培优专题12全等三角形及其应用(含答案)教学总结.doc
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1、此文档仅供收集于网络,如有侵权请联系网站删除6、全等三角形及其应用【知识精读】1. 全等三角形的定义:能够完全重合的两个三角形叫全等三角形;两个全等三角形中,互相重合的顶点叫做对应顶点。互相重合的边叫对应边,互相重合的角叫对应角。2. 全等三角形的表示方法:若ABC和ABC是全等的三角形,记作 “ABCABC其中,“”读作“全等于”。记两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。3. 全等三角形的的性质:全等三角形的对应边相等,对应角相等;4. 寻找对应元素的方法(1)根据对应顶点找如果两个三角形全等,那么,以对应顶点为顶点的角是对应角;以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下
2、,两个三角形全等时,对应顶点的字母都写在对应的位置上,因此,由全等三角形的记法便可写出对应的元素。(2)根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边;(3)通过观察,想象图形的运动变化状况,确定对应关系。通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析,可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。翻折 如图(1),DBOCDEOD,DBOC可以看成是由DEOD沿直线AO翻折180得到的;旋转 如图(2),DCODDBOA,DCOD可以看成是由DBOA绕着点O旋转180得到的;平移 如图(3),DDEFDACB,DDEF可以看成是由DACB沿CB方向
3、平行移动而得到的。5. 判定三角形全等的方法:(1)边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理(2) 推论:角角边定理6. 注意问题:(1)在判定两个三角形全等时,至少有一边对应相等;(2)不能证明两个三角形全等的是,a: 三个角对应相等,即AAA;b :有两边和其中一角对应相等,即SSA。全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具,同时也是移动图形位置的工具。在平面几何知识应用中,若证明线段相等或角相等,或需要移动图形或移动图形元素的位置,常常需要借助全等三角形的知识。【分类解析】全等三角形知识的应用(1) 证明线段(或角)相等 例1:如图,已知AD=AE,AB=AC.求证:BF=F
4、C分析:由已知条件可证出ACDABE,而BF和FC分别位于DBF和EFC中,因此先证明ACDABE,再证明DBFECF,既可以得到BF=FC.证明:在ACD和ABE中, ACDABE (SAS) B=C(全等三角形对应角相等)又 AD=AE,AB=AC. ABAD=ACAE 即 BD=CE在DBF和ECF中 DBFECF (AAS) BF=FC (全等三角形对应边相等)(2)证明线段平行例2:已知:如图,DEAC,BFAC,垂足分别为E、F,DE=BF,AF=CE.求证:ABCD分析:要证ABCD,需证CA,而要证CA,又需证ABFCDE.由已知BFAC,DEAC,知DECBFA=90,且已知
5、DE=BF,AF=CE.显然证明ABFCDE条件已具备,故可先证两个三角形全等,再证CA,进一步证明ABCD.证明: DEAC,BFAC (已知) DECBFA=90 (垂直的定义)在ABF与CDE中, ABFCDE(SAS) CA (全等三角形对应角相等) ABCD (内错角相等,两直线平行)(3)证明线段的倍半关系,可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等例3:如图,在 ABC中,AB=AC,延长AB到D,使BD=AB,取AB的中点E,连接CD和CE. 求证:CD=2CE分析:()折半法:取CD中点F,连接BF,再证CEBCFB.这里注意利用BF是ACD中位线这个条件。证明:取CD
6、中点F,连接BF BF=AC,且BFAC (三角形中位线定理) ACB2 (两直线平行内错角相等)又 AB=AC ACB3 (等边对等角) 32在CEB与CFB中, CEBCFB (SAS) CE=CF=CD (全等三角形对应边相等)即CD=2CE ()加倍法证明:延长CE到F,使EF=CE,连BF.在AEC与BEF中,AECBEF (SAS) AC=BF, 43 (全等三角形对应边、对应角相等) BFAC (内错角相等两直线平行) ACB+CBF=180o,ABC+CBD=180o,又AB=AC ACB=ABCCBF=CBD (等角的补角相等)在CFB与CDB中, CFBCDB (SAS)
7、CF=CD即CD=2CE说明:关于折半法有时不在原线段上截取一半,而利用三角形中位线得到原线段一半的线段。例如上面折道理题也可这样处理,取AC中点F,连BF(如图)(B为AD中点是利用这个办法的重要前提),然后证CE=BF.(4)证明线段相互垂直例4:已知:如图,A、D、B三点在同一条直线上,ADC、BDO为等腰三角形,AO、BC的大小关系和位置关系分别如何?证明你的结论。分析:本题没有直接给出待证的结论,而是让同学们先根据已知条件推断出结论,然后再证明所得出的结论正确。通过观察,可以猜测:AO=BC,AOBC.证明:延长AO交BC于E,在ADO和CDB中 ADOCDB (SAS) AO=BC
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