高三一轮复习平面向量复习教案.doc

平面向量
第一课时 平面向量的概念
【重要知识】
知识点一：向量的概念
既有大小又有方向的量叫向量。
注意数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；
向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.
知识点二：向量的表示法
①用有向线段表示；
②用字母ａ、ｂ
（黑体，印刷用）等表示；①用有向线段表示；
③用有向线段的起点与终点字母：；
④向量的大小――长度称为向量的模，记作||.
知识点三：有向线段
（1）有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.
（2）向量与有向线段的区别：
①向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；
②有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.
知识点四：两个特殊的向量
（1）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作. 的方向是任意的.
注意与0的含义与书写区别.
（2）单位向量：长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.
说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。
知识点五：平行向量、共线向量
（1） 定义：方向相同或相反的非零向量叫平行向量。
（2） 规定：规定与任一向量平行.
（3）共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.
说明：①综合(1)、(2)才是平行向量的完整定义;
②向量平行，记作∥ ∥
③平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；
④共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
知识点六：相等向量
（1） 定义长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
（2）向量与相等，记作；
（3）零向量与零向量相等；
（4）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.
【典型例题】
1．下列命题正确的是 （ ）
A．向量与是两平行向量 
B．若都是单位向量,则
C．若=,则A、B、C、D四点构成平行四边形
D．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同
2．若都是单位向量，则的取值范围是 （ ）
A．（1，2） B．（0，2） C．［1，2］ D．［0，2］
3.在正六边形ABCDEF中，O为其中心，则等于（ ）
A． B. C D
4. 如图，在△ABC中，= , = ，AD为边BC的中线，G为△ABC的重心，
·
D
A
BM
CM
a
b
求：向量．

G

5．已知△ABC及一点O，求证：O为△ABC的重心的
充要条件是

6.设平面内有四边形ABCD和O点，，若，则四边形ABCD的形状为 。

【同步练习】
1．在四边形ABCD中，=a+2b，=－4a－b，=－5a－3b，其中a、b不共线，则四边形ABCD为（ ）
A.平行四边形 B.矩形 C.梯形 D.菱形
2.已知菱形ABCD，点P在对角线AC上（不包括端点A、C），则等于（ ）
A.λ(+),λ∈(0,1) B.λ(+),λ∈(0,)
C.λ(－),λ∈(0,1) D.λ(),λ∈(0,)
3.已知两点， ，则P点坐标是 （ ）
4.已知△ABC中，，若，求证：△ABC为正三角形.

5.已知平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，求证.

第二课时 平面向量的线性运算
【重要知识】
知识点一：向量的加法
（1）定义已知非零向量，在平面内任取一点A，作＝，＝，则向量叫做与的和，记作，即＝＋＝．
求两个向量和的运算，叫做叫向量的加法．这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．
说明：①运用向量加法的三角形法则时，要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量终点 的向量即为和向量.
②两个向量的和仍然是一个向量，其大小、方向可以由三角形法则确定．
③位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型．
（2）向量加法的平行四边形法则
以点O为起点作向量 ，，以OA,OB为邻边作，则以O为起点的对角线所在向量就是的和，记作=。
说明：①三角形法则适合于首尾相接的两向量求和，而平行四边形法则适合于同起点的两向量求和，但两共线向量求和时，则三角形法则较为合适.
②力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型．
③对于零向量与任一向量
（3）特殊位置关系的两向量的和
①当向量与不共线时，+的方向不同向，且|+|<||+||；
②当与同向时，则+、、同向，且|+|=||+||，
③当与反向时，若||>||，则+的方向与相同，且|+|=||-||；若||<||，则+的方向与相同，且|+b|=||-||.
（4）向量加法的运算律
①向量加法的交换律：+=+
②向量加法的结合律：(+) +=+ (+)
知识点二：向量的减法
（1）相反向量：与长度相同、方向相反的向量.记作 -。
（2）①向量和-互为相反向量，即 –(-).
②零向量的相反向量仍是零向量．
③任一向量与其相反向量的和是零向量，即　＋(-)＝(-)＋＝．
④如果向量互为相反向量，那么＝-，＝-，＋＝．
（3）向量减法的定义：向量 加上的 相反向量，叫做 与的差.
即： - = + (- ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.
（4）向量减法的几何作法
在平面内任取一点O，作，则．即可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这就是向量减法的几何意义．
说明：①表示.强调：差向量“箭头”指向被减数
②用“相反向量”定义法作差向量，- = + (- )， 显然，此法作图较繁，但最后作图可统一.
知识点三：向量数乘的定义
（1）定义：一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下：
⑴|λ|＝|λ|||
⑵当时，λ的方向与的方向相同；当时，λ的方向与的方向相反．
当时，λ＝
（2） 向量数乘的运算律
根据实数与向量的积的定义，我们可以验证下面的运算律：
设、为实数，那么
⑴λ(μ)＝(λμ)；
⑵(λ＋μ)＝λ＋μ；
⑶λ(＋)＝λ＋λ．

知识点四：向量共线的条件
向量()与共线，当且仅当有唯一一个实数，使＝．

【典型例题】
1. 下列各式正确的是（  ）
　　A．若，同向，则|+|=||+||
　　B．与||+||表示的意义是相同的
　　C．若，不共线，则|+|＞||+||
D．永远成立
2．等于（  ）
A．　　B． 　　C．　　D．
3．下列命题
　　①如果，的方向相同或相反，那么的方向必与，之一的方向相同。
　　②△ABC中，必有
　　③若，则A、B、C为一个三角形的三个顶点。
　　④若，均为非零向量，则|+|与||+||一定相等。
其中真命题的个数为（   ）
A．0　　B．1　　C．2　　D．3
4．已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量分别为，，，则向量等于（   ）
A．　　B．　　C．　　D．

5．在四边形ABCD中，设，则等于（   ）
　　A．　　B．
C．　　D．
6．设是的相反向量，则下列说法错误的是（   ）
　　A．与的长度必相等　　B．∥
C．与一定不相等　　D．是的相反向量
7．可以写成：①；②；③；④，其中正确的是（   ）
　　A．①② 　　B．②③ 　　C．③④ 　　D．①④
8.如图所示，在 ABCD中，已知，用与表示向量、。

【同步练习】
1.在以下各命题中，不正确的命题个数为（   ）
　　①||=||是=的必要不充分条件；
　　②任一非零向量的方向都是惟一的；
　　③|-|＜||+||　　④若|-|=||+||，则；
　　⑤已知A、B、C是平面上的任意三点，则。
A．1　　B．2　　C．3　　D．4
2．某人先位移向量：“向东走3km”，接着再位移向量：“向北走3km”，则（  ）
　　A．向东南走km　　B．向东北走km
C．向东南走km　　D．向东北走km
3．若，则的取值范围是（   ）
A．　　B．（3，8）　　C．　　D．（3，13）
4．设ABCDEF为一正六边形，，则
5．化简：

第三课时平面向量的基本定理
【重要知识】
知识点一：平面向量基本定理
⑴平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使= 。我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
(2)运用定理时需注意：①，是同一平面内的两个不共线向量。
②该平面内的任一向量都可用，线性表示，且这种表示是唯一的。
③基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底。
知识点二：两向量的夹角与垂直
（1） 定义：已知两个非零向量，作,则∠AOB=叫做向量的夹角。
（2）如果的夹角是90°，就说垂直，记作。
（3）注意：向量的夹角的范围是，当时，同向；当时，；当，反向。
知识点三：平面向量的坐标表示
（1）如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得
…………
我们把叫做向量的（直角）坐标，记作
…………
其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示.与相等的向量的坐标也为.
特别地，，
如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作，则点的位置由唯一确定.
设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.
（2）平面向量的坐标运算
① 若，则，
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
② 若，，则
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.
（3）若和实数，则.
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
知识点四：平面向量共线的坐标表示

（1） 设， 其中，当且仅当时，向量共线。
（2） 注意:①遇到与共线有关的问题时，一般要考虑运用两向量共线的条件。
②运用两向量共线的条件，可求点的坐标，可证明三点共线等问题。
学习结论
（1） 在解具体问题时，要适当的选取基底。把几何问题转化为代数问题。
（2） 向量共线的充要条件有两种形式：∥（）
（3） 注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0°≤q≤180°。

【典型例题】
1. 已知平面上三点的坐标分别为A(-2， 1)， B(-1， 3)， C(3， 4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.

2．已知三个力 (3， 4)， (2， -5)， (x， y)的合力++=，求的坐标.

3．若向量=(-1，x)与=(-x， 2)共线且方向相同，求x

4．已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ，向量与平行吗？直线AB与平行于直线CD吗？

【同步练习】
基础练习
1.下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（ ）
A. B .
C. D
2. .已知=(2，3），=(－1，2），则2－3等于
A.（5，1） B.（5，－3）
C.（7，0） D.（－7，0）
3.已知=（－1，3）， =（x,－1），且∥,则x等于 （ ）
A.3 B.
C.－3 D.－
4.下列各组向量是相互平行的是 （ ）
A.a=(－2，3），b=(3，5）
B.a=（3，2），b=（2，3）
C.a=（2，－1），b=（1，4）
D.a=（－2，1），b=(4，－2）
5.已知A（x，2），B（5，y－2)，若=（4，6），则x、y的值为 （ ）
A.x=－1，y=0
B.x=1，y=10
C.x=1，y=－10
D.x=－1，y=－10
6.已知M（3，－2），N（－5，－1），=，则P点的坐标为 （ ）
A.（－8，1） B.（－1，－）
C.（1，） D.（8，－1）

7..若－=（1，2），+=(4，－10），则等于 （ ）
A.（－2，－2） B.（2，2）
C.（－2，2） D.（2，－2）
8. 已知2，2，(－)·=0，则与的夹角是 （ ）
A． B． C． D．

提高练习
1. 已知向量，试用来表示。

2. 向量，当k为何值时，A、B、C三点共线。

3. 已知中A(7,8),B(3,5),C(4,3)，M、N是AB、CD的中点，D是BC的中点，MN与AD交于F。求

4. 已知点及。求点C、D和的坐标。

第四课时平面向量的数量积
【重要知识】
知识点一：平面向量的数量积
（1） 定义：：已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，则数量||||cosq叫与的数量积，记作×，即有× = ||||cosq，（０≤θ≤π）
（2） .并规定与任何向量的数量积为0.
（3） 投影：“投影”的概念：作图

①定义：||cosq叫做向量在方向上的投影.
②投影也是一个数量，不是向量；当q为锐角时投影为正值；当q为钝角时投影为负值；当q为直角时投影为0；当q = 0°时投影为 ||；当q = 180°时投影为 -||.
（4） 两个向量的数量积与向量同实数积的区别
①两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定.当0°≤＜90°时，×＞0；当=90°时，×=0；当90°＜≤180°时，×＜0.
②两个向量的数量积称为内积，写成×；.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.
③在实数中，若a¹0，且a×b=0，则b=0；但是在数量积中，若，且×=0，不能推出.因为其中cosq有可能为0.
（5）平面向量的数量积的几何意义：
数量积×等于的长度与在方向上投影||cosq的乘积.
注意：在方向上投影可以写成
（6）平面向量的数量积的性质：
设、为两个非零向量，
① ^ Û × = 0
② 当与同向时，× = ||||；当与反向时，×= -||||. 特别的× = ||2或
③
④cosq =，利用这一关系，可求两个向量的夹角。
（7）平面向量数量积的运算律
①．交换律：
②．数乘结合律：()×=(×) = ×()
③．分配律：(+)×= ×+ ×

说明：①一般地，(·)·≠·（·）
②·＝·，≠0＝
③有如下常用性质：
（＋）（＋）＝·＋·＋·＋·

知识点二：平面两向量数量积的坐标表示
（1） 已知两个非零向量，则·，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
（2） 向量模的坐标表示
①设，则.
②如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么
（3） 注意：若A、B，则,所以的实质是A,B的两点的距离或是线段的长度，这也是模的几何意义。
（4） 两个向量垂直的条件
设，则^ Û
（5） 两向量夹角的余弦公式
（6） 设两个非零向量，是与的夹角，则有cos==
学习结论
（1） 两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定.
（2） 数学中涉及向量中点、夹角、距离、平行与垂直问题，均可转化为向量问题。
两向量垂直的充要条件有时与向量共线条件结合在一起，要注意两者的联系。
【典型例题】
1. 已知与都是非零向量，且+ 3与7 - 5垂直， - 4与7- 2垂直，求与的夹角.

2. 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.

3. 如图，以原点和A(5， 2)为顶点作等腰直角△OAB，使ÐB = 90°，求点B和向量的坐标.

4. 在△ABC中，=(2， 3)，=(1， k)，且△ABC的一个内角为直角，
求k值.

【同步练习】
1.已知平面向量, 且, 则 （ ）
A．－1 　B．1 C． 3 D．－3
2．已知=(2,3), =(-4,7),则在方向上的投影为 （ ）
A． B． C． D．
3．给定两个向量=(3,4), =(2,-1)且(+x)⊥(-),则x等于 （ ）
 A．23  B． C． D．
4． 已知为非零的平面向量. 甲： （ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
5．已知向量的模为，则实数的值是 （ ）
A．－１ B．2 C．－１或2 D．１或－2
6．已知=(4,3),向量是垂直的单位向量，则等于 （ ）
 A．或 B．或
C．或 D．或
7．已知，)且的夹角为钝角，则λ的取值范围是 （ ）
 A．λ＞ B．λ≥ C．λ＜  D．λ≤
8.在中，若，且，则的形状是（   ）
A．等腰三角形    B．直角三角形   C．等边三角形   D．ABC均不正确
9.若为所在平面内一点，且满足，则的形状为（   ）
A．正三角形   B．直角三角形    C．等腰三角形    D．A、B、C均不是
10.已知、都是非零向量，且 + 3 与7 - 5 垂直， - 4 与7 - 2 垂直，则与的夹角为 （ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°