高一数学暑假复习资料20讲.doc

课题1函数及其表示一、课时目标1了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域2了解映射的概念，在实际情景中会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数3了解简单的分段函数，并能简单应用二、主要知识点1函数(1)函数实质上是从一个非空数集到另一个非空数集的映射(2)函数的三要素： (3)函数的表示法： (4)两个函数只有当 都分别相同时，这两个函数才相同2分段函数在一个函数的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数，分段函数是一个函数而不是几个函数三、经典例题题型一 函数与映射的概念【例1】下列对应是否是从集合A到B的映射，能否构成函数？AN，BQ，f：ab；Ax|xn，nN*，By|y，nN*，f：xy；Ax|x0，xR，BR，f：xy，y2x；A平面M内的矩形，B平面M内的圆，f：作矩形的外接圆【探究1】(1)映射只要求第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应；至于B中的元素有无原象、有几个原象却无所谓(2)函数是特殊的映射：当映射f：AB中的A、B为非空数集时，即成为函数(3)高考对映射的考查往往结合其他知识，只有深刻理解映射的概念才能在解决此类问题时【变式1】(1)集合Ax|0x4，By|0y2，下列不表示从A到B的函数的是()Af：xyxBf：xyxCf：xyxDf：xy(2)设a在映射f下的象为2aa，则20在映射f下的原象为_【例2】以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什么？(1)f1：y；f2：y1.(2)f1：y|x|；f2：y(3)f1：y f2：xx11x0时，值域为 ；当a0且a1)的值域是 (5)y(a0且a1)的值域是 .三、经典例题题型一 函数的定义域【例1】(1)函数y的定义域为_(2)函数y(a0且a1)的定义域为_(3)函数f(x)的定义域为_【探究1】(1)给定函数的解析式，求函数的定义域的依据是基本代数式的意义，如分式的分母不等于零，偶次根式的被开方数为非负数，零指数幂的底数不为零，对数的真数大于零且底数为不等于1的正数以及三角函数的定义等(2)求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题在解不等式组时要细心，取交集时可借助数轴，并且要注意端点值或边界值【变式1】求函数y的定义域【例2】(1) 已知yf(x)的定义域为1,2，求yf(3x1)的定义域(2) 已知yf(log2x)的定义域为1,2，求yf(x)的定义域【探究2】(1)若已知yf(x)的定义域为a，b，则yfg(x)的定义域由ag(x)b，解出(2) 若已知yfg(x)的定义域为a，b，则yf(x)的定义域即为g(x)的值域【变式2】(1)(2013大纲全国)已知函数f(x)的定义域为(1,0)，则函数f(2x1)的定义域为_(2)若函数f(2x)的定义域是1,1，求f(log2x)的定义域 题型二 函数的值域【例3】求下列函数的值域：(1) y； (2)y； (3)yx1； (4)yx； (5)yx； (6)y|x1|x2|.【探究3】求函数值域的一般方法有：分离常数法；反解法；配方法；不等式法；单调性法；换元法【变式3】(1)函数的值域为()A(，B，1C，1)D，)(2)函数y的值域是_(3)函数y的值域为_题型三 函数定义域与值域的应用【例4】已知函数f(x)lg(a21)x2(a1)x1(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围【探究4】已知值域求参数的值或范围是值域应用中的一类比较典型的题目【变式4】已知函数f(x)x24ax2a6，xR.(1)若函数的值域为0，)，求a的值；(2)若函数的值域为非负数集，求函数f(a)2a|a3|的值域四、本课总结求函数的值域与最值没有通性通法，只能根据函数解析式的结构特征来选择对应的方法求解，因此，对函数解析式结构特征的分析是十分重要的常见函数解析式的结构模型与对应求解方法可归纳为：1二次函数yax2bxc(a0)及二次型函数yaf(x)2bf(x)c(a0)可用换元法2形如y(其中a1，a2不全为0且a2x2b2xc20)的函数可用判别式法3形如yaxb(a、b、c、d为常数，ac0)的函数，可用换元法或配方法4形如y(c0)或y或y的函数，可用反函数法或分离常数法5形如yx(k0，x0)的函数可用图像法或均值不等式法6对于分段函数或含有绝对值符号的函数(如y|x1|x4|)可用分段求值域(最值)或数形结合法7定义在闭区间上的连续函数可用导数法求函数的最值，其解题程序为第一步求导，第二步求出极值及端点函数值，第三步求最大、最小值五、课堂作业1函数的定义域是()A(3，) B2，)C(3，2)D(，22(2013山东)函数f(x)的定义域为()A(3,0B(3,1C(，3)(3,0D(，3)(3,13对函数f(x)ax2bxc(a0)作xh(t)的代换，则总不改变函数f(x)的值域的代换是()Ah(t)10tBh(t)t2Ch(t)Dh(t)log2t4函数y的定义域为_5函数y的值域为_课题3函数的单调性和最值一、课时目标1理解函数的单调性及其几何意义2会运用函数图像理解和研究函数的性质3会求简单函数的值域，理解最大(小)值及几何意义二、主要知识点 1单调性定义(1)单调性定义：给定区间D上的函数yf(x)，若对于 D，当x1x2时，都有f(x1) f(x2)，则f(x)为区间D上的增函数，否则为区间D上的减函数单调性与单调区间密不可分，单调区间是定义域的子区间(2)证明单调性的步骤：证明函数的单调性一般从定义入手，也可以从导数入手利用定义证明单调性的一般步骤是a.x1，x2D，且 ，b.计算 并判断符号，c.结论设yf(x)在某区间内可导，若f(x) 0，则f(x)为增函数，若f(x) 0，则f(x)为减函数2与单调性有关的结论(1)若f(x)，g(x)均为某区间上的增(减)函数，则f(x)g(x)为某区间上的 函数(2)若f(x)为增(减)函数，则f(x)为 函数(3)yfg(x)是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相同，则yfg(x)是 若f(x)与g(x)的单调性相反，则yfg(x)是 (4)奇函数在对称区间上的单调性 ，偶函数在对称区间上的单调性 (5)若函数f(x)在闭区间a，b上是减函数，则f(x)的最大值为 ，最小值为 ，值域为 3函数的最值设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意xI，都有 ，存在x0I，使得 ，那么称M是函数yf(x)的最大值；类比定义yf(x)的最小值 三、经典例题题型一 单调性的判断与证明【例1】判断函数f(x)(a0)在区间(1,1)上的单调性【探究1】(1)判断函数的单调性有三种方法：图像法；利用已知函数的单调性；定义法(2)证明函数的单调性有两种方法：定义法；导数法【变式1】设函数f(x)2xa2x1(a为实数)若a0恒成立，试求实数a的取值范围 题型四 单调性的应用【例4】(1)已知函数f(x)在区间0，)上单调递增，则满足f(x22x3)0)，单调增区间：(，)；单调减区间：，0)，(0，4函数的单调增、减区间要分开写；两个(或两个以上)同一类单调区间之间用“，”隔开，不能用“”符号连接5若f(x)具有对称轴xa，则在xa两侧的对称区间上f(x)具有相反的单调性； 若f(x)具有对称中心(a，b)，则在xa两侧的对称区间上f(x)具有相同的单调性6函数图像的平移不影响单调性；其中左右平移能改变单调区间，上下平移不改变单调区间自助专题 求函数最值的常用方法1配方法配方法是求二次函数最值的基本方法，如F(x)af2(x)bf(x)c的函数的最值问题，可以考虑用配方法【例1】已知函数y(exa)2(exa)2(aR，a0)，求函数y的最小值2.换元法【例2】(1)函数f(x)x2的最大值为_(2) 求函数yx的值域3.不等式法【例3】设x，y，z为正实数，x2y3z0，则的最小值为_4.单调性法【例4】设a1，函数f(x)在区间a,2a上的最大值与最小值之差为，则a_.5.平方法【例5】已知函数y的最大值为M，最小值为m，则的值为()A.B.C. D.6.数形结合法【例7】对a，bR，记max|a，b|函数f(x)max|x1|，|x2|(xR)的最小值是_五、课堂作业1下列函数中，在区间(，0)上是减函数的是()Ay1x2Byx2xCyDy2若f(x)x22(a1)x2在区间(，4)上是减函数，则实数a的取值范围是()Aa3Da33若函数f(x)是R上的增函数，对实数a、b，若ab0，则有()Af(a)f(b)f(a)f(b)Bf(a)f(b)f(a)f(b)Df(a)f(b)0且a1)为 函数；(3)函数f(x)为 函数；(4)函数f(x)(x)为 函数5周期函数若f(x)对于定义域中任意x均有 (T为不等于0的常数)，则f(x)为周期函数6函数的对称性若f(x)对于定义域中任意x，均有f(x)f(2ax)，或f(ax)f(ax)，则函数f(x)关于 对称三、经典例题题型一 ：判断函数的奇偶性 【例1】判断下列函数的奇偶性，并证明(1) f(x)x3x；(2)f(x)x3x1；(3) f(x)x2|x|1x1,4；(4)f(x)|x1|x1|；(5)f(x)；(6)f(x)(x1) x(1,1)【探究1】判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的区间，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的区间，再判断f(x)是否等于f(x)(2)图像法：奇(偶)函数的充要条件是它的图像关于原点(或y轴)对称(3)性质法：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数(注：利用上述结论时要注意各函数的定义域)【变式】1判断下列函数的奇偶性(1) f(x)； (2)f(x)(a0，且a1)； (3)f(x)题型二 奇偶性的应用 【例2】(1)已知函数f(x)为奇函数且定义域为R，x0时，f(x)x1，f(x)的解析式为_(2)f(x)是定义在(1,1)上的奇函数，且x0,1)时f(x)为增函数，则不等式f(x)f(x)0的解集为_(3)函数f(x1)为偶函数，则函数f(x)的图像的对称轴方程为_【探究2】奇偶函数的性质主要体现在：(1)若f(x)为奇函数，则f(x)f(x)；若f(x)为偶函数，则f(x)f(x)(2)奇偶函数的对称性(3)奇偶函数在关于原点对称的区间上的单调性【变式2】(1)若函数f(x)是R上的偶函数，且在0，)上是减函数，满足f()f(a)的实数a的取值范围是_(2)函数yf(x2)为奇函数，则函数yf(x)的图像的对称中心为_题型三 函数的周期性【例3】设函数f(x)在(，)上满足f(2x)f(2x)，f(7x)f(7x)，且在闭区间0,7上，只有f(1)f(3)0.(1)证明：函数f(x)为周期函数；(2)试求方程f(x)0在闭区间2 005,2 005上的根的个数，并证明你的结论【探究3】(1)证明函数是周期函数应紧扣周期函数的定义(2) 若函数f(x)对任意x满足f(xa)f(xb)，则f(x)为周期函数，若函数f(x)对任意x满足f(xa)f(bx)，则函数图像为轴对称图形【变式3】(1)f(x)是定义域为R的奇函数，且图像关于直线x1对称，试判断f(x)的周期性(2)f(x)是定义在R上的函数，对任意xR均满足f(x)，试判断函数f(x)的周期性【例4】(2014衡水中学调研卷)已知函数f(x)是(，)上的奇函数，且f(x)的图像关于x1对称，当x0,1时，f(x)2x1.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x1,2时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)f(1)f(2)f(2 013)的值【变式4】已知f(x)为偶函数，且f(1x)f(1x)，当x0,1时，f(x)x1，求x5,7时，f(x)的解析式四、本课总结常用结论记心中，快速解题特轻松：1(1)若f(x)定义域不对称，则f(x)不具有奇偶性(2)若f(x)为奇函数，且在x0处有定义，则f(0)0.(3)若f(x)为偶函数，则f(|x|)f(x)2(1)任意一个定义域关于零点对称的函数f(x)均可写成一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)和的形式，则g(x)，h(x).(2)若函数yf(x)的定义域关于原点对称，则f(x)f(x)为偶函数，f(x)f(x)为奇函数，f(x)f(x)为偶函数3函数f(x)关于xa对称f(ax)f(ax)f(2ax)f(x)f(2ax)f(x)4(1)若函数f(x)满足f(xa)f(x)，则f(x)周期T2a.(2)若函数f(x)满足f(xa)，则f(x)周期T2a.5(1)若f(x)关于xa，xb都对称，且ab，则f(x)是周期函数且T2(ba)(2)若f(x)关于(a,0)，(b,0)都对称，且ab，则f(x)是周期函数，且T2(ba)(3)若f(x)关于(a,0)及xb都对称，且a0，f(x)x(1x)，那么x0时， 上为增函数；在 上为减函数；当a0；当 时，恒有f(x)0)，则二次函数在闭区间m，n上的最大、最小值的分布情况(1)若m，n，则f(x)maxmax，f(x)minf()(2)若m，n，则f(x)maxmaxf(m)，f(n)，f(x)minminf(m)，f(n)5二次方程ax2bxc0(a0)实根的分布(1)方程有两个均小于常数k的不等实根的充要条件是 .(2)方程有两个均大于常数k的不等实根的充要条件是 .(3)方程有一个小于常数k和一个大于常数k的不等实根的充要条件是 .(4)方程有位于区间(k1，k2)内的两个不等实根的充要条件是 .(5)方程有两个不等实根x1x2且k1x1k2x2k3的充要条件是 .(6)在(k1，k2)内有且仅有一个实根的一个充分条件是 .三、经典例题题型一 二次函数的解析式【例1】已知二次函数f(x)满足f(1x)f(1x)，且f(0)0，f(1)1，求f(x)的解析式【探究1】根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：【变式1】已知二次函数图像的顶点是(2，)与x轴的两个交点之间的距离为6，则这个二次函数的解析式为_题型二 二次函数的值域和最值【例2】求下列函数的值域：(1) yx24x2，xR；(2)yx24x2，x5,0；(3) yx24x2，x6，3；(4)yx24x2，x0,2【探究2】配方法：配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如F(x)af2(x)bf(x)c的函数的值域问题，均可使用配方法【变式2】求下列函数的值域：（1）y； (2)y2(0x4)【例3】已知f(x)x2ax3a，若x2,2时，f(x)0恒成立，求a的取值范围【探究3】(1)求二次函数f(x)在某区间m，n上的最值的关键是判断抛物线对称轴与区间m，n的位置关系，以便确定函数在该区间的单调性本题中的对称轴为x，与区间2,2的位置关系不确定，是造成分类讨论的原因(2) 二次函数在区间上的最值问题，可分成三类：对称轴固定，区间固定；对称轴变动，区间固定；对称轴固定，区间变动此类问题一般利用二次函数的图像及其单调性来考虑，对于后面两类问题，通常应分对称轴在区间内、左、右三种情况讨论【变式3】已知函数f(x)x22ax1a在0x1时有最大值2，求a的值题型三 一元二次根的分布情况【例4】(1)已知二次方程(2m1)x22mx(m1)0有一正根和一负根，求实数m的取值范围(2)已知方程2x2(m1)xm0有两个不等正实根，求实数m的取值范围(3)已知二次方程mx2(2m3)x40只有一个正根且这个根小于1，求实数m的取值范围【探究4】一元二次方程根的分布的求法：(1)数形结合法(2)韦达定理法(3)求根公式法具体问题中用哪种方法要视其过程是否复杂而定【变式4】(1)已知二次函数y(m2)x2(2m4)x(3m3)与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围(2)关于x的方程(1m2)x22mx10有两个根，一个小于0，一个大于1，求m的范围 四、本课总结1求二次函数的解析式常用待定系数法(如例1)2二次函数求最值问题：首先要采用配方法，化为ya(xm)2n的形式，得顶点(m，n)和对称轴方程xm，可分成三个类型(1)顶点固定，区间也固定(2)