整式的乘除教案.doc
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整式的乘除 【知识点归纳】 1。单项式的概念: 由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式的数字因数叫做单项式的系数,字母指数和叫单项式的次数。 如:的 系数为,次数为4,单独的一个非零数的次数是0。 2。多项式: 几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项,次数最高项的次数叫多项式的次数。 如:,项有、、、1,二次项为、,一次项为,常数项为1,各项次数分别为2,2,1,0,系数分别为1,—2,1,1,叫二次四项式。 3、整式:单项式和多项式统称整式. 注意:凡分母含有字母代数式都不是整式.也不是单项式和多项式。 4、多项式按字母的升(降)幂排列: 如: 按的升幂排列: 按的降幂排列: 按的升幂排列: 按的降幂排列: 5、同底数幂的乘法法则:(都是正整数) 同底数幂相乘,底数不变,指数相加.注意底数可以是多项式或单项式. 如: 6、幂的乘方法则:(都是正整数) 幂的乘方,底数不变,指数相乘.如: 幂的乘方法则可以逆用:即 如: 7、积的乘方法则: (是正整数) 积的乘方,等于各因数乘方的积。 如:(= 8、同底数幂的除法法则:(都是正整数,且 同底数幂相除,底数不变,指数相减。如: 9、零指数和负指数; ,即任何不等于零的数的零次方等于1. (是正整数),即一个不等于零的数的次方等于这个数的次方的倒数。 如: 10、 科学记数法:如:0。00000721=7.21(第一个不为零的数前面有几个零就是负几次方)(注意保留有效数字) 11、单项式的乘法法则:单项式与单项式相乘,把他们的系数,相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。 注意: ①积的系数等于各因式系数的积,先确定符号,再计算绝对值。 ②相同字母相乘,运用同底数幂的乘法法则。 ③只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式 ④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。 ⑤单项式乘以单项式,结果仍是一个单项式. 如: 12、单项式乘以多项式,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加, 即(都是单项式) 注意: ①积是一个多项式,其项数与多项式的项数相同. ②运算时要注意积的符号,多项式的每一项都包括它前面的符号. ③在混合运算时,要注意运算顺序,结果有同类项的要合并同类项。] 如: 13、多项式与多项式相乘的法则; 多项式与多项式相乘,先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所的的积相加. 如: 14、平方差公式:注意平方差公式展开只有两项 公式特征:左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数.右边是相同项的平方减去相反项的平方。 如: 15、完全平方公式: 公式特征:左边是一个二项式的完全平方,右边有三项,其中有两项是左边二项式中每一项的平方,而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍. 注意: 完全平方公式的口诀:首平方,尾平方,加上首尾乘积的2倍。 16、三项式的完全平方公式: 17、单项式的除法法则: 单项式相除,把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。 注意:首先确定结果的系数(即系数相除),然后同底数幂相除,如果只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式 如: 18、多项式除以单项式的法则: 多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,在把所的的商相加。 即:. 【历年考点分析】 整式的运算是初中数学的基础,是中考中的一个重点内容。和整式有关的考点主要涉及以下几个方面:1。幂的运算;2。整式的乘法运算;3.因式分解.具体分析如下: 考点1:幂的有关运算 例1 下列运算中,计算结果正确的是( ) (A)a4·a3=a12 (B)a6÷a3=a2 (C)(a3)2=a5 (D)(—ab2)2=a2b4. 分析:幂的运算包括同底数幂的乘法运算、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法运算。幂的运算是整式乘除运算的基础.准确解决幂的有关运算的关键是熟练理解各种运算的法则。 解:根据同底数幂的乘法运算法则知a4·a3=a4+3=a7,所以(A)错;根据同底数幂的除法法则知a6÷a3=a6—3=a3。所以(B)错;根据幂的乘方运算法则知(a3)2=a3×2=a6,所以(C)错;所以选(D)。 考点2:整式的乘法运算 例2计算:(a2+4)(a—3)—a(a2—3a—3). 分析:本题是一道整式乘法综合计算题,解题时应先算乘法,然后再算加减,,注意其去括号时符号的变化。 解:(a2+4)(a-3)—a(a2-3a—3) =a3-3a2+4a—12—a3+3a2+3a =7a-12。 例3 如图1所示,用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设矩形地面,请观察下图:则第n个图形中需用黑色瓷砖______块.(用含n的代数式表示)。 (1) (2) (3) ……(n) 图1 分析:观察发现,第1个图形有黑色瓷砖3×5—3×1(块);第2个图形有黑色瓷砖4×6-2×4(块);第3个图形有黑色瓷砖5×7—3×5(块),依次类推,第n个图形有(n+4)(n+2)—n(n+2)块. 解:(n+4)(n+2)—n(n+2)=n2+4n+2n+8-n2—2n=4n+8。 考点3:乘法公式 例5先化简,再求值:(x+y)(x—y)+(x—y)2—(x2—3xy)。其中x=2,y=。 分析:本题是一道综合计算题,主要在于乘法公式的应用,化简时还有注意去括号符号的变化. 解: (x+y)(x-y)+(x—y)2—(x2—3xy)=x2-y2+x2-2xy+y2—x2+3xy=x2+xy。 当x=2,y=时,原式=22+2×=4+1=5。 例6 若整式是一个整式的平方,请你写满足条件的单项式Q是。 分析:本题是一道结论开放题,由于整式包括单项式和多项式,所以可分类讨论可能出现的情况,当是一个单项式的平方时,Q=4x或-4x或4x4;当是一个单项式的平方时,Q=-1或—4x2, 解:可填4x或—4x或4x4或—4x2或-1. 考点4: 整式的除法运算 例7 先化简,再求值:[(x—y)2+(x+y)(x—y)]÷2x,其中x=3,y=1。5。 分析:本题的一道综合计算题,首先要先算括号的,为了计算简便,要注意乘法公式的使用,然后在进行整式的除法运算,最后代入求值。 解: [(x—y)2+(x+y)(x-y)]÷2x=(x2—2xy+y2+x2-y2)÷2x =(2x2—2xy)÷2x=x—y。 当x=3,y=1.5时,原式=3—1。5=1。5。 考点6:因式分解 例8 观察下列等式: 12+2×1=1×(1+2), 22+2×2=2×(2+2), 32+2×3=3×(3+2), …… 则第n个式子可以表示为:_________。 分析:观察已知各等式,可以发现,等式的左边是两项,第1项是是从1开始的整数的平方,第2项是2与这个整数的乘积,所以左边可用一般式子表示为n2+2n(n≥1的整数),每一项等式的右边是这个整数乘以这个整数与2的和的积,所以可用一般的式子表示为n(n+2),所以第n个等式为n2+2n=n(n+2).本题实际是因式分解的变式应用. 解: n2+2n=n(n+2)。 一、细心选一选(本题共10小题,每小题2分,共20分。每小题只有一个答案,把答案写在题后的括号内。) 1.化简 2a3 + a2·a 的结果等于( ) A.3 a 3B.2 a3C.3 a6D.2 a6 2.下列各式中,不能够运用平方差公式计算的是( ) A.(-a-1)(-1+a)B.(x-y)(y+x) C.(x+2y-1)(x-2y+1)D.(ab+c)(-ab-c) 3.如果整式x 2 + mx +9恰好是一个整式的平方,那么常数m的值是( ) 1 x 1 x2 A.6B.3C.±3D.±6 4.已知x- =3,则x2+等于( ) A.7B.9C.11D.13 5.计算(-0.5)2007×22009的结果是( ) A.-4B.0。25C.4D.-0。25 6.若a=3-2,b=-32,c=30,d=-3-3,则a,b,c,d的大小关系是( ) A.a>b〉c〉d B.b〉c〉a〉d C.c〉a>d〉b D.d>b〉a>c 7.若n为正整数,则[1-(-1)n](n2-1)的值是( ) A.是整数但不一定是偶数B.一定是偶数C.不一定是整数D.一定是零 8.计算(a-b)(a+b)(a2+b2)(a4-b4)的结果是( ) A.a8+2a4b4+b8B.a8-2a4b4+b8C.a8+b8D.a8-b8 9.下列计算中:①am+an=amn ;②(-3am+n)2=-27a2m+n ;③(2anb3)·(-abn-1)=-an+1bn+2 ; ④(-x)5÷(-x)3=-x2 ;⑤a5·(-a)3-a8=-2a8,正确的有( ) A.0个B.1个C.2个D.3个 10.一块正方形铁皮的边长为a,如果一边截去6,另一边截去5,则所剩长方形铁皮的面积表示成①(a—5)(a—6);②a2—5a-6(a—5);③a2—6a—5(a-6);④a2—5a—6a+30;其中正确的有( ) A.1个B.2个C.3个D.4个 二、你一定能填对(本题共10小题,每小题3分,共30分) 11.计算:a2-6a+_______=(a-3)2; (x—3)(x+3)=________;2 0 + 2-1 =_______。 12.澳洲科学家称他们发现全世界最小、最轻的鱼,取名为胖婴鱼.据说该鱼雄性成鱼体长平均仅0.7厘米、雌鱼0。84厘米,要一百万尾才能凑足一千克。一条胖婴鱼成鱼的质量为_________千克(用科学记数法表示)。 13.如果多项式(x+2)与(x+k)的乘积中不含x的一次项,则常数k的值为_________. 14.计算:a6÷a2·a3 =_______; (3x2y-2xy2)÷(______)=-3x+2y; ______。 15.若x+y=5,x-y=1,则xy=______________。 16.若2n=3,3n=5,则36n= _________. 17.有一块绿地的形状如图所示,则它的面积表达式 经化简后结果为。 18.计算:___________(结果用幂的形式表示)。 19.定义一种新运算: a*b=ab+a2-b2,那么(x+y)*(x-y)=。 20.将正整数1,2,3,…从小到大按下面规律排列。若第4行第2列的数为32, 则(1)n=;(2)第i行第j列的数为(用i,j表示). 第1列 第2列 第3列 … 第n列 第1行 1 2 3 … n 第2行 n+1 n+2 n+3 … 2n 第3行 2n+1 2n+2 2n+3 … 3n ……………… 三、耐心答一答(共50分) 21.(本题6分)用简便方法计算 (1)0.1252005×(-8)2006 (2) 2 3 1 2 22.计算(每小题3分,共12分): (1)- xy· xy (2)(6m2n-6m2n2-3m2) ÷(-3m2) (3)(-1)2009+(-0。5)-2-(3。14-)0; (4)(2x3y)2·(-2xy)+(-2x3y)3÷(2x2) 1 2 23.(每小题4分,共12分)先化简,再求值: (1)(x+3)(x-4)-x(x-2),其中x=3 ; (2)(2x+1)2-9(x+2)(x-2)+5(x+1)(x-3),其中x=-2; 1 2 (3),其中a= ,; 参 考 答 案 一、选择题: ADDCA CBBCD 二、填空题: 11. 9 , x2—9 , 3/2 12。 1×10-613。 -2 14。 a7 -xy , -a2615。 6 16。 22517. 2x2+xy18。 216 -1 19。 x2—y2+4xy 20。 10, 10i+j -10 三.解答题: 21. (1)8 (2) 1; 22. (1) —1/3 x2y2 (2) -2n+2n2+1 (3) 2 (4) -12x7y3 23。 (1) x—12, -17/2 (2) -6x+22 , 34 (3) 4a2 -4ab+2b2, 13 24。 (1)x= -6 (2) 4a2+3ab , 124 25。 x≤a mx;a<x≤30 ma﹢n(x﹣a); x﹥30 ma﹢n(30﹣a)﹢2m(x﹣30)26. (1)略 (2)3 - 10 -- 配套讲稿:
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