2021-2022学年高二人教A版选修1-2学案：2.1.2-演绎推理-Word版含答案.docx

2.1.2 演绎推理

演绎推理

[提出问题]
看下面两个问题：
(1)一切奇数都不能被2整除，(22 012＋1)是奇数，所以(22 012＋1)不能被2整除；
(2)两个平面平行，则其中一个平面内的任意直线必平行于另一个平面，假如直线a是其中一个平面内的一条直线，那么a平行于另一个平面．
问题1：这两个问题中的第一句都说的什么？
提示：都说的一般原理．
问题2：其次句又说的什么？
提示：都说的特殊示例．
问题3：第三句呢？
提示：由一般原理对特殊示例作出推断．
[导入新知]
1．演绎推理的概念
从一般性的原理动身，推出某个特殊状况下的结论的推理称为演绎推理．
简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．
2．三段论
“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
(1)大前提——已知的一般原理；
(2)小前提——所争辩的特殊状况；
(3)结论——依据一般原理，对特殊状况作出的推断．
“三段论”可以表示为：
大前提：M是P.
小前提：S是M.
结论：S是P.
[化解疑难]
辨析演绎推理与合情推理
(1)演绎推理是确定的、牢靠的，而合情推理则带有确定的风险性．严格的数学推理以演绎推理为基础，而数学结论、证明思路等的发觉主要靠合情推理．
(2)合情推理和演绎推理分别在猎取阅历和辨别真伪两个环节中扮演重要角色．因此，我们不仅要学会证明，而且要学会猜想．

把演绎推理写成三段论的形式
[例1]　将下列演绎推理写成三段论的形式．
(1)一切奇数都不能被2整除，75不能被2整除，所以75是奇数．
(2)三角形的内角和为180°，Rt△ABC的内角和为180°.
(3)菱形对角线相互平分．
(4)通项公式为an＝3n＋2(n≥2)的数列{an}为等差数列．
[解]　(1)一切奇数都不能被2整除．(大前提)
75不能被2整除．(小前提)
75是奇数．(结论)
(2)三角形的内角和为180°.(大前提)
Rt△ABC是三角形．(小前提)
Rt△ABC的内角和为180°.(结论)
(3)平行四边形对角线相互平分．(大前提)
菱形是平行四边形．(小前提)
菱形对角线相互平分．(结论)
(4)数列{an}中，假如当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为等差数列．(大前提)
通项公式an＝3n＋2，n≥2时，
an－an－1＝3n＋2－[3(n－1)＋2]＝3(常数)．(小前提)
通项公式为an＝3n＋2(n≥2)的数列{an}为等差数列．(结论)
[类题通法]
三段论的推理形式
三段论推理是演绎推理的主要模式，推理形式为“假如b⇒c，a⇒b，则a⇒c.”其中，b⇒c为大前提，供应了已知的一般性原理；a⇒b为小前提，供应了一个特殊状况；a⇒c为大前提和小前提联合产生的规律结果．
[活学活用]
把下列推断写成三段论的形式：
(1)y＝sin x(x∈R)是周期函数．
(2)若两个角是对顶角，则这两个角相等，所以若∠1和∠2是对顶角，则∠1和∠2相等．
解：(1)三角函数是周期函数，………………大前提
y＝sin x(x∈R)是三角函数，………………小前提
y＝sin x(x∈R)是周期函数．………………结论
(2)两个角是对顶角，则这两个角相等，………………大前提
∠1和∠2是对顶角，………………小前提
∠1和∠2相等．………………结论

三段论在证明几何问题中的应用
[例2]　已知A，B，C，D四点不共面，M，N分别是△ABD和△BCD的重心，求证：MN∥平面ACD.
[证明]　如图所示，连接BM，BN并延长，分别交AD，DC于P，Q两点，连接PQ.
由于M，N分别是△ABD和△BCD的重心，所以P，Q分别是AD，DC的中点．又由于＝，所以MN∥PQ，又MN⊄平面ADC，PQ⊂平面ADC，所以MN∥平面ACD.
[类题通法]
三段论在几何问题中的应用
(1)三段论是最重要且最常用的推理表现形式，我们以前学过的平面几何与立体几何的证明，都不自觉地运用了这种推理，只不过在利用该推理时，往往省略了大前提．
(2)几何证明问题中，每一步都包含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，将一般性原理应用于特殊状况，就能得出相应结论．
[活学活用]
已知在梯形ABCD中，如图，AB＝CD＝AD，AC和BD是梯形的对角线，求证：AC平分∠BCD，DB平分∠CBA.
证明：∵等腰三角形两底角相等，(大前提)
△DAC是等腰三角形，∠1和∠2是两个底角，(小前提)
∴∠1＝∠2.(结论)
∵两条平行线被第三条直线截得的内错角相等，(大前提)
∠1和∠3是平行线AD、BC被AC截得的内错角，(小前提)
∴∠1＝∠3.(结论)
∵等于同一个角的两个角相等，(大前提)
∠2＝∠1，∠3＝∠1，(小前提)
∴∠2＝∠3，即AC平分∠BCD.(结论)
同理可证DB平分∠CBA.

演绎推理在代数中的应用
　　[例3]　已知函数f(x)＝ax＋(a＞1)，求证：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
[证明]　设x1，x2是(－1，＋∞)上的任意两实数，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝ax1＋－ax2－
＝ax1－ax2＋－
＝ax1－ax2＋，
∵a＞1，且x1＜x2，∴ax1＜ax2，x1－x2＜0.
又∵x1＞－1，x2＞－1，∴(x1＋1)(x2＋1)＞0.
∴f(x1)－f(x2)＜0.∴f(x1)＜f(x2)．
∴函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
[类题通法]
使用三段论应留意的问题
(1)应用三段论证明问题时，要充分挖掘题目外在和内在条件(小前提)，依据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提)，并保证每一步的推理都是正确的，严密的，才能得出正确的结论．
(2)证明中常见的错误：
①条件分析错误(小前提错)．
②定理引入和应用错误(大前提错)．
③推理过程错误等．
[活学活用]
已知a，b，m均为正实数，b＜a，用三段论形式证明＜.
证明：由于不等式(两边)同乘以一个正数，不等号不转变方向，(大前提)
b＜a，m＞0，(小前提)
所以，mb＜ma.(结论)
由于不等式两边同加上一个数，不等号不转变方向，(大前提)
mb＜ma，(小前提)
所以，mb＋ab＜ma＋ab，即b(a＋m)＜a(b＋m)．(结论)
由于不等式两边同除以一个正数，不等号不转变方向，(大前提)
b(a＋m)＜a(b＋m)，a(a＋m)＞0，(小前提)
所以，＜，即＜.(结论)

[典例]　定义在实数集R上的函数f(x)，对任意x，y∈R，有f(x－y)＋f(x＋y)＝2f(x)f(y)，且f(0)≠0，求证：f(x)是偶函数．
证明：令x＝y＝0，
则有f(0)＋f(0)＝2f(0)×f(0)，
由于f(0)≠0，所以f(0)＝1，
令x＝0，
则有f(－y)＋f(y)＝2f(0)f(y)＝2f(y)，
所以f(－y)＝f(y)，
因此，f(x)是偶函数．
以上证明结论“f(x)是偶函数”运用了演绎推理的“三段论”，其中大前提是：________________________________________________________________________.
[解析]　通过两次赋值先求得“f(0)＝1”，再证得“f(－y)＝f(y)”，从而得到结论“f(x)是偶函数”．所以这个三段论推理的小前提是“f(－y)＝f(y)”，结论是“f(x)是偶函数”，明显大前提是“若对于定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数”．
[答案]　若对于定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数
[易错防范]
解本题的关键是透彻理解三段论推理的形式：大前提——小前提——结论，其中大前提是一个一般性的命题，即证明这个具体问题的理论依据．因此结合f(x)是偶函数的定义和证明过程简洁确定本题答案．本题易误认为题目的已知条件为大前提而导致答案错误．
[成功破障]
全部眼睛近视的人都是聪慧人，我近视得很厉害，所以我是聪慧人．下列各项中揭示了上述推理是明显错误的是________．
①我是个笨人，由于全部的聪慧人都是近视眼，而我的视力那么好．
②全部的猪都有四条腿，但这种动物有八条腿，所以它不是猪．
③小陈格外兴奋，所以小陈确定长得很胖，由于兴奋的人都长得很胖．
④全部尖嘴的鸟都是鸡，这种总在树上待着的鸟是尖嘴的，因此这种鸟是鸡．
解析：依据④中的推理可得：这种总在树上待着的鸟是鸡，这明显是错误的．①②③不符合三段论的形式．
答案：④

[随堂即时演练]
1．“四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等”，补充该推理的大前提是(　　)
A．正方形的对角线相等
B．矩形的对角线相等
C．等腰梯形的对角线相等
D．矩形的对边平行且相等
解析：选B　得出“四边形ABCD的对角线相等”的大前提是“矩形的对角线相等”．
2．“由于对数函数y＝logax是增函数(大前提)，而y＝logx是对数函数(小前提)，所以y＝logx是增函数(结论)．”上面推理错误的缘由是(　　)
A．大前提错导致结论错
B．小前提错导致结论错
C．推理形式错导致结论错
D．大前提和小前提都错导致结论错
解析：选A　大前提是错误的，由于对数函数y＝logax(0＜a＜1)是减函数．
3．求函数y＝的定义域时，第一步推理中大前提是有意义，即a≥0，小前提是有意义，结论是________．
解析：由三段论的形式可知，结论是log2x－2≥0.
答案：log2x－2≥0
4．用三段论证明函数f(x)＝x＋在(1，＋∞)上为增函数的过程如下，试将证明过程补充完整：
①________________________________………………大前提
②________________________________………………小前提
③________________________________……………………结论
答案：①假如函数f(x)满足：在给定区间内任取自变量的两个值x1，x2，若x1＜x2，则f(x1)＜f(x2)，那么函数f(x)在给定区间内是增函数．
②任取x1，x2∈(1，＋∞)，x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝，由于1＜x1＜x2，故x1－x2＜0，x1x2＞1，即x1x2－1＞0，所以f(x1)＜f(x2)．
③函数f(x)＝x＋在(1，＋∞)上为增函数．
5．将下列推理写成“三段论”的形式．
(1)向量是既有大小又有方向的量，故零向量也有大小和方向；
(2)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等；
(3)0.33是有理数．
解：(1)向量是既有大小又有方向的量．……………………大前提
零向量是向量．……………………小前提
零向量也有大小和方向．……………………结论
(2)每一个矩形的对角线相等．……………………大前提
正方形是矩形．……………………小前提
正方形的对角线相等．……………………结论
(3)全部的循环小数都是有理数．……………………大前提
0．33是循环小数．……………………小前提
0．33是有理数．……………………结论