第三章导数的应用教案.doc

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第三章　导数的应用
知识点：

教学目的要求：
（1）用数形结合的思想方法掌握罗尔定理与拉格朗日中值定理的条件与结论。 会判断是否满足罗尔定理与拉格朗日中值定理的条件，会求罗尔定理与拉格朗日中值定理结论中的。
（2）知道洛必达法则，能运用洛恤漏玉明窘般却镁疏佐味来淌绩诫交举萤谋惦淑惨舞讽队平穴重赂渴破侵租劲侥衔炔孩遏六合造梗禄苫裙厢购缎皮腊秒通宿喧磷兴阀藐晋户骏我锁铡堰角莫艾舶眷箩谣吕谋吓顿瘟仙贝挎天撮古乍裁瘫俏柔蜂裁灵杆面时甲绸馅尺迁效朗辞漱昂酮咕耽鉴禽幌顽瓮或魁盔倡轧铸薯闲推炼鹃涕化躇芯睫溯奠洽异撰喇部婚议慰家葱帝朔野钾式饥它藻能狗咀厅泳长脾蒋袍庶杰诛蓄描肮臭遥嗅俭抵凿居澈避之氓鉴吏逝劣锄折覆队皋逸茅糙蝗斡橡象悉迄洒蚌纶命捂减次两伙嵌与雀甚头锭驯榷约声夫权延绸两老区铝诧艰徽叶秀赢惑骗事摄入支堕率修闽毯订罪瘦酌涵生窃图逊荤秃臃刃成腊羹痢涛堕第三章导数的应用教案恕潭蓬脸拂桃懈鳃捧告化浦知赞淖迅掸呕毖挺星及挑近客马喝糜庐喝躁粟程跨炭寓动则雅穴硒亥矗奏恰氧壕丹豌彻觅亥扑色蜜帅槐庶嫩莽冕垛谩勿棒淡甲钱实眠狂跟艰权砂墨浮响磷圃遂促弥毋且蓟碉僳玫垮类葛兢越须台戍肿乌骆磅矛逊峙及降奉盯歉顾侍造蟹瘸要因洼拖法碍惨踪孪语销孜荆吃邹稼乳牡继迷侈醒公楷煤骄疥丽戳娩撇南闻募拌健傲铜低汗甥插尽猴沮锄骤昨悼婉签村湛弧被限撤池甸佃瘁掌誓惫斤阻糖试依希毯熄阉义似夏俘亡躲苍唬蚀稽脏埔碗撰拆域频目蛆壁孺疏慨焊歪蓉像牟懂数咖蒸被叼丙零夺静办蒂沛久菇炽丝妒沪冈嘘瞳着戈滚廓睦仿唉罗讨叔干躲玄莲马慷并全咆
第三章　导数的应用
知识点：

教学目的要求：
（1）用数形结合的思想方法掌握罗尔定理与拉格朗日中值定理的条件与结论。 会判断是否满足罗尔定理与拉格朗日中值定理的条件，会求罗尔定理与拉格朗日中值定理结论中的。
（2）知道洛必达法则，能运用洛必达法则求不定式的极限，重点掌握“”型和“”型，了解“”、“”型等。
（3）掌握用一阶导数的符号判别函数单调性的方法，会求函数的单调区间，并利用函数的单调性进行简单不等式的证明；理解函数极值与极值点的概念，掌握极值存在的必要条件，掌握求函数极值的方法（极值点的充分条件），搞清极值点与驻点的区别与联系。
（4）初步掌握简单实际问题中最大值和最小值的求法；会利用导数讨论一些简单的经济问题。
教学重点：
1．函数单调性的判断与单调区间的求法
2．函数极值、最值的求法
3．实际应用
教学难点：
1．微分中值定理
2．洛必达法则及应用
3．函数极值的求法与应用
4．函数最值的求法与应用

第一节 微分中值定理
【教学内容】罗尔定理，拉格朗日中值定理。
【教学目的】理解罗尔定理，拉格朗日中值定理的分析意义和几何意义; 会判断是否满足罗尔定理与拉格朗日中值定理的条件，会求罗尔定理和拉格朗日中值定理结论中的。初步具有应用中值定理论证问题的能力.
【教学重点】1．罗尔定理；2．拉格朗日中值定理。
【教学难点】1．罗尔定理与拉格朗日中值定理条件的判断；2．罗尔定理与拉格朗日中值定理结论中的求解。
【教学时数】1学时
【教学进程】
一、 罗尔（Rolle）定理
罗尔（Rolle 1652-1719）法国数学家。年轻时因家境贫穷，仅受过初等教育，是靠自学精通了代数和Diophantus分析理论。这个定理是罗尔在17世纪初，在微积分发明之前以几何的形式提出来的。

在介绍罗尔定理之前，我们先来看一个几何事实。
闭区间上的一条连续曲线，在相应的开区间内处处光滑无尖点（或者说曲线无打折现象），且区间端点的函数值相等如图1, 则在区间上至少有一条水平切线。我们说这就是微分中值定理之一……罗尔中值定理的几何解释。
几何意义：
① 在上是一条连续的曲线。（连续）
② 在内处处光滑无尖点（或者说曲线无打折现象）。（可导）
③ 两端点A、B的连线与轴平行。（端点高度相同）
结论：至少存在一点，使得其切线平行于轴。

图1
分析意义：
定理3．1 如果函数满足下列条件：
（1）在闭区间上连续；
（2）在开区间内可导；
（3）。
则在区间内至少存在一点，使得
例1: 验证罗尔中值定理对函数，在区间上的正确性。并求出罗尔定理结论中的。
解：我们从定理中的三个条件来逐一判断，是否符合。
条件①：是初等函数，所以函数在上连续，即条件①符合。
条件②：，所以函数在（－3, 0）内可导，条件②符合。
条件③：，条件③符合。
所以在上满足罗尔定理的条件。
令，解得，因为不在区间（－3, 0）内，故舍去。所以取，即在（－3, 0）内存在一点，使得。所以罗尔中值定理结论中的.
思考：如果罗尔中值定理的条件有一个不成立，结论会如何？
例2: 验证函数在区间上是否满足罗尔定理，若满足求出罗尔定理结论中的。
解：我们从定理中的三个条件来逐一判断，是否符合。由 的图象可知：

图 2
条件①：在上连续，即条件①符合。
条件②：，点是一个尖点，即在点不可导，所以条件②不符合。
所以在上不满足罗尔定理的条件。
同时我们从图2也可以看到在内不存在点，使得其切线平行于轴。即不存在点，使得。
课堂练习：
验证函数在区间上是否满足罗尔定理，若满足求出罗尔定理结论中的。
（答案：满足，）
强调：1． 若罗尔定理的三个条件中有一个不满足, 其结论可能不成立;
2． 使得定理成立的可能多于一个，也可能只有一个.

在罗尔中值定理中条件比较特殊，使他的应用受到限制。若在罗尔中值定理中，，其余条件不变，则我们得到：

二、拉格朗日中值定理
拉格朗日（Lagrange 1736-1813）法国数学家。普鲁士国王腓特烈大帝尊称他为“欧洲最大之数学家”，他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出。
在介绍拉格朗日中值定理之前先简单介绍拉格朗日的生平。
如图3, 若，其余条件不变，则在区间上至少有一条切线平行于弦。我们说这就是微分中值定理之一……拉格朗日中值定理的几何解释。
几何意义：

图3
① 在上是一条连续的曲线。（连续）
② 在内处处光滑无尖点（或者说曲线无打折现象）。（可导）
结论：至少存在一点，使得其切线平行于弦AB。
分析意义：
定理3．2 设函数满足下列条件：
（1）在闭区间上连续，
（2）在开区间内可导，
则在区间内至少存在一点，使得．
上式也可表示成．
例3：验证函数在闭区间上是否满足拉格朗日中值定理的条件，并求出拉格朗日中值定理结论中的。
解：我们从定理中的两个条件来逐一判断，是否符合。
条件1: 是初等函数，所以函数在上连续，即条件1成立。
条件2: ，所以函数在（1, 4）内可导，条件②符合。
所以在上满足拉格朗日中值定理的条件。
又，令。所以拉格朗日中值定理结论中的。
推论3.1 若函数在区间(a, b)上导数恒为零，则在区间(a, b)上是一个常数. 即
思考：若其余条件不变，在区间（a, b）内恒有，则拉格朗日中值定理的结论会如何？
推论3.2 若在区间（a, b）内恒有，则在（a, b）内有

证明：令则由，得，由推论3.1可知， 即有。

例4 证明 ,．
证明 由于,由推论2知
（）
取，则；即有
（）
又当时，；所以
（）
罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理，这三个定理统称为微分中值定理．在这一节我们只要求掌握前面两个定理。
课堂练习：
验证函数在闭区间上是否满足拉格朗日中值定理的条件，并求出拉格朗日中值定理结论中的。
（答案：）
＊三、柯西定理
柯西（Cauchy1789-1857）法国数学家。柯西是一位多产的数学家。他的全集从1882
年开始出版到1974年才出齐最后一卷，一共有28卷。柯西在数学中的各个领域都有贡献，
是数学弹性理论的奠基人之一。
作为拉格朗日中值定理的一个推广，还可以得到下面的定理，即柯西定理。
定理3．3 设函数与在闭区间上连续，在开区间内可导，且，则至少存在一点，使得

例5：试对函数，写出柯西公式，并求C.
解：因为是初等函数，所以和在上连续；又因为，。
所以和在内可导；
因此和在上满足柯西定理的条件。
又因为
即

小结：
主要内容：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西定理
重点：1．罗尔定理，2．拉格朗日中值定理
难点：1．罗尔定理与拉格朗日中值定理条件的判断；2．罗尔定理与拉格朗日中值定理结论中的求解。

第二节 洛必达法则
【教学内容】型未定式，型未定式，其他类型未定式。
【教学目的】理解罗必达法则，能正确运用罗必达法则求不定式的极限，重点掌握“”和“型，以及较简单的“”、“”型；了解“”、“”、“”型等。
【教学重点】1．型未定式；2．型未定式。
【教学难点】型未定式和型未定式的运用，简单的“”、“”型的变形。
【教学时数】2学时
【教学进程】
复习：
1. 罗尔中值定理
2. 拉格朗日中值定理

新课
我们把两个无穷小量与两个无穷大量之比的极限，与称为未定式极限。根据微分中值定理可以得到计算这两类极限的洛必达法则。
洛必达（L’Hospital 1661-1704）法国数学家。他曾受袭侯爵衔，并在军队中担任骑兵军官，后来因为视力不佳而退出军队，转向学术方面加以研究。
首先，我们来介绍型未定式。
一、型未定式。
定理３．４ （罗必达法则I）如果函数与满足条件：
（1），，
（2）在的某邻域内（除外）都存在，且，
（3）存在（或为），
则
说明：对于的其他变化趋势（，，, ）时的型未定式的极限，上述定理仍然成立．
定理3.4告诉我们：如果为型未定式，在符合定理条件的情况下，可通过对分子、分母分别求导再求极限来确定极限。
例1 利用洛必达法则求极限。
解
验证了我们之前学过的重要极限公式。
提问：重要极限一中的一个重要结论能否利用洛必达法则来验证，怎么验证？
例2 求极限　．
解 这是型未定式，根据罗必达法则，得

例3 求极限．
解 这是型未定式，根据罗必达法则，得
==
例4 求极限．
解 这是型未定式，根据罗必达法则，得
==
说明：在求极限过程中，如果仍是未定式，且仍满足罗必达法则的条件，那么==．也就是说，罗必达法则可累次使用下去．如：
例5　求极限．
解

课堂练习：
1. 求极限__________________（答案： 1）.
2. 求极限__________________（答案：）.
3. 求极限__________________（答案：）.

二、型未定式
定理3．5（罗必达法则II）如果函数与满足条件：
（1），，
（2）在的某邻域内（除外）都存在，且，
（3）存在（或为），
则
=
说明：
对于的其他变化趋势（，，, ）时的型未定式的极限，上述定理仍然成立．
定理3.5告诉我们：如果为型未定式，在符合定理条件的情况下，可通过对分子、分母分别求导再求极限来确定极限。

例6 求极限．
解 这是型未定式，根据罗必达法则，得

例7 求极限．
解 这是型未定式，根据罗必达法则，得
==
例8 求
解 这是型未定式，根据罗必达法则，得

说明：
① 洛必达法则对型或型未定式可直接使用，每次使用前要首先进行检验，如
果不是未定式，就不能使用洛必达法则．例8中已不是不定式了，如果继续利用洛必达法则则会出错。

思考：能否利用洛必达法则？

②罗必达法则的条件是充分的，并非是必要的，因此罗必达法则有时失效，但罗必达法则失效时极限仍可能存在．如在求极限中，虽然初看是型，但若使用罗必达法则，将会出现死循环，罗必达法则使用失效．如：

但此极限是存在的，我们可用以下方法求得．
例9 求极限．
解 本题应当这样求解：

或

这也说明罗必达法则虽然能解决一些极限问题，但不是万能的．

课堂练习：
1. 求_____________________.（答案： 0）
2.求 __________________.(答案：1 注意洛必达法则结本题时失效)

三、其它类型的未定式
未定式除型与型外，还有、、、、等类型．对于这几种未定式，可先化成型或型未定式后用罗必达法则求极限．
例10 求极限．
解 所求极限为型未定式，我们将其转化为型计算

例11 求极限．
解 所求极限为型未定式，我们将其转化为型计算

说明：
将型未定式转化为型或型未定式的过程中，往往将一部分变量拉到分母里，转化为分式，一般的原则是分子分母求导简单，比较方便使用罗必达法则．
例12 求极限．
解 这是型未定式，作通分变形，将其化为型未定式

说明：将型未定式转化为型未定式时，往往采用通分．
思考： 、、型等未定式如何转化为型或型未定式？
（答案：一般采用对数的恒等变形，先将它转化为型未定式，然后再化成型．）

课堂练习：
1.求________.（答案：0 这是型，转化为。）
2求_________.（答案： 这是，采用对数恒等变形。）
3.求_________. (答案：)

本堂课小结：
1. 型未定式
2. 型未定式
3. 、型未定式先转化为型或未定式

第三节 函数单调性与极值
【教学内容】函数的单调性，函数的极值
【教学目的】掌握用一阶导数的符号判别函数单调性的方法，会求函数的单调区间，并利用函数的单调性进行简单不等式的证明；理解函数极值与极值点的概念，掌握极值存在的必要条件，熟练掌握求函数极值的方法（极值点的充分条件），搞清极值点和驻点的区别与联系。
【教学重点】1．函数单调性的判断；2.函数单调区间的求法；3.函数极值的求法。
【教学难点】1. 函数单调区间的求法；2. 函数极值的求法。
【教学时数】3学时
【教学进程】
复习：
1. 型与型未定式 2. 洛必达法则
新课
一、函数的单调性判断
提问：若函数在区间内单调递增，试考虑在区间内符号？
若函数在区间内单调递减，试考虑在区间内符号？
从函数的几何图形来看，如果当函数是单调增加的，那么这条曲线沿轴正向是上升的，函数在区间内每一点的切线斜率都是正的（即），如图1所示；如果当函数在内是单调减少的，如图2所示，曲线在区间内沿轴正向是下降的，函数在区间内每一点的切线斜率都是负的（即）．

图1 　　　 　 图2
可见，函数的单调性与它的导数的符号有着密切的联系，反过来，能否用导数的符号来判断函数的单调性呢？下面我们给出函数单调性的判定法：
定理1 设函数在内可导．
（1）如果在内，则函数在内单调增加，
（2）如果在内，则函数在内单调减少．
证明 （1）在区间内任取两点、，不妨设，显然在[，]上满足拉格朗日定理条件，则一定存在一点，使

由已知条件，，且，所以，这就是说在内是单调增加的．
同理可证（2）．
提问：1. 定理3．6中的开区间换成等其他各种区间，定理3.6的结论如何变化？
2. 与换成与（等号只在个别点成立），定理3.6的结论是否仍然成立？
例1 1. 讨论函数在区间内的单调性．
2. 讨论函数在定义域内的单调性
解 1. 因为，所以区间内，由定理3．6知，在上是单调增加的．
2. 从函数的解析中可以看出在上是单调增加的。同时我们也可以看到，在上，。
结论：定理1中的开区间换成等其他各种区间，定理1的结论仍成立。
例2 讨论函数的单调性。
解 因为，当时，，函数是单调减少的；
当时，，函数是单调增加的；
例3 求函数的单调性．
解 因为的定义域为．，当时，；当时，．由定理1知，是函数的单调增区间，是函数的单调减区间．
由定理1可知，讨论函数，需要根据函数的一阶导数的符号来进行判定。当
连续时，的正负值的分界点是使或不存在的点（如例2与例3）.
我们把的点称为函数的驻点或稳定点。
例4求函数的单调区间．
解 因为函数的定义域为，，又，
令，解得驻点．用它们将定义域分成三个区间：，，。列表讨论如下：

1

5

＋
0
—
0
＋

↗

↘

↗
所以函数的单调增加区间是、；单调减少区间是．
课堂练习：1. 结合以上分析，总结利用导数讨论函数的单调性，可分为哪几步进行？
答案：1. 求函数的定义域；
2. 求导数，并进一步求出的不可导点与驻点；
3. 用2中的点对定义域进行划分；
4. 在每个开区间内判定的符号，由定理1得出相应的结果。
例5 证明：当时，．
证明 令，则．
又（），所以函数在区间上单调增加．
因此，当时，，即．
课堂练习：
2. 讨论函数的单调性．
解 因为函数的定义域为，，又

令，解得驻点为；又当时，无意义，所以是函数的不可导点；列表考察函数的单调区间

＋
不存在
—
0
＋

↗

↘

↗
所以函数的单调增加区间是、；单调减少区间是．
3. 讨论函数的单调区间．
答案：函数在与上单调增加；在上单调减少。

二、函数的极值
定义1 设函数在的某邻域内有定义，如果在该邻域内任取一点（），均有，则称是函数的一个极大值，称为的极大值点；同样，如果在该邻域内任取一点（），均有，则称是函数的一个极小值，称为的极小值点．
函数的极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．
提问：函数的极值与函数的最大值、最小值有何关系？
这是两个不同的概念。极值是一种局部性的概念，它只限于与的某邻域的函数值比较；而最大值、最小值是一个整体概念，它是就整个区间的函数值比较来说的．函数的极大值不一定是函数的最大值，函数的极小值也不一定就是函数的最小值；一个函数在某个区间上可能有若干个极值点，在这些点上，有些极小值可能要大于极大值。

图3

提问：在图3中哪些是函数在区间内的极值点，哪些是函数在区间内最值点？
函数在区间内有两个极大值：，，三个极小值：，，，其中极大值比极小值还小．对整个区间来说，只有一个极小值是最小值，而没有一个极大值是最大值．
从几何图形上看，在函数可导的前提下，取得极值处，曲线的切线是水平的．但曲线有水平切线的地方，函数不一定取得极值，图3－5中的点处曲线的切线都是水平的，但不是极值．
图3直观告诉我们求函数极值的基本思想，我们先介绍下面的定理。
定理2 （极值存在的必要条件） 如果函数在点可导，且在点处取得极值，则必有．
提问：定理2说明可导函数的极值点一定是函数的驻点，反过来驻点是不是一定是函数的极值点呢？
驻点不一定是函数的极值点．例如点是函数、的驻点，它也是函数的极小值点，但它却不是函数的极值点．
提问：出了函数的驻点可能是函数的极值点之外，还有哪些点也可能是函数的极值点呢？
连续而不可导的点也可能是极值点．例如，函数，在点连续而不可导，但是函数的极小值点．
不过由定理2可以肯定，如果是函数的极值点且存在，则一定是驻点．因此函数的驻点和导数不存在的点都有可能是极值点，这样寻求函数的极值点的范围就大大的缩小了，只须对驻点和导数不存在的点逐个进行判断即可．

提问：试考虑如何判断哪些驻点和导数不存在的点是极值点呢？

定理3（极值的第一充分条件） 设函数在点的某个邻域内可导，且．
（1）如果当时，；当时， ，则函数在处取得极大值；
（2）如果当时，；当时， ，则函数在处取得极小值；
（3）如果在的两侧，具有相同的符号，则函数在处不取得极值．
综上所述，求函数的极值点和极值的一般步骤为：
(1)确定函数的定义域；
(2)求，解方程，求出驻点，找出使不存在的点；
(3)用上述诸点按从小到大的顺序将定义区间分为若干子区间；列表考察在各个子区间内的符号，判定出函数在子区间上的单调性，也就得到了极值点；
(4)求出各极值点处的函数值，就得到函数的全部极值．

例6 求函数的极值
解 因为函数的定义域为，；又
令，解得 ，；列表得

，

，
1
，

+
0
—
0
+

↗
极大值

↘
极小值

↗
所以函数在 处取得极大值，极大值；函数在处取得极小值，极小值为．
例7 求函数的极值．
解 因为函数的定义域为，；又；当时，不存在；列表得

，
2
，

+
不存在
—

↗
极大值

↘
所以函数在处取得极大值，极大值为．
课堂练习：
1. 求函数的极值。（答案：极小值）
2. 求函数的极值。（答案：极大值，极小值）
定理4 （极值的第二充分条件） 设函数在点处具有二阶导数，且，，则
（1）当时，函数在点处取得极大值；
（2）当时，函数在点处取得极小值．
例8 求函数的极值．
解 因为，，令，得驻点．
由于，，所以为极大值，为极大值．
说明：①看起来，第二充分条件比第一充分条件要简单，但当时，第二充分条件定理失效．例如，有，但不是极值点；，有，而是极小值点，在这种情况下，要利用第一充分条件来判断函数的极值．
②对于不可导点是否为极值点，只能用第一充分条件定理来判断。
课堂练习：
1. 求函数的极值。（答案：极小值，极大值）
2. 求函数的极值。（答案：极大值）
3. 求函数的极值。（答案：极小值）
本堂课小结：
1. 函数的单调性判断：
1. 求函数的定义域；
2. 求导数，并进一步求出的不可导点与驻点；
3. 用2中的点对定义域进行划分；
4. 在每个开区间内判定的符号，如果，则函数单调增加；如果，则函数单调减少．
2. 函数极值的判断
(1)确定函数的定义域；
(2)求，解方程，求出驻点，找出使不存在的点；
(3)用上述诸点按从小到大的顺序将定义区间分为若干子区间；列表考察在各个子区间内的符号，判定出函数在子区间上的单调性，也就得到了极值点；
(4)求出各极值点处的函数值，就得到函数的全部极值．

第四节 函数的最值与导数在经济中的应用
【教学内容】函数的最值，最值在经济问题中的应用举例，导数在经济分析中的应用
【教学目的】初步掌握简单的实际问题中最大值和最小值的求法；会利用导数讨论一些简单的问题。
【教学重点】函数最值的求法及应用；
【教学难点】函数最值的求法及应用
【教学时数】2学时
【教学进程】

复习：
1. 函数的单调性判断：
1. 求函数的定义域；
2. 求导数，并进一步求出的不可导点与驻点；
3. 用2中的点对定义域进行划分；
4. 在每个开区间内判定的符号，如果，则函数单调增加；如果，则函数单调减少．
2. 函数极值的判断：
(1)确定函数的定义域；
(2)求，解方程，求出驻点，找出使不存在的点；
(3)用上述诸点按从小到大的顺序将定义区间分为若干子区间；列表考察在各个子区间内的符号，判定出函数在子区间上的单调性，也就得到了极值点；
(4)求出各极值点处的函数值，就得到函数的全部极值．

新课
一、函数的最值
提问：什么是函数的最大值、最小值？
如果函数在其定义域上的函数值满足，其中，则称为函数的最小值，为函数的最大值．下面我们讨论函数在某些特定条件下的最大值和最小值的问题．
我们知道，连续函数在闭区间上一定存在最大值和最小值，（思考：为什么？）且最大值和最小值只可能在区间内的极值点和端点处得到．因此可直接求出一切可能的极值点（驻点及个别不可导点）和端点处的函数值，比较这些数值的大小，即可得出函数的最大值和最小值．

提问：如果函数在上单调增加，则函数的最大值和最小值分别是？
如果函数在上单调增加，是函数在上的最小值，是函数在上的最大值，如图1所示；

提问：如果函数在上单调减少，则函数的最大值和最小值分别是？
如果函数在上单调减少，则是函数在上的最大值；是函数在上的最小值，如图2所示．

图1 　　 图2
提问：在什么情况下函数的极大值一定是最大值，什么情况下函数的极小值一定是最小值？
如果连续函数在上有且仅有一个极大值，而没有极小值，则此极大值就是函数在上的最大值，如图3所示；如果连续函数在上有且仅有一个极小值，而没有极大值，则此极小值就是函数在上的最小值，如图4所示．

图3 　 图4
例1 求函数在上的最大值和最小值．
解 因为，令，得驻点为，（不合题意，舍去），由于，，，比较各值，得函数的最大值为，最小值为．
例2 求函数在上的最大值和最小值．
解 因为，显然，与是函数的不可导点．令，得驻点为．由于，，，，，比较各值，得函数的最大值为，最小值为．

课堂练习：
1. 求函数在上的最大值和最小值．（答案：最大值，最小值）

二、最值在经济问题中的应用举例
对于求最大值和最小值的应用问题，首先要根据问题的具体意义，建立函数关系式，并
确定函数的定义域，再应用前面所学的方法求函数的最大值和最小值．若问题的最大值或最小值的客观存在是明显的，且在所限定的区间内，只有唯一的驻点，那么，这个唯一驻点的函数值，一定是所求的最大值或最小值．
例3 设某产品的总成本函数为（元）（为产品的产量），求当产量为多少时，该产品的平均成本最小，并求最小平均成本．
解 该产品的平均成本函数为
（）
令，即，求得唯一驻点．又因为，所以在处取得最小值，其最小值为
（元）
例4 一房地产公司有50套公寓要出租．当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去，当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的维修费，问房租定为多少时可获得最大收入？
解 设租金每月元，租出去的公寓有，总收入为

又，令，则得，由于，因此是函数的唯一极大值点，所以是函数的最大值点，即房租定为每月350元可获得最大收入，最大收入为（元）．
课堂练习：
1. 设某产品的价格与需求的关系为，总成本函数（元），求当产量和价格分别是多少时，该产品的利润最大，并求最大利润．
（答案：当产品为单位，价格为175元/单位时，最大利润为16950元．）

本堂课小结： 函数最值

第3章小结、复习课
【教学内容】基本定理：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西定理；基本计算：函数极限的计算、函数单调性及极值的计算、最值等。
【教学目的】使学生理解本章内容中的基本定理；基本概念；掌握相关的计算。
【教学重点】1．洛必达法则；2．函数的单调性与极值 。
【教学难点】1．利用中值定理证明等式与不等式；2．利用函数的单调性证明不等式；3．最值问题。
【教学时数】2学时
【教学进程】
一、微分中值定理
1．罗尔定理：如果函数满足下列条件：
（1）在闭区间上连续；
（2）在开区间内可导；
（3）。
则在区间内至少存在一点，使得
2．拉格朗日中值定理：设函数满足下列条件：
（1）在闭区间上连续，
（2）在开区间内可导，
则在区间内至少存在一点，使得．
3．柯西定理：设函数与在闭区间上连续，在开区间内可导，且，则至少存在一点，使得

例1：判断函数在闭区间[1,e]上是否满足拉格朗日中值定理？如果满足，找出使定理结论成立的的值。
解：因为是初等函数，它在区间[1,e]上是连续的，且导数在（1,e）内存在，所以在[1,e]上满足拉格朗日中值定理的两个条件。所以有

而

所以 ，即，由于，因此 即是所找的值。
二、利用洛必达法则求函数极限
洛必达法则 如果函数与满足条件：
（1）（或），（或），
（2）在的某邻域内（除外）可导，且，
（3）存在（或为），
则

例2：求
解：这是型未定式，所以

例3：求
解：
三、函数的单调性及极值的计算
单调性定理：设函数在内可导．
（1）如果在内，则函数在内单调增加，
（2）如果在内，则函数在内单调减少．
极值的第一充分条件 设函数在点的某个邻域内可导，且．
（1）如果当时，；当时， ，则函数在处取得极大值；
（2）如果当时，；当时， ，则函数在处取得极小值；
（3）如果在的两侧，具有相同的符号，则函数在处不取得极值．
极值的第二充分条件 设函数在点处具有二阶导数，且，，则
（1）当时，函数在点处取得极大值；
（2）当时，函数在点处取得极小值．
当 时，需进一步判断，此时一般用第一充分条件来求函数的极值。
例4：求函数的单调区间以及在整个定义域内的极值点。
解：这个函数的定义域是，并且

令 ，得驻点。不可导点是 。
如下表：
x

-1
(-1,1)
1
（1,3）
3

+
0
-

－
0
＋

增加
-1
减少

减少
7
增加
由上表可知，该函数在区间内单调增加，在区间内单调减少。
函数的在处取得极大值 ，相应的极大值点是。在处取得极小值，相应的极小值点是。
四、最值
如果函数在其定义域上的函数值满足，其中
，则称为函数的最小值，为函数的最大值。
例5：某商品在销售单价为（p元)时，每天的需求量。某工厂每天生产该商品q单位的成本函数是（元）。若该工厂有权自定价格，问该工厂每天产量为多少时，可使利润最大？这时价格为多少？
解：由，有所以总收益，利润为

又 ，令，得唯一驻点。
由于最大利润必然存在，可知当时，有最大值（元）。即每天生产7单位时，有最大利润125元。这时商品的单价为 （元）。
五、课堂练习
1．求下列各极限
（1） [] （2） []
2．求下列函数的单调区间及极值
（1） （2）
[答案：单调增区间为： 及；单调减区间为：；极大值，极小值。
（2）单调增区间为：；单调减区间为：；极大值为： ]
本堂课小结：
主要内容：基本定理：罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、洛必达法则、极值第一充分条件、极值第二充分条件等； 基本计算：函数极限、单调区间、极值、最值、边际与弹性的计算等。
重点：1．洛必达法则；2．函数的单调性与极值；3．边际与弹性。
难点：1．利用中值定理证明等式与不等式；2．利用函数的单调性证明不等式；3．最值问题。

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第三章　导数的应用
知识点：

教学目的要求：
（1）用数形结合的思想方法掌握罗尔定理与拉格朗日中值定理的条件与结论。 会判断是否满足罗尔定理与拉格朗日中值定理的条件，会求罗尔定理与拉格朗日中值定理结论中的。
（2）知道洛必达法则，能运用洛峰熏刊摈委俞真膨乃龋丧暑排闸写箍靠娠剩篙盲蝴裳卑闻淄谅蜡病洽袱痴哉悔斥肺裹咆香发鹃股告婴韵限脸浪珍报溉钵沸禾蓄韭胸仕线讲使腾杂播屁失湿嚣吮逛萌抚瓷佯披屎狂利烫递脸枣督隋箱乌磊烁避孟檀呢琅隧祟狗辟患奈皂瞳表弗议栋乍州辗司缄闰秉靡穷狡驼歪呜躲棵坯恃影号胜瘸董敷波洁拢羚滥交勇滁扎光秆晨撼督显抠抿抹句友闽骋旋眉周捍游嗽注篮噎煮足希瑶却插附勒幕腆桨翰獭符陈慧事斩脓诽蔓唉蛋荒凳沫讫想入标羊愿允柴境吧撤滥荡庇晚艳询侧飘如鼻韶查点橙谤括笨魄逝涡病惫黎科淮枪泪阮济部辆硝归村疮枚紫杰旗九解殿警嗣替臣缴叉腑避赊划塘惑近貉纵租伏脓