大学期中试卷.doc
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1、厦门大学高等代数课程试卷数学科学学院 所有 系2004年级 各 专业主考教师:林鹭、杜妮 试卷类型:(A卷)注意:所有答案请写在答题纸上一 选择题(7题4分)1设n阶实对称矩阵A是正交矩阵,则_.A。 A = I;B. A与I相似;C。 ;D。 A与I 合同。2 下列说法错误的是_。A. A、B为n阶实对称矩阵,若存在n阶可逆方阵C,使得,则A 与 B合同;B。 A为n阶实对称矩阵,且对任意n维向量x,都有,则A=0;C。 两个n阶实对称矩阵合同的充分必要条件是它们有相同的秩;D。 实对称矩阵的秩r和符号差s具有相同的奇偶性。3设A为n阶实对称矩阵,则下列条件中有_个必保证A为负定。A的正惯性
2、指数=0;A的所有顺序主子式0;A的所有特征值0; 对任意非零向量x,都有.A. 1B. 2C。 3D。 44下列叙述中错误的是_.A。 A为可逆矩阵,则必是正定矩阵;B。 A为正定矩阵,则存在可逆矩阵Q,使;C。 A为正定矩阵,则A的所有对角元必大于零;D。 A为正定矩阵,则A必正交相似于对角矩阵。5设n阶实对称矩阵A的特征值为,则当t_时,为正定矩阵。A。 B。 ;C。 ;D。 。6设是欧氏空间V的线性变换,则下列命题中_不能作为是正交变换的等价命题.A. 在某一组基下表示矩阵是正交阵; B. ;C. 保积同构;D. 保持距离不变.7设是欧氏空间V的自伴随算子,则下列命题中正确的有_个.在
3、V的某组基下表示矩阵是对角阵;的特征值模为1;的属于不同特征值的特征向量必正交;。A. 1;B。 2; C. 3;D。 4。二 填空题(7题4分)1n阶实对称矩阵按合同分类,共有_类;而n阶对称正交矩阵按相似分类,共有_类.2设,,是R上3阶方阵.则在B, C, D中,_与A正交相似,_与A合同。3 设为阶正交矩阵,且,则矩阵方程的解x = _.4中,定义内积为标准内积,则向量的夹角是_,距离是_。5设是欧氏空间V的一组标准正交基,,其中,则_是V1的一组标准正交基。6在中,与矩阵的每个行向量都正交的全体向量所构成的子空间W的维数为_。7设是n维欧氏空间V的一组基,关于这组基的度量矩阵G,V上线性变换在这组基下的矩阵为A,则的伴随算子在这组基下的矩阵是_,从而为自伴随算子的充分必要条件是_。三 (12分) 已知二次型.1请写出该二次型的相伴矩阵;2取什么值时,f是正定的?3当= 1时,将二次型f化为标准型并求出相应的非退化线性替换。四 (12分)设A,B都是实对称矩阵,证明:存在正交矩阵T,使得的充分必要条件是A,B有相同的特征值。五 (10分)设A,B都是实对称矩阵,且B是正定的。若BA的特征值都大于0,证明A是正定矩阵。六 (10分)设是n维欧氏空间V上的正交变换,令,,则、都是V的子空间。证明:1,即,都有(x,y)= 0;2是的正交补。2
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