高一数学暑假复习资料20讲.doc

课题1
函数及其表示
一、课时目标
1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．
2．了解映射的概念，在实际情景中会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数．
3．了解简单的分段函数，并能简单应用．
二、主要知识点
1．函数
(1)函数实质上是从一个非空数集到另一个非空数集的映射．
(2)函数的三要素： ．
(3)函数的表示法： ．
(4)两个函数只有当 都分别相同时，这两个函数才相同．
2．分段函数
在一个函数的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数，分段函数是一个函数而不是几个函数．
三、经典例题
题型一 函数与映射的概念
【例1】　下列对应是否是从集合A到B的映射，能否构成函数？
①A＝N，B＝Q，f：a→b＝；
②A＝{x|x＝n，n∈N*}，B＝{y|y＝，n∈N*}，f：x→y＝；
③A＝{x|x≥0，x∈R}，B＝R，f：x→y，y2＝x；
④A＝{平面M内的矩形}，B＝{平面M内的圆}，f：作矩形的外接圆．

【探究1】　(1)映射只要求第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应；至于B中的元素有无原象、有几个原象却无所谓．
(2)函数是特殊的映射：当映射f：A→B中的A、B为非空数集时，即成为函数．
(3)高考对映射的考查往往结合其他知识，只有深刻理解映射的概念才能在解决此类问题时
【变式1】　(1)集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列不表示从A到B的函数的是(　　)
A．f：x→y＝x　　　 B．f：x→y＝x
C．f：x→y＝x D．f：x→y＝
(2)设a在映射f下的象为2a＋a，则20在映射f下的原象为________

【例2】　以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什么？
(1)f1：y＝；f2：y＝1.
(2)f1：y＝|x|；f2：y＝　
(3)f1：y＝
f2：
x
x≤1
1<x<2
x≥2
y
1
2
3

(4)f1：y＝2x；f2：如图所示．

【探究2】　(1)构成函数的三要素中，定义域和对应法则相同，则值域一定相同．
(2)两个函数当且仅当定义域和对应法则相同时，是相同函数．
【变式2】　下列各对函数中，表示同一函数的是(　　)
A．f(x)＝lgx2，g(x)＝2lgx
B．y＝f(x)与y＝f(x＋1)
C．f(u)＝，g(v)＝
D．f(x)＝x，g(x)＝
题型二 函数的解析式
【例3】　求下列函数的解析式：
(1)已知f(x)是一次函数，并且f[f(x)]＝4x＋3，求f(x)；
(2)已知f(2x＋1)＝4x2＋8x＋3，求f(x)；
(3)已知f(x＋)＝x2＋－3，求f(x)；
(4)已知f(x)－2f()＝3x＋2，求f(x)．

【探究3】　函数解析式的求法
(1)凑配法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式．
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法．
(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．
(4)方程思想：已知关于f(x)与f()或f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．
【变式3】　(1)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式．

(2)已知f(x－2)＝2x2－9x＋13，求f(x)的解析式．

(3)若函数f(x)满足f(x)＋2f(1－x)＝x，则f(x)的解析式为____．

题型三 分段函数与复合函数
【例4】　已知函数f(x)＝
g(x)＝x＋1，求：
(1)g[f(x)]；　　　(2)f[g(x)]．

探究4　分段函数、复合函数是高考热点，分段函数体现在不同定义域的子集上，对应法则不同，因此注意选择法则，而复合函数是把内层函数的函数值作为外层函数的自变量，因此要注意复合函数定义域的变化．
【变式4】　(1)(2013·北京)函数f(x)＝的值域为________．
(2) 设函数f(x)＝若f(a)＝，则f[f(a＋6)]＝________.

题型四 抽象函数
【例5】　已知偶函数f(x)，对任意的x1，x2∈R恒有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋2x1x2＋1，则函数f(x)的解析式为________．

【探究5】　抽象函数问题的处理一般有两种途径：
(1)看其性质符合哪类具体函数形式，用具体函数代替抽象解决问题．
(2)利用特殊值代入寻求规律和解法．

【变式5】　设f(x)是R上的函数，且f(0)＝1，对任意x，y∈R恒有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，求f(x)的表达式．

四、本课总结
1．映射问题允许多对一，但不允许一对多！换句话说就是允许三石一鸟，但不允许一石三鸟！
2．函数问题定义域优先！
3．抽象函数不要怕，赋值方法解决它！
4．分段函数分段算，然后并到一起保平安．
五、课堂作业
1．已知f()＝，则f(1)＝________.
2．电信资费调整后，市话费标准为：通话时间不超过3 min收费0.2 元；超过3 min以后，每增加1 min收费0.1 元，不足1 min按1 min计费，则通话收费s(元)与通话时间t(min)的函数图像可表示为图中(　　)

3．已知函数f(x)＝若f(x)＝2，则x等于(　　)
A．log32　 B．－2
C．log32或－2 D．2
4．已知集合M＝{－1,1,2,4}，N＝{0,1,2}，给出下列四个对应法则：①y＝x2，②y＝x＋1，③y＝2x，④y＝log2|x|，其中能构成从M到N的函数的是________．
5．已知f(x－)＝x2＋，则f(3)＝______.
6．如图所示，函数f(x)的图像是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0))＝________.

课题2
函数的定义域与值域
一、课时目标
1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．
2．了解简单的分段函数，并能简单应用．
二、主要知识点
1．函数的定义域
(1)求定义域的步骤：
①写出使函数式有意义的不等式(组)；
②解不等式(组)；
③写出函数定义域．(注意用区间或集合的形式写出)
(2)基本初等函数的定义域：
①整式函数的定义域为 .
②分式函数中分母 .
③偶次根式函数被开方式 .
④一次函数、二次函数的定义域均为 .
⑤函数f(x)＝x0的定义域为 ．
⑥指数函数的定义域为 .
对数函数的定义域为 ．
2．函数的值域
基本初等函数的值域：
(1)y＝＋b(k≠0)的值域是 .
(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a>0时，值域为 ；当a<0时，值域为 ．
(3)y＝(k≠0)的值域是 ．
(4)y＝ax(a>0且a≠1)的值域是 ．
(5)y＝(a>0且a≠1)的值域是 .

三、经典例题
题型一 函数的定义域
【例1】　(1)函数y＝的定义域为________．
(2)函数y＝(a>0且a≠1)的定义域为________．
(3)函数f(x)＝的定义域为________．
【探究1】　(1)给定函数的解析式，求函数的定义域的依据是基本代数式的意义，如分式的分母不等于零，偶次根式的被开方数为非负数，零指数幂的底数不为零，对数的真数大于零且底数为不等于1的正数以及三角函数的定义等．
(2)求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题．在解不等式组时要细心，取交集时可借助数轴，并且要注意端点值或边界值．
【变式1】　求函数y＝＋的定义域．

【例2】　
(1) 已知y＝f(x)的定义域为[1,2]，求y＝f(3x－1)的定义域．

(2) 已知y＝f(log2x)的定义域为[1,2]，求y＝f(x)的定义域．

【探究2】　(1)若已知y＝f(x)的定义域为[a，b]，则y＝f[g(x)]的定义域由a≤g(x)≤b，解出．
(2) 若已知y＝f[g(x)]的定义域为[a，b]，则y＝f(x)的定义域即为g(x)的值域．

【变式2】(1)(2013·大纲全国)已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为________．
(2)若函数f(2x)的定义域是[－1,1]，求f(log2x)的定义域．

题型二 函数的值域
【例3】　求下列函数的值域：
(1) y＝； (2)y＝； (3)y＝x＋＋1；
(4)y＝x－； (5)y＝x＋； (6)y＝|x＋1|＋|x－2|.

【探究3】　求函数值域的一般方法有：
①分离常数法；②反解法；③配方法；④不等式法；⑤单调性法；⑥换元法．
【变式3】(1)函数的值域为(　　)
A．(－∞，] B．[，1]
C．[，1) D．[，＋∞)
(2)函数y＝的值域是________．
(3)函数y＝的值域为________．
题型三 函数定义域与值域的应用
【例4】　已知函数f(x)＝lg[(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1]．
(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围．

【探究4】　已知值域求参数的值或范围是值域应用中的一类比较典型的题目．

【变式4】　已知函数f(x)＝x2－4ax＋2a＋6，x∈R.
(1)若函数的值域为[0，＋∞)，求a的值；
(2)若函数的值域为非负数集，求函数f(a)＝2－a|a＋3|的值域．

四、本课总结
求函数的值域与最值没有通性通法，只能根据函数解析式的结构特征来选择对应的方法求解，因此，对函数解析式结构特征的分析是十分重要的．常见函数解析式的结构模型与对应求解方法可归纳为：
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)及二次型函数y＝a[f(x)]2＋b[f(x)]＋c(a≠0)可用换元法．
2．形如y＝(其中a1，a2不全为0且a2x2＋b2x＋c2≠0)的函数可用判别式法．
3．形如y＝ax＋b±(a、b、c、d为常数，ac≠0)的函数，可用换元法或配方法．
4．形如y＝(c≠0)或y＝或y＝的函数，可用反函数法或分离常数法．
5．形如y＝x＋(k>0，x>0)的函数可用图像法或均值不等式法．
6．对于分段函数或含有绝对值符号的函数(如y＝|x－1|＋|x＋4|)可用分段求值域(最值)或数形结合法．
7．定义在闭区间上的连续函数可用导数法求函数的最值，其解题程序为第一步求导，第二步求出极值及端点函数值，第三步求最大、最小值．
五、课堂作业
1．函数的定义域是(　　)
A．(－3，＋∞)　　　 B．[－2，＋∞)
C．(－3，－2) D．(－∞，－2]

2．(2013·山东)函数f(x)＝＋的定义域为(　　)
A．(－3,0] B．(－3,1]
C．(－∞，－3)∪(－3,0] D．(－∞，－3)∪(－3,1]
3．对函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)作x＝h(t)的代换，则总不改变函数f(x)的值域的代换是(　　)
A．h(t)＝10t B．h(t)＝t2
C．h(t)＝ D．h(t)＝log2t
4．函数y＝的定义域为________．
5．函数y＝的值域为________．

课题3
函数的单调性和最值
一、课时目标
1．理解函数的单调性及其几何意义．
2．会运用函数图像理解和研究函数的性质．
3．会求简单函数的值域，理解最大(小)值及几何意义．
二、主要知识点
1．单调性定义
(1)单调性定义：给定区间D上的函数y＝f(x)，若对于 ∈D，当x1＜x2时，都有f(x1) f(x2)，则f(x)为区间D上的增函数，否则为区间D上的减函数．
单调性与单调区间密不可分，单调区间是定义域的子区间．
(2)证明单调性的步骤：证明函数的单调性一般从定义入手，也可以从导数入手．①利用定义证明单调性的一般步骤是a.∀x1，x2∈D，且 ，b.计算 并判断符号，c.结论．
②设y＝f(x)在某区间内可导，若f′(x) 0，则f(x)为增函数，若f′(x) 0，则f(x)为减函数．
2．与单调性有关的结论
(1)若f(x)，g(x)均为某区间上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)为某区间上的 函数．
(2)若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为 函数．
(3)y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相同，则y＝f[g(x)]是 ．若f(x)与g(x)的单调性相反，则y＝f[g(x)]是 ．
(4)奇函数在对称区间上的单调性 ，偶函数在对称区间上的单调性 ．
(5)若函数f(x)在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)的最大值为 ，最小值为 ，值域为 ．
3．函数的最值
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意x∈I，都有 ，②存在x0∈I，使得 ，那么称M是函数y＝f(x)的最大值；类比定义y＝f(x)的最小值．

三、经典例题
题型一 单调性的判断与证明
【例1】　判断函数f(x)＝(a≠0)在区间(－1,1)上的单调性．

【探究1】　(1)判断函数的单调性有三种方法：
①图像法；②利用已知函数的单调性；③定义法．
(2)证明函数的单调性有两种方法：
①定义法；②导数法．

【变式1】　设函数f(x)＝2x＋a·2－x－1(a为实数)．若a<0，用函数单调性定义证明：y＝f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．

题型二 求函数的单调区间
例2　求下列函数的单调区间．
(1) f(x)＝－x2＋2|x|＋3； (2)f(x)＝log(－x2－2x＋3)；

（4）y＝3x2－6lnx.

【探究2】　求函数的单调区间与确定单调性的方法一致．
(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．
(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．
(3)图像法：如果f(x)是以图像形式给出的，或者f(x)的图像易作出，可由图像的直观性写出它的单调区间．
4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．
(5)求复合函数的单调区间的一般步骤是：①求函数的定义域；②求简单函数的单调区间；③求复合函数的单调区间，依据是“同增异减”．
(6)求函数单调区间，定义域优先．
【变式1】求下列函数的单调区间．
(1)f(x)＝； (2)f(x)＝log(－x2＋4x＋5)； (3)y＝x－(x－1)．

题型三 利用单调性求最值
【例3】　求函数f(x)＝x－在[1,3]上的最值．

【探究3】　(1)运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图像不易作出时，单调性几乎成为首选方法．
(2)函数的最值与单调性的关系
若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；
若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．
【变式3】　已知f(x)＝，x∈[1，＋∞)．
(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．

题型四 单调性的应用
【例4】　(1)已知函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(x2＋2x＋3)<f(6)的x的取值范围为________．
(2)已知函数y＝(2－ax)在[0,1]上是x的减函数，则a的取值范围是________．
【探究4】　已知单调性求参数值或利用单调性解不等式是高考中热点，主要体现对性质的应用．
【变式4】　(1)已知f(x)＝是R上的增函数，那么a的取值范围是________．
(2) 已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，且在其上为增函数，满足f()＝f(x)＋f(y)，f(2)＝1，试解不等式f(x)＋f(x－2)＜3.

四、本课总结
1．单调区间是定义域的子区间，求单调区间、定义域优先．
2．熟记各基本初等函数的单调区间，是求单调区间的前提、基础．
3．对于对勾函数y＝x＋(a>0)，单调增区间：(－∞，－]，[，＋∞)；单调减区间：[－，0)，(0，]．
4．函数的单调增、减区间要分开写；两个(或两个以上)同一类单调区间之间用“，”隔开，不能用“∪”符号连接．
5．若f(x)具有对称轴x＝a，则在x＝a两侧的对称区间上f(x)具有相反的单调性；
若f(x)具有对称中心(a，b)，则在x＝a两侧的对称区间上f(x)具有相同的单调性．
6．函数图像的平移不影响单调性；其中左右平移能改变单调区间，上下平移不改变单调区间．
自助专题 求函数最值的常用方法

1．配方法
配方法是求二次函数最值的基本方法，如F(x)＝af2(x)＋bf(x)＋c的函数的最值问题，可以考虑用配方法．
【例1】　已知函数y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2(a∈R，a≠0)，求函数y的最小值．

2.换元法
【例2】　(1)函数f(x)＝x＋2的最大值为________．
(2) 求函数y＝x－的值域．

3.不等式法
【例3】　设x，y，z为正实数，x－2y＋3z＝0，则的最小值为________．
4.单调性法
【例4】　设a>1，函数f(x)＝在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为，则a＝________.
5.平方法
【例5】　已知函数y＝＋的最大值为M，最小值为m，则的值为(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
6.数形结合法
【例7】　对a，b∈R，记max|a，b|＝函数f(x)＝max||x＋1|，|x－2||(x∈R)的最小值是________．
五、课堂作业
1．下列函数中，在区间(－∞，0)上是减函数的是(　　)
A．y＝1－x2 B．y＝x2＋x
C．y＝－ D．y＝
2．若f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．a<－3 B．a≤－3
C．a>－3 D．a≥－3
3．若函数f(x)是R上的增函数，对实数a、b，若a＋b>0，则有(　　)
A．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)
B．f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)
C．f(a)－f(b)>f(－a)－f(－b)
D．f(a)－f(b)<f(－a)－f(－b)
4．函数f(x)＝log0.5(x＋1)＋log0.5(x－3)的单调递减区间是
(　　)
A．(3，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，－1)
5．给出下列命题
①y＝在定义域内为减函数； ②y＝(x－1)2在(0，＋∞)上是增函数；
③y＝－在(－∞，0)上为增函数；④y＝kx不是增函数就是减函数．其中错误命题的个数有________．

课题4
函数的奇偶性
一、课时目标
1.了解奇函数、偶函数的定义，并能运用奇偶性的定义判断一些简单函数的奇偶性．
2. 掌握奇函数与偶函数的图像对称关系，并熟练地利用对称性解决函数的综合问题．
二、主要知识点
1．奇函数、偶函数、奇偶性
对于函数f(x)，其定义域关于原点对称：
(1)如果对于函数定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)就是奇函数；
(2)如果对于函数定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)就是偶函数；
(3)如果一个函数是奇函数(或偶函数)，那么称这个函数在其定义域内具有奇偶性．
2．证明函数奇偶性的方法步骤
(1)确定函数定义域关于 对称；
(2)判定f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，从而证得函数是奇(偶)函数．
3．奇偶函数的性质
(1)奇函数图像关于 对称，偶函数图像关于 对称；
(2)若奇函数f(x)在x＝0处有意义，则f(0)＝ ；
(3)若奇函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性 ；
若偶函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性 ．
(4)若函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|)，反之也成立．
4．一些重要类型的奇偶函数
(1)函数f(x)＝ax＋a－x为 函数，函数f(x)＝ax－a－x为 函数；
(2)函数f(x)＝＝(a>0且a≠1)为 函数；
(3)函数f(x)＝为 函数；
(4)函数f(x)＝(x＋)为 函数．
5．周期函数
若f(x)对于定义域中任意x均有 (T为不等于0的常数)，则f(x)为周期函数．
6．函数的对称性
若f(x)对于定义域中任意x，均有f(x)＝f(2a－x)，或f(a＋x)＝f(a－x)，则函数f(x)关于 对称．

三、经典例题
题型一 ：判断函数的奇偶性
【例1】　判断下列函数的奇偶性，并证明．
(1) f(x)＝x3＋x；(2)f(x)＝x3＋x＋1；

(3) f(x)＝x2－|x|＋1　x∈[－1,4]；(4)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；

(5)f(x)＝；(6)f(x)＝(x－1) 　x∈(－1,1)．

【探究1】　判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：
(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的区间，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的区间，再判断f(－x)是否等于±f(x)．
(2)图像法：奇(偶)函数的充要条件是它的图像关于原点(或y轴)对称．
(3)性质法：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．(注：利用上述结论时要注意各函数的定义域)
【变式】1　判断下列函数的奇偶性．
(1) f(x)＝；

(2)f(x)＝＋　(a>0，且a≠1)；

(3)f(x)＝

题型二 奇偶性的应用
【例2】　(1)已知函数f(x)为奇函数且定义域为R，x＞0时，f(x)＝x＋1，f(x)的解析式为__________________________．
(2)f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且x∈[0,1)时f(x)为增函数，则不等式f(x)＋f(x－)＜0的解集为__________．
(3)函数f(x＋1)为偶函数，则函数f(x)的图像的对称轴方程为__________．
【探究2】　奇偶函数的性质主要体现在：
(1)若f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)；
若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)．
(2)奇偶函数的对称性．
(3)奇偶函数在关于原点对称的区间上的单调性．

【变式2】　(1)若函数f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，满足f(π)<f(a)的实数a的取值范围是________．
(2)函数y＝f(x－2)为奇函数，则函数y＝f(x)的图像的对称中心为__________．

题型三 函数的周期性
【例3】　设函数f(x)在(－∞，＋∞)上满足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)，且在闭区间[0,7]上，只有f(1)＝f(3)＝0.
(1)证明：函数f(x)为周期函数；
(2)试求方程f(x)＝0在闭区间[－2 005,2 005]上的根的个数，并证明你的结论．

【探究3】　(1)证明函数是周期函数应紧扣周期函数的定义．
(2) 若函数f(x)对任意x满足f(x＋a)＝f(x＋b)，则f(x)为周期函数，若函数f(x)对任意x满足f(x＋a)＝f(b－x)，则函数图像为轴对称图形．
【变式3】　(1)f(x)是定义域为R的奇函数，且图像关于直线x＝1对称，试判断f(x)的周期性．

(2)f(x)是定义在R上的函数，对任意x∈R均满足f(x)＝－，试判断函数f(x)的周期性．

【例4】　(2014·衡水中学调研卷)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图像关于x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1.
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[1,2]时，求f(x)的解析式；
(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 013)的值．

【变式4】　已知f(x)为偶函数，且f(－1－x)＝f(1－x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝－x＋1，求x∈[5,7]时，f(x)的解析式．

四、本课总结
常用结论记心中，快速解题特轻松：
1．(1)若f(x)定义域不对称，则f(x)不具有奇偶性．
(2)若f(x)为奇函数，且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.
(3)若f(x)为偶函数，则f(|x|)＝f(x)．
2．(1)任意一个定义域关于零点对称的函数f(x)均可写成一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)和的形式，则g(x)＝，h(x)＝.
(2)若函数y＝f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)＋f(－x)为偶函数，f(x)－f(－x)为奇函数，f(x)·f(－x)为偶函数．
3．函数f(x)关于x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(2a＋x)＝f(－x)⇔f(2a－x)＝f(x)．
4．(1)若函数f(x)满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)周期T＝2a.
(2)若函数f(x)满足f(x＋a)＝，则f(x)周期T＝2a.
5．(1)若f(x)关于x＝a，x＝b都对称，且a<b，则f(x)是周期函数且T＝2(b－a)．
(2)若f(x)关于(a,0)，(b,0)都对称，且a<b，则f(x)是周期函数，且T＝2(b－a)．
(3)若f(x)关于(a,0)及x＝b都对称，且a<b，则f(x)是周期函数，且T＝4(b－a)．

五、课堂作业
1．(2012·天津)下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为(　　)
A．y＝cos2x，x∈R B．y＝log2|x|，x∈R且x≠0
C．y＝，x∈R D．y＝x3＋1，x∈R
2．若函数y＝f(x)(x∈R)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数y＝f(x)图像上的是(　　)
A．(a，－f(a))　　　　　 B．(－a，－f(a))
C．(－a，－f(－a)) D．(a，f(－a))
3．已知f(x)为奇函数，当x>0，f(x)＝x(1＋x)，那么x<0，f(x)等于(　　)
A．－x(1－x) B．x(1－x)
C．－x(1＋x) D．x(1＋x)
4．函数f(x)是定义域为R的偶函数，又是以2为周期的周期函数，若f(x)在[－1,0]上是减函数，那么f(x)在[2,3]上是(　　)
A．增函数 B．减函数
C．先增后减的函数 D．先减后增的函数
5．(2013·重庆)已知函数f(x)＝ax3＋＋4(a，b∈R)，f(lg(log210))＝5，则f(lg(lg2))＝(　　)
A．－5 B．－1
C．3 D．4
6．若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.

课题5
二次函数
一、课时目标
1．理解并掌握二次函数的定义、图像及性质．
2．会求二次函数在闭区间上的最值．
3．能用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的联系去解决有关问题．
二、主要知识点
1．二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；对称轴方程是 ；

顶点为 ．
(2)两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)；对称轴方程是 ；与x轴的交点为 ．
(3)顶点式：y＝a(x－k)2＋h；对称轴方程是 ；顶点为 ．
2．二次函数的单调性
当a>0时， 上为增函数；在 上为减函数；当a<0时，与之相反．
3．二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的内在联系
(1)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像与x轴交点的横坐标是方程
的实根．
(2)若x1，x2为f(x)＝0的实根，则f(x)在x轴上截得的线段长
应为|x1－x2|＝ .

(3)当 时，恒有f(x)>0；当 时，恒有f(x)<0.
4．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，则二次函数在闭区间[m，n]上的最大、最小值的分布情况
(1)若－∈[m，n]，则f(x)max＝max，f(x)min＝f(－)．
(2)若－∉[m，n]，则f(x)max＝max{f(m)，f(n)}，f(x)min＝min{f(m)，f(n)}．
5．二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)实根的分布
(1)方程有两个均小于常数k的不等实根的充要条件是 .
(2)方程有两个均大于常数k的不等实根的充要条件是 .
(3)方程有一个小于常数k和一个大于常数k的不等实根的充要条件是 .
(4)方程有位于区间(k1，k2)内的两个不等实根的充要条件是 .
(5)方程有两个不等实根x1<x2且k1<x1<k2<x2<k3的充要条件是 .
(6)在(k1，k2)内有且仅有一个实根的一个充分条件是 .
三、经典例题
题型一 二次函数的解析式
【例1】　已知二次函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(0)＝0，f(1)＝1，求f(x)的解析式．

【探究1】　根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：

【变式1】已知二次函数图像的顶点是(－2，)与x轴的两个交点之间的距离为6，则这个二次函数的解析式为________．

题型二 二次函数的值域和最值
【例2】　求下列函数的值域：
(1) y＝x2＋4x－2，x∈R；(2)y＝x2＋4x－2，x∈[－5,0]；

(3) y＝x2＋4x－2，x∈[－6，－3]；(4)y＝x2＋4x－2，x∈[0,2]．

【探究2】　配方法：配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如F(x)＝af2(x)＋bf(x)＋c的函数的值域问题，均可使用配方法．
【变式2】　求下列函数的值域：
（1）y＝； 　(2)y＝2－(0≤x≤4)．

【例3】　已知f(x)＝x2＋ax＋3－a，若x∈[－2,2]时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．

【探究3】　(1)求二次函数f(x)在某区间[m，n]上的最值的关键是判断抛物线对称轴与区间[m，n]的位置关系，以便确定函数在该区间的单调性．本题中的对称轴为x＝－，与区间[－2,2]的位置关系不确定，是造成分类讨论的原因．
(2) 二次函数在区间上的最值问题，可分成三类：①对称轴固定，区间固定；②对称轴变动，区间固定；③对称轴固定，区间变动．此类问题一般利用二次函数的图像及其单调性来考虑，对于后面两类问题，通常应分对称轴在区间内、左、右三种情况讨论．
【变式3】　已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在0≤x≤1时有最大值2，求a的值．

题型三 一元二次根的分布情况
【例4】　(1)已知二次方程(2m＋1)x2－2mx＋(m－1)＝0有一正根和一负根，求实数m的取值范围．
(2)已知方程2x2－(m＋1)x＋m＝0有两个不等正实根，求实数m的取值范围．
(3)已知二次方程mx2＋(2m－3)x＋4＝0只有一个正根且这个根小于1，求实数m的取值范围．

【探究4】　一元二次方程根的分布的求法：
(1)数形结合法．
(2)韦达定理法．
(3)求根公式法．
具体问题中用哪种方法要视其过程是否复杂而定．
【变式4】　(1)已知二次函数y＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋(3m＋3)与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围．
(2)关于x的方程(1－m2)x2＋2mx－1＝0有两个根，一个小于0，一个大于1，求m的范围．

四、本课总结
1．求二次函数的解析式常用待定系数法(如例1)．
2．二次函数求最值问题：首先要采用配方法，化为y＝a(x＋m)2＋n的形式，得顶点(－m，n)和对称轴方程x＝－m，可分成三个类型．
(1)顶点固定，区间也固定．
(2)