高中立体几何基础知识点全集图文并茂.doc

立体几何知识点整理
姓名:

一.直线和平面的三种位置关系:
1. 线面平行
l
符号表示:
2. 线面相交

符号表示:

3. 线在面内
符号表示:
二.平行关系:
1. 线线平行:
方法一:用线面平行实现。
m
l
m
l
l
//
//
⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=
⋂
⊂
β
α
β
α
方法二:用面面平行实现。
m
l
m
l //
//
⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=
⋂
=
⋂
β
γ
α
γ
β
α
方法三:用线面垂直实现。
若 α
α⊥
⊥m
l , ,则 m
l //。
方法四:用向量方法:
若向量 和向量 共线且 l 、 m 不重合, 则 m
l //。
2. 线面平行:
方法一:用线线平行实现。
α
α
α//
//
l
l
m
m
l
⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⊄
⊂
方法二:用面面平行实现。
α
β
β
α
//
//
l
l
⇒
⎭
⎬
⎫
⊂
方法三:用平面法向量实现。
若 n 为平面 α的一个法向 量 , l
n ⊥且 α⊄
l , 则 α
//
l 。
3. 面面平行:
方法一:用线线平行实现。
βαα
β
// '
, '
,
'
//
'
//
⇒⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⊂
⊂
且相交
且相交
m
l
m
l
m
m
l
l
方法二:用线面平行实现。
βαβ
α
α
// ,
//
//
⇒⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⊂且相交
m
l
m
l
三.垂直关系:
1. 线面垂直:
方法一:用线线垂直实现。
αα
⊥⇒
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⊂
=
⋂
⊥
⊥
l
AB
AC
A
AB
AC
AB
l
AC
l
,
m
l

方法二:用面面垂直实现。 αββαβα⊥⇒⎪⎭
⎪
⎬⎫
⊂⊥=⋂⊥l l m l m ,
2. 面面垂直:
方法一:用线面垂直实现。
βαβα⊥⇒⎭
⎬⎫
⊂⊥l l
方法二:计算所成二面角为直角。 3. 线线垂直:
方法一:用线面垂直实现。
m l m l ⊥⇒⎭
⎬⎫
⊂⊥αα
方法二:三垂线定理及其逆定理。
PO l OA l PA l αα⊥⎫
⎪
⊥⇒⊥⎬⎪⊂⎭
方法三:用向量方法:
若向量 和向量 的数量积为 0,则 m l ⊥。 三.夹角问题。 (一 异 面直线所成的角: (1 范围:]90, 0(︒︒ (2求法: 方法一:定义法。
步骤 1:平移,使它们相交,找到夹角。
步骤 2:解三角形求出角。 (常用到余弦定理 余弦定理:
ab
c
b a 2cos 2
22-+=θ
(计算结果可能是其补角
方法二:向量法。转化为向量的夹角 (计算结果可能是其补角 :

=
θcos
(二 线 面角
(1定义:直线 l 上任取一点 P (交点除外 ,作 PO ⊥
α于 O, 连结 AO ,
则 AO 为斜线 PA 在面 α内 的射影, PAO ∠(图中 θ 为直线 l 与面 α所成的角。

(2范围:]90, 0[︒︒
当 ︒=0θ时, α⊂l 或 α//l 当 ︒=90θ时, α⊥l (3求法: 方法一:定义法。
步骤 1:作出线面角,并证明。 步骤 2:解三角形,求出线面角。
方法二:向量法 (为平面 α的一个法向量 。
><=,

cos sin θ
=

c b

(三 二 面角及其平面角
(1定义:在棱 l 上取一点 P ,两个半平面内分别作 l 的垂线(射线 m 、 n ,则射线 m 和 n 的夹角 θ为 二面角 α— l — β的平面角。

(2范围:]180, 0[︒︒ (3求法: 方法一:定义法。

步骤 1:作出二面角的平面角 (三垂线定理 , 并证明。 步骤 2:解三角形,求出二面角的平面角。 方法二:截面法。
步骤 1:如图, 若平面 POA 同时垂直于平面 βα和 , 则交线 (射线 AP 和 AO 的夹角就是二面角。 步骤 2:解三角形,求出二面角。

方法三:坐标法 (计算结果可能与二面角互补 。

步骤一:计算 12
1212
cos n n n n n n ⋅<⋅>=⋅
步骤二:判断 θ与 12n n <⋅>
的关系,可能相等或
者互补。
四.距离问题。 1.点面距。 方法一:几何法。
步骤 1:过点 P 作 PO ⊥α于 O , 线段 PO 即为所求。 步骤 2
:计算线段 PO 的长度。 (直接解三角形;等 体积法和等面积法;换点法 方法二:坐标法。
>⋅<⋅=d cos
=
2.线面距、面面距均可转化为点面距。 3.异面直线之间的距离 方法一:转化为线面距离。
如图, m 和 n 为两条异面直线, α⊂n 且
α//m , 则异面直线 m 和 n 之间的距离可转化为直
线 m 与平面 α之间的距离。
方法二:直接计算公垂线段的长度。 方法三:公式法。
如图, AD 是异面直线 m 和 n 的公垂线段,
' //m m ,则异面直线 m 和 n 之间的距离为:
θcos 2222ab b a c d ±--=
五.空间向量 (一 空间向量基本定理
若向量 , , 为空间中不共面的三个向量,则对空 间中任意一个向量 ,都存在唯一的有序实数对
z y x 、 、 ,使得 z y x ++=。
(二 三点共线,四点共面问题 1. A, B , C 三点共线 ⇔
OA xOB yOC =+
,且 1x y +=
当 2
1
==y x 时, A 是线段 BC 的 A , B , C 三点共线 ⇔λ= 2. A, B , C , D 四点共面 ⇔
OA xOB yOC zOD =++
,且 1x y z ++=
当 1
3
x y z ===时, A 是△ BCD 的 A , B , C , D 四点共面 ⇐y x += (三 空间向量的坐标运算
1. 已知空间中 A 、 B 两点的坐标分别为:
111(, , A x y z , 222(, , B x y z 则:
AB =
;=B A d , AB =
2. 若空间中的向量 111(, , a x y z =
, , , (222z y x = 则 a b += a b -=
a b ⋅= cos a b <⋅>=
六.常见几何体的特征及运算 (一 长 方体
1. 长方体的对角线相等且互相平分。
2. 若长方体的一条对角线与相邻的三条棱所成的
角分别为 αβγ、 、 ,则 222
cos cos cos
αβγ=++

若长方体的一条对角线与相邻的三个面所成的角 分别为 αβγ、 、 ,则 222cos cos cos αβγ=++ 3. 若长方体的长宽高分别为 a 、 b 、 c ,则体对角线 长为 ,表面积为 ,体积为 。 (二 正 在底面中心。
(三 正 棱柱:底面是正多边形的直棱柱。 (四 正 多面体:每个面有相同边数的正多边形,且
每个顶点为端点有相同棱数的凸多面体。 (只有五种正多面体
(五 棱 锥的性质:平行于底面的的截面与底面相似,
且面积比等于顶点到截面的距离与棱锥的高的 平方比。
正棱锥的性质:各侧棱相等,各侧面都是全等 的等腰三角形。
(六 体 积:=棱柱 V =棱锥 V (七 球
1. 定义:到定点的距离等于定长的点的集合叫球面。 2. 设球半径为 R , 小圆的半径为 r , 小圆圆心为 O 1, 球心 O 到小圆的距离为 d ,则它们三者之间的数量 关系是 。
3. 球面距离:经过球面上两点的大圆在这两点间 的一段劣弧的长度。
4. 球的表面积公式: 体积公式: