三角形的性质【分析】设Cx,根据等腰三角形的性质得到BCx,得到AEDx+10,根据三角形的内角和列方程即可得到结论【解答】解:设Cx,ABAC,BCx,AEDx+10,EAED,DAEEDA85x,x+x+(20+85x)180,x50,B50,故选:B【点评】本题考查了等腰三角形的性质,三角形的内角和定理的应用,题目比较好,难度适中6(4分)已知非零实数a,b满足a
11、2+ab+b2+ab+10,则+的值等于()A1B0C1D2【考点】1F:非负数的性质:偶次方;AE:配方法的应用【分析】由a2+ab+b2+ab+10,两边乘2,进一步利用完全平方公式分组分解,进一步利用非负数的性质得出a、b的数值,代入求得答案即可【解答】解:a2+ab+b2+ab+10,2a2+2ab+2b2+2a2b+20,(a2+2ab+b2)+(a2+2a+1)+(b22b+1)0,(a+b)2+(a+1)2+(b1)20,a+b0,a+10,b10,解得a1,b1,+0故选:B【点评】此题考查配方法的运用,以及非负数的性质,掌握完全平方公式是解决问题的关键7(4分)若函数y(x2
12、100x+196+x2100x+196|),则自变量x取1,2,3,4,99,100这100个自然数时,函数和的值是()A540B390C194D97【考点】H5:二次函数图象上点的坐标特征【分析】将x2100x+196分解为:(x2)(x98),然后可得当2x98时函数值为0,再分别求出x1,99,100时的函数值即可【解答】解:x2100x+196(x2)(x98)当2x98时,|x2100x+196(x2100x+196),当自变量x取2到98时函数值为0,而当x取1,99,100时,x2100x+196|x2100x+196,所以,所求和为(12)(198)+(992)(9998)+(
13、1002)(10098)97+97+196390故选:B【点评】本题考查函数值的知识,有一定难度,关键是将x2100x+196分解为:(x2)(x98)进行解答8(4分)设x1,x2是方程x22003x+20050的两个实根,实数a,b满足:ax12003+bx220032003,ax12004+bx220042004,则ax12005+bx22005的值为()A2005B2003C2005D2003【考点】AB:根与系数的关系【专题】11:计算题【分析】由根与系数关系,x1,x2是方程x22003x+20050的两个实根可得:x1+x22003,x1x22005;化简式子ax12005+bx
14、22005的值为:(x1+x2)(ax12004+bx22004)x1x2(ax12003+bx22003);将x1+x22003,x1x22005,ax12003+bx220032003,ax12004+bx220042004代入即可得出结果【解答】解:x1,x2是方程x22003x+20050的两个实根可得:x1+x22003,x1x22005,故ax12005+bx22005(x1+x2)(ax12004+bx22004)x1x2(ax12003+bx22003),2003200420052003,2003故选:D【点评】本题主要考查了根与系数的关系以及利用已知条件对所求式子的化简,难度
15、中等,关键要掌握x1,x2是方程x2+px+q0的两根时,x1+x2p,x1x2q二、填空题(每小题4分,共32分)9(4分)已知实数a满足|2002a|+a,则a20022的值为2003【考点】72:二次根式有意义的条件【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式,求出a的范围,把原式变形,计算即可【解答】解:由题意得,a20030,则a2003,原式变形为:a2002+a,则2002,a20022+2003,则a200222003故答案为:2003【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件,掌握二次根式的被开方数必须是非负数是解题的关键10(4分)如图,直径AB和弦CD相交于点E,已知AE1c
16、m,EB5cm,DEB60,则CD的长为2cm【考点】KO:含30度角的直角三角形;KQ:勾股定理;M2:垂径定理【专题】2B:探究型【分析】过点O作OFCD,连接OD,由AE1cm,EB5cm可求出圆的半径,进而可得出OE的长,在RtOEF中根据DEB60及OE的长可求出OF的长,在RtODF中利用勾股定理可求出DF的长,进而可得出CD的长【解答】解:过点O作OFCD,连接OD,AE1cm,EB5cm,ABAE+EB1+56cm,OAOD3cm,OEOAAE312cm,在RtOEF中DEB60,OE2cm,OFOEsinDEB2cm,在RtODF中,DFcm,OFCD,CD2DF22cm故答
17、案为:2cm【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理及直角三角形的性质,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键11(4分)AD是ABC的中线,ADC45,把ADC沿直线AD翻折,点C落在点C的位置,BC4,则BC的长为2【考点】PB:翻折变换(折叠问题)【分析】由折叠得BDC90,CD2,得BDC是等腰直角三角形,根据勾股定理求出BC的长【解答】解:如图,由折叠得:ACDACD,ADCADC45,DCDC,BDC90,AD是ABC的中线,BDCDBC42,BDDCDC2,BDC是等腰直角三角形,BC2【点评】本题是折叠问题,考查了折叠的性质和三角形中线的定义,明确折叠前后的两三角形
18、全等,及三角形中线平分边长,在直角三角形中常利用勾股定理求线段的长度12(4分)如图,平行四边形ABCD中,AB24,P、Q三等分AC,DP交AB于M,MQ交CD于N,则CN6【考点】L5:平行四边形的性质【分析】根据平行四边形的性质,平行四边形的对边平行,所以,故进一步可推出CN【解答】解:因P、Q三等分AC,故,ABCD,又ABCDAMCD12,CNAM6故答案为:6【点评】运用平行四边形的性质解决以下问题,如求角的度数、线段的长度,证明角相等或互补,证明线段相等或倍分等13(4分)抛物线yax2与直线x1,x2,y1,y2组成的正方形有公共点,则a的取值范围是【考点】HF:二次函数综合题
19、;LE:正方形的性质【专题】11:计算题【分析】建立平面直角坐标系,画出四条直线围成的正方形,进一步判定其开口方向,再代入点的坐标即可解答【解答】解:如图,四条直线x1,x2,y1,y2围成正方形ABCD,因为抛物线与正方形有公共点,所以可得a0,而且a值越大,抛物线开口越小,因此当抛物线分别过A(1,2),C(2,1)时,a分别取得最大值与最小值,代入计算得出:a2,a;由此得出a的取值范围是故填【点评】此题利用数形结合的思想,考查了二次函数最值问题以及抛物线开口方向与a值的关系14(4分)如图,ABCD和EBFG都是正方形,AB30cm,则阴影部分的面积为450cm2【考点】LE:正方形的
20、性质【专题】15:综合题【分析】根据正方形的性质可证OEGOBF,由此可知S阴影S正方形ABCD【解答】解:设小正方形EBFG的对角线相交于点O在正方形EBFG中,对角线EF与BG互相垂直平分,在OEG与OBF中,OEGOBFS阴影S正方形ABCD3030450(cm2)即阴影部分的面积为450cm2故答案为:450cm2【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点,解题的关键是证明S阴影S正方形ABCD15(4分)如图,在梯形ABCD中,ABDC,A90,AB4,CD3,BC7,O为AD边的中点,则点O到BC的距离为2【考点】KQ:勾股定理;LH:梯形【专题】11:计算题【
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