基本不等式经典例题精讲(1)讲课教案.doc
《基本不等式经典例题精讲(1)讲课教案.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《基本不等式经典例题精讲(1)讲课教案.doc(9页珍藏版)》请在咨信网上搜索。
此文档仅供收集于网络,如有侵权请联系网站删除 新课标人教A版高中数学必修五典题精讲(3.4基本不等式) 典题精讲 例1(1)已知0<x<,求函数y=x(1-3x)的最大值; (2)求函数y=x+的值域. 思路分析:(1)由极值定理,可知需构造某个和为定值,可考虑把括号内外x的系数变成互为相反数;(2)中,未指出x>0,因而不能直接使用基本不等式,需分x>0与x<0讨论. (1)解法一:∵0<x<,∴1-3x>0. ∴y=x(1-3x)= ·3x(1-3x)≤[]2=,当且仅当3x=1-3x,即x=时,等号成立.∴x=时,函数取得最大值. 解法二:∵0<x<,∴-x>0. ∴y=x(1-3x)=3x(-x)≤3[]2=,当且仅当x=-x,即x=时,等号成立. ∴x=时,函数取得最大值. (2)解:当x>0时,由基本不等式,得y=x+≥2=2,当且仅当x=1时,等号成立. 当x<0时,y=x+=-[(-x)+]. ∵-x>0,∴(-x)+≥2,当且仅当-x=,即x=-1时,等号成立. ∴y=x+≤-2. 综上,可知函数y=x+的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞). 绿色通道:利用基本不等式求积的最大值,关键是构造和为定值,为使基本不等式成立创造条件,同时要注意等号成立的条件是否具备. 变式训练1当x>-1时,求f(x)=x+的最小值. 思路分析:x>-1x+1>0,变x=x+1-1时x+1与的积为常数. 解:∵x>-1,∴x+1>0. ∴f(x)=x+=x+1+-1≥2-1=1. 当且仅当x+1=,即x=0时,取得等号. ∴f(x)min=1. 变式训练2求函数y=的最小值. 思路分析:从函数解析式的结构来看,它与基本不等式结构相差太大,而且利用前面求最值的方法不易求解,事实上,我们可以把分母视作一个整体,用它来表示分子,原式即可展开. 解:令t=x2+1,则t≥1且x2=t-1. ∴y==. ∵t≥1,∴t+≥2=2,当且仅当t=,即t=1时,等号成立. ∴当x=0时,函数取得最小值3. 例2已知x>0,y>0,且+=1,求x+y的最小值. 思路分析:要求x+y的最小值,根据极值定理,应构建某个积为定值,这需要对条件进行必要的变形,下面给出三种解法,请仔细体会. 解法一:利用“1的代换”, ∵+=1, ∴x+y=(x+y)·(+)=10+. ∵x>0,y>0,∴≥2=6. 当且仅当,即y=3x时,取等号. 又+=1,∴x=4,y=12. ∴当x=4,y=12时,x+y取得最小值16. 解法二:由+=1,得x=. ∵x>0,y>0,∴y>9. x+y=+y=y+=y++1=(y-9)++10. ∵y>9,∴y-9>0. ∴≥2=6. 当且仅当y-9=,即y=12时,取得等号,此时x=4.∴当x=4,y=12时,x+y取得最小值16.解法三:由+=1,得y+9x=xy, ∴(x-1)(y-9)=9. ∴x+y=10+(x-1)+(y-9)≥10+2=16, 当且仅当x-1=y-9时取得等号.又+=1, ∴x=4,y=12. ∴当x=4,y=12时,x+y取得最小值16. 绿色通道:本题给出了三种解法,都用到了基本不等式,且都对式子进行了变形,配凑出基本不等式满足的条件,这是经常需要使用的方法,要学会观察,学会变形,另外解法二,通过消元,化二元问题为一元问题,要注意根据被代换的变量的范围对另外一个变量的范围的影响. 黑色陷阱:本题容易犯这样的错误: +≥2①,即≤1,∴≥6. ∴x+y≥2≥2×6=12②.∴x+y的最小值是12. 产生不同结果的原因是不等式①等号成立的条件是=,不等式②等号成立的条件是x=y.在同一个题目中连续运用了两次基本不等式,但是两个基本不等式等号成立的条件不同,会导致错误结论. 变式训练已知正数a,b,x,y满足a+b=10,=1,x+y的最小值为18,求a,b的值. 思路分析:本题属于“1”的代换问题. 解:x+y=(x+y)()=a++b=10+. ∵x,y>0,a,b>0, ∴x+y≥10+2=18,即=4. 又a+b=10, ∴或 例3求f(x)=3+lgx+的最小值(0<x<1). 思路分析:∵0<x<1, ∴lgx<0,<0不满足各项必须是正数这一条件,不能直接应用基本不等式,正确的处理方法是加上负号变正数. 解:∵0<x<1,∴lgx<0,<0.∴->0. ∴(-lgx)+(-)≥2=4. ∴lgx+≤-4.∴f(x)=3+lgx+≤3-4=-1. 当且仅当lgx=,即x=时取得等号. 则有f(x)=3+lgx+ (0<x<1)的最小值为-1. 黑色陷阱:本题容易忽略0<x<1这一个条件. 变式训练1已知x<,求函数y=4x-2+的最大值. 思路分析:求和的最值,应凑积为定值.要注意条件x<,则4x-5<0. 解:∵x<,∴4x-5<0. y=4x-5++3=-[(5-4x)+]+3 ≤-2+3=-2+3=1. 当且仅当5-4x=,即x=1时等号成立. 所以当x=1时,函数的最大值是1. 变式训练2当x<时,求函数y=x+的最大值. 思路分析:本题是求两个式子和的最大值,但是x·并不是定值,也不能保证是正值,所以,必须使用一些技巧对原式变形.可以变为y=(2x-3)++=-()+,再求最值. 解:y=(2x-3)++=-()+, ∵当x<时,3-2x>0, ∴≥=4,当且仅当,即x=-时取等号. 于是y≤-4+=,故函数有最大值. 例4如图3-4-1,动物园要围成相同的长方形虎笼四间,一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成. 图3-4-1 (1)现有可围36 m长网的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使每间虎笼面积最大? (2)若使每间虎笼面积为24 m2,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小? 思路分析:设每间虎笼长为x m,宽为y m,则(1)是在4x+6y=36的前提下求xy的最大值;而(2)则是在xy=24的前提下来求4x+6y的最小值. 解:(1)设每间虎笼长为x m,宽为y m,则由条件,知4x+6y=36,即2x+3y=18. 设每间虎笼的面积为S,则S=xy. 方法一:由于2x+3y≥2=2, ∴2≤18,得xy≤,即S≤. 当且仅当2x=3y时等号成立. 由解得 故每间虎笼长为4.5 m,宽为3 m时,可使面积最大. 方法二:由2x+3y=18,得x=9-y. ∵x>0,∴0<y<6. S=xy=(9-y)y= (6-y)y. ∵0<y<6,∴6-y>0. ∴S≤[]2=. 当且仅当6-y=y,即y=3时,等号成立,此时x=4.5.故每间虎笼长4.5 m,宽3 m时,可使面积最大. (2)由条件知S=xy=24. 设钢筋网总长为l,则l=4x+6y. 方法一:∵2x+3y≥2=2=24, ∴l=4x+6y=2(2x+3y)≥48,当且仅当2x=3y时,等号成立. 由解得 故每间虎笼长6 m,宽4 m时,可使钢筋网总长最小. 方法二:由xy=24,得x=. ∴l=4x+6y=+6y=6(+y)≥6×2=48,当且仅当=y,即y=4时,等号成立,此时x=6. 故每间虎笼长6 m,宽4 m时,可使钢筋总长最小. 绿色通道:在使用基本不等式求函数的最大值或最小值时,要注意: (1)x,y都是正数; (2)积xy(或x+y)为定值; (3)x与y必须能够相等,特别情况下,还要根据条件构造满足上述三个条件的结论. 变式训练某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 平方米的三级污水处理池(平面图如图3-4-2所示),由于地形限制,长、宽都不能超过16米,如果池外周壁建造单价为每米400元,中间两道隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元,池壁的厚度忽略不计,试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低造价. 图3-4-2 思路分析:在利用均值不等式求最值时,必须考虑等号成立的条件,若等号不能成立,通常要用函数的单调性进行求解. 解:设污水处理池的长为x米,则宽为米(0<x≤16,0<≤16),∴12.5≤x≤16. 于是总造价Q(x)=400(2x+2×)+248×2×+80×200. =800(x+)+16 000≥800×2+16 000=44 800, 当且仅当x= (x>0),即x=18时等号成立,而18[12.5,16],∴Q(x)>44 800. 下面研究Q(x)在[12.5,16]上的单调性. 对任意12.5≤x1<x2≤16,则x2-x1>0,x1x2<162<324. Q(x2)-Q(x1)=800[(x2-x1)+324()] =800×<0, ∴Q(x2)>Q(x1).∴Q(x)在[12.5,16]上是减函数. ∴Q(x)≥Q(16)=45 000. 答:当污水处理池的长为16米,宽为12.5米时,总造价最低,最低造价为45 000元. 问题探究 问题某人要买房,随着楼层的升高,上下楼耗费的精力增多,因此不满意度升高.当住第n层楼时,上下楼造成的不满意度为n.但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随着楼层的升高,环境不满意度降低.设住第n层楼时,环境不满意程度为.则此人应选第几楼,会有一个最佳满意度. 导思:本问题实际是求n为何值时,不满意度最小的问题,先要根据问题列出一个关于楼层的函数式,再根据基本不等式求解即可. 探究:设此人应选第n层楼,此时的不满意程度为y. 由题意知y=n+. ∵n+≥2, 当且仅当n=,即n=时取等号. 但考虑到n∈N*, ∴n≈2×1.414=2.828≈3, 即此人应选3楼,不满意度最低. 例5解关于x的不等式>1(a≠1) 解 原不等式可化为 >0, ①当a>1时,原不等式与(x-)(x-2)>0同解 由于 ∴原不等式的解为(-∞,)∪(2,+∞) ②当a<1时,原不等式与(x-)(x-2) <0同解 由于, 若a<0,,解集为(,2); 若a=0时,,解集为; 若0<a<1,,解集为(2,) 综上所述 当a>1时解集为(-∞,)∪(2,+∞);当0<a<1时,解集为(2,);当a=0时,解集为;当a<0时,解集为(,2) 只供学习与交流- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 基本 不等式 经典 例题 讲课 教案
咨信网温馨提示:
1、咨信平台为文档C2C交易模式,即用户上传的文档直接被用户下载,收益归上传人(含作者)所有;本站仅是提供信息存储空间和展示预览,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容不做任何修改或编辑。所展示的作品文档包括内容和图片全部来源于网络用户和作者上传投稿,我们不确定上传用户享有完全著作权,根据《信息网络传播权保护条例》,如果侵犯了您的版权、权益或隐私,请联系我们,核实后会尽快下架及时删除,并可随时和客服了解处理情况,尊重保护知识产权我们共同努力。
2、文档的总页数、文档格式和文档大小以系统显示为准(内容中显示的页数不一定正确),网站客服只以系统显示的页数、文件格式、文档大小作为仲裁依据,个别因单元格分列造成显示页码不一将协商解决,平台无法对文档的真实性、完整性、权威性、准确性、专业性及其观点立场做任何保证或承诺,下载前须认真查看,确认无误后再购买,务必慎重购买;若有违法违纪将进行移交司法处理,若涉侵权平台将进行基本处罚并下架。
3、本站所有内容均由用户上传,付费前请自行鉴别,如您付费,意味着您已接受本站规则且自行承担风险,本站不进行额外附加服务,虚拟产品一经售出概不退款(未进行购买下载可退充值款),文档一经付费(服务费)、不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
4、如你看到网页展示的文档有www.zixin.com.cn水印,是因预览和防盗链等技术需要对页面进行转换压缩成图而已,我们并不对上传的文档进行任何编辑或修改,文档下载后都不会有水印标识(原文档上传前个别存留的除外),下载后原文更清晰;试题试卷类文档,如果标题没有明确说明有答案则都视为没有答案,请知晓;PPT和DOC文档可被视为“模板”,允许上传人保留章节、目录结构的情况下删减部份的内容;PDF文档不管是原文档转换或图片扫描而得,本站不作要求视为允许,下载前自行私信或留言给上传者【丰****】。
5、本文档所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权,请谨慎使用;网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽--等)目的在于配合国家政策宣传,仅限个人学习分享使用,禁止用于任何广告和商用目的。
6、文档遇到问题,请及时私信或留言给本站上传会员【丰****】,需本站解决可联系【 微信客服】、【 QQ客服】,若有其他问题请点击或扫码反馈【 服务填表】;文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“【 版权申诉】”(推荐),意见反馈和侵权处理邮箱:1219186828@qq.com;也可以拔打客服电话:4008-655-100;投诉/维权电话:4009-655-100。
1、咨信平台为文档C2C交易模式,即用户上传的文档直接被用户下载,收益归上传人(含作者)所有;本站仅是提供信息存储空间和展示预览,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容不做任何修改或编辑。所展示的作品文档包括内容和图片全部来源于网络用户和作者上传投稿,我们不确定上传用户享有完全著作权,根据《信息网络传播权保护条例》,如果侵犯了您的版权、权益或隐私,请联系我们,核实后会尽快下架及时删除,并可随时和客服了解处理情况,尊重保护知识产权我们共同努力。
2、文档的总页数、文档格式和文档大小以系统显示为准(内容中显示的页数不一定正确),网站客服只以系统显示的页数、文件格式、文档大小作为仲裁依据,个别因单元格分列造成显示页码不一将协商解决,平台无法对文档的真实性、完整性、权威性、准确性、专业性及其观点立场做任何保证或承诺,下载前须认真查看,确认无误后再购买,务必慎重购买;若有违法违纪将进行移交司法处理,若涉侵权平台将进行基本处罚并下架。
3、本站所有内容均由用户上传,付费前请自行鉴别,如您付费,意味着您已接受本站规则且自行承担风险,本站不进行额外附加服务,虚拟产品一经售出概不退款(未进行购买下载可退充值款),文档一经付费(服务费)、不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
4、如你看到网页展示的文档有www.zixin.com.cn水印,是因预览和防盗链等技术需要对页面进行转换压缩成图而已,我们并不对上传的文档进行任何编辑或修改,文档下载后都不会有水印标识(原文档上传前个别存留的除外),下载后原文更清晰;试题试卷类文档,如果标题没有明确说明有答案则都视为没有答案,请知晓;PPT和DOC文档可被视为“模板”,允许上传人保留章节、目录结构的情况下删减部份的内容;PDF文档不管是原文档转换或图片扫描而得,本站不作要求视为允许,下载前自行私信或留言给上传者【丰****】。
5、本文档所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权,请谨慎使用;网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽--等)目的在于配合国家政策宣传,仅限个人学习分享使用,禁止用于任何广告和商用目的。
6、文档遇到问题,请及时私信或留言给本站上传会员【丰****】,需本站解决可联系【 微信客服】、【 QQ客服】,若有其他问题请点击或扫码反馈【 服务填表】;文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“【 版权申诉】”(推荐),意见反馈和侵权处理邮箱:1219186828@qq.com;也可以拔打客服电话:4008-655-100;投诉/维权电话:4009-655-100。
关于本文