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八年级四边形数学竞赛试题
四边形竞赛试题
一、选择题：
1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．已知∠AOB=60°，AC＝16，则图中长度为8的线段有( )
A．2条 B．4条 C．5条 D．6条
2题（第4题图）

2 如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝3．其中正确结论的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3. 如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4. 已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4∶3，则这个菱形的面积是（ ）
A．12cm2 B． 24cm2 C． 48cm2 D． 96cm2
5. 四边形的四条边长分别是a、b、c、d，其中a、c为对边，且满足，则这个四边形一定是( )
A．平行四边形 B．两组对角分别相等的四边形
C．对角线互相垂直的四边形 D．对角线相等的四边形
6、如图，正方形ABCD外有一点P，P在BC外侧，并在平行线AB与CD之间，若PA=，PB=，PC=，则PD=（　　）
A．2 B． C．3 D．
7、如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连结AO，如果AB=4，AO=，那么AC的长等于(　　 )
(A) 12 　 (B) 16 (C) 　(D)
A
B
C
E
F
O
第7题

A
B
C
D
E
（第8题）

8、如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，E是AD的中点，
,，则梯形ABCD的面积等于（ ）．
（A）13 （B）8 （C） （D）4
A
D
E
P
C
B
F

A
B
C
D
F
E
O
A
B
C
D

（第9题） （第10题）
9、如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC=（ ）
A．35° B．45° C．50° D．55°
10、将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝3，则BC的长为 ( )
A．1　 B．2 C． D．
二、填空题：
1、如图，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，△ABD、△ACE、△BCF都是等边三角形，则四边形AEFD的面积为_________．

2、在矩形ABCD中，已知两邻边AD=12，AB=5，P是AD边上异于A和D的任意一点，且PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，那么PE+PF=　 ．
3、长方形ABCD的面积为8，E、F分别在BC、CD上，且BE=FD=2，则△AEF的面积=_____________.
4、在梯形ABCD中AD//BC，AD=2，AC=4，BC=6，那么梯形ABCD的面积为____________.
5.在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形.你添加的条件是 .(写出一种即可)
6. 如图，矩形纸片ABCD中，AB＝2cm，点E在BC上，且AE＝EC.若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC上的点重合，则AC＝ cm.

7、平行四边形ABCD中，AB = 6，BC = 4，∠ABC = 60°．要用一块矩形铝板切割出这样的平行四边形并使废料最少，则矩形的面积最小为 ．
8. 阅读下面短文：
如图1，△ABC是直角三角形，∠C=90°，现将△ABC补成矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个便点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画出两个：矩形ACBD和矩形AEFB(如图2)．

解答问题；
(1)设图2中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为Sl、S2，则S1 S2(填“>”，“=”或“<”)；
(2)如图3，△ABC是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出 个，利用图3把它画出来；
(3)如图4，△ABC是锐角三角形且三边满足BC>AC>AB，按短文中的要求把它补成矩形，则符合要求的矩形可以画出 个，利用图4把它画出来；
(4)在(3)中所画出的矩形中，哪一个的周长最小?为什么?
三、 解答题
1. 如图，在△ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF。那么当点O运动到何下时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论。
（第24题图）

2．如图，在□ABCD中，E、F分别为边ABCD的中点，BD是对角线，过A点作AGDB交CB的延长线于点G．
（1）求证：DE∥BF；
（2）若∠G＝90，求证四边形DEBF是菱形．

3. 如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点， PO的延长线交BC于Q.
（1）求证： OP=OQ；
（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）.设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD是菱形．

4. 如图，将□ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．
⑴求证：△ABF≌△ECF
⑵若∠AFC=2∠D，连接AC、BE．求证：四边形ABEC是矩形．
A
B
C
D
E
F
(第4题)

5. 已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＋CD2＝2AB2．
（1）求证：AB＝BC；
A
B
C
D
E
（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE＝AE＋CD．
6. 以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH．
（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不要求证明）；
（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC=（0°＜＜90°），
① 试用含的代数式表示∠HAE；
② 求证：HE=HG；
③ 四边形EFGH是什么四边形？并说明理由．
（第6题图2）
（第6题图3）
（第6题图1）

7. 已知,矩形中,,,的垂直平分线分别交、于点、,垂足为.
(1)如图10-1,连接、.求证四边形为菱形,并求的长；
(2)如图10-2,动点、分别从、两点同时出发,沿和各边匀速运动一周.即点自→→→停止,点自→→→停止.在运动过程中,
①已知点的速度为每秒5,点的速度为每秒4,运动时间为秒,当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,求的值.
②若点、的运动路程分别为、(单位:,),已知、、、四点为顶点的四边形是平行四边形,求与满足的数量关系式.
图7-1
图7-2
备用图

8.以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH．
（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不要求证明）；
（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC=（0°＜＜90°），
① 试用含的代数式表示∠HAE；
② 求证：HE=HG；
③ 四边形EFGH是什么四边形？并说明理由．
（第8题图2）
（第8题图3）
（第8题图1）

9、如图，菱形的对角线AC与BD交于点O，延长BA到E，使AE=AB，连结OE，延长DE交CA的延长线于F．求证：OE=DF．
10、△ABC中，分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形ABM和CAN，P是BC的中点,求证：PM＝PN.

11、如图，在等腰三角形ABC中，延长边AB到点D，延长边CA到点E，连结DE，恰有AD=BC=CE=DE．求∠BAC的度数．
12、如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB，M是AD的中点，CE⊥AB与点E，
求证：∠DME=3∠AEM

13、设正方形ABCD的边CD的中点为E，F是CE的中点．求证：.
14、如图，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上(CG＞BC)，取线段AE的中点M．
(1)探究：线段MD、MF的关系，并加以证明．
(2)将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图），其他条件不变．探究：线段MD、MF的关系，并加以证明．

15、如图所示，ABCD是正方形，AE∥DB，BE＝BD，BE交AD于F，求∠DEF的度数。
_
B
_
C
_
D
_
E
_
F
_
A

16、如图2-46所示．直角梯形ABCD中，∠C=90°，AD∥BC，AD+BC=AB，E是CD的中点．若AD=2，BC=8，求△ABE的面积．
17、已知，正方形ABCD的边长为1，点E、F、G分别在边AD、AB、DC长（可与顶点重合），
若△EFG为正三角形，求△EFG面积的最大值与最小值.
18、在梯形ABCD中，AB//CD,AB=2CD,MN分别是对角线AC、BD的中点，设梯形的周长为，四边形CDMN的周长为，且=n，试求出n的值.
19、已知：点，，正比例函数与反比例函数 的图像交于两点，
（1）求证：四边形ACBD是平行四边形．
（2）当时，判定四边形ACBD的形状．
（3）当时，判定四边形ACBD的形状．
（4）当时，判定四边形ACBD的形状．