混沌预测模型改进及在电力日负荷预测中的应用.pdf

第 3 7卷第 1 期 2 0 1 6年 1月 仪 器仪 表 学 报 C h i n e s e J o u r n a l o f S c i e n t i fi c I n s t r u me n t V o 1 ． 3 7 No ． 1 J a n ．2 0 1 6 混沌预测模型改进及在 电力 日负荷预测 中的应用 张淑清， 师荣艳 ， 张立国， 严 冰， 张航飞 ， 贺朋 ( 燕山大学 河北省测试计量技术及仪器重点实验室秦皇岛0 6 6 0 0 4 ) 术 摘要： 针对电力 日负荷预测中基于最大 L y a p u n o v 指数的传统混沌预测模型的缺陷， 提出以下改进思想 ： 采用微分熵法 同时确定嵌入维数和延迟时间， 改善相空间重构质量的同时， 有效减少计算量 ； 引入夹角参数， 在与中心点距离最短 的点 中， 筛选夹角最小的点作为最终邻近点 ； 基于相似性原理 ， 引入取舍规则 ， 使得计算结果唯一确定。本文方法解决了传统 预测模型计算量大、 运算速度慢 、 预测精度不高以及正负号选取等问题。通过对典型混沌系统数值验证和某地区实际电 力负荷系统的预测分析证明了本文方法的可靠性和高效性 ， 为电力 日负荷预测提供了一种新的有效途径 。 关键词 ： 混沌预测模型； 微分熵 ； 邻近点筛选； 取舍规则； 负荷预测 中图分 类号 ： T H 1 7 文献标识码 ：A 国家标准学科分类代码 ： 5 2 0 ． 2 0 9 9 I mp r o v e me n t o f c h a o t i c f o r e c a s t i n g mo d e l a n d i t s a p pl i c a t i o n i n po we r d a i l y l o a d f o r e c a s t i n g Zh a n g S h uq i n g ，S h i Ro n g y a n，Z ha n g L i g u o，Ya n Bi n g，Zh a n g Ha n g f e i ，He P e n g ( Y A N S H A N U n i v e r s i t y K e y L a b o r a t o r y o fMe a s u r e m e n t T e c h n o l o g y a n d I n s t r u m e n t a t i o n ofH e b e i P r ~i n c e ，Q i n h u a n g d a o 0 6 6 0 0 4 ， C h i n a ) Ab s t r a c t ： Ai mi n g a t t h e d e f i c i e n c y o f t r a d i t i o n al c h a o s f o r e c a s t i n g mo d e l b a s e d o n ma x i mu m L y a p u n o v e x p o n e n t i n p o we r d a i l y l o a d f o r e c a s t i n g ，t h e f o l l o w i n g p r e d i c t i o n i d e a s a r e p r o p o s e d i n t h i s p a p e r ：Di f f e r e n t i a l e n t r o p y me t h o d i s a d o p t e d t o d e t e r mi n e e mb e d — d i n g d i me n s i o n a n d d e l a y t i me s i mu l t a n e o u s l y ，a n d e f f e c t i v e l y r e d u c e t h e a mo u n t o f c a l c u l a t i o n w h i l e i mp r o v i n g p h a s e s p a c e r e c o n — s t r u c t i o n q u a l i t y ．T h e a n g l e p a r a me t e r s a r e i n t r o d u c e d，a n d t h e p o i n t w i t h t h e s ma l l e s t a n g l e i s s c r e e n e d f r o m t h e p o i n t s wi t h t h e s h o r t e s t d i s t a n c e t o t h e c e n t e r p o i n t ，a n d i s t a k e n a s t h e l a s t a d j a c e n t p o i n t ．B a s e d o n t h e s i mi l a r i t y p r i n c i p l e ，t h e a l t e rna t i v e rul e i s i n t r o d u c e d t o s o l v e t h e s i g n s e l e c t i o n p r o b l e m a n d ma k e t h e c a l c u l a t i o n r e s u l t s d e t e r mi n e d a n d u n i q u e l y ． T h e p r o p o s e d me t h o d e f f e c t i v e l y s o l v e s t h e p r o b l e ms o f l a r g e c o mp u t a t i o n，s l o w o p e r a t i o n s p e e d，l o w p r e d i c t i o n a c c u r a c y a n d s i g n s e l e c t i o n o f t r a d i t i o n a l f o r e c a s t i n g mo d e 1 ．T h e n u me r i c a l v e r i fi c a t i o n o f t y p i c a l c h a o t i c s y s t e m a n d t h e p r e d i c t i o n a n a l y s i s o f r e a l p o we r l o a d s y s t e m i n a c e rt a i n r e g i o n we r e c o n d u c t e d；a n d t h e r e s u hs p r o v e t h e h i g h e ffic i e n c y o f t h e p r o p o s e d me t h o d，wh i c h p r o v i d e s a n e w e f f e c t i v e wa y f o r p o we r d a i l y l o a d f o r e c a s t i n g ． Ke y w o r d s ： C h a o s f o r e c a s t i n g m o d e l ； d i ff e r e n t i al e n t r o p y ； a d j a c e n t p o i n t s c r e e n i n g ； al t e rna t i v e r u l e ； l o a d f o r e c a s t i n g 1 引 言 电力 系统 短期 负 荷 预 测 是 电力 部 门 的一 项 重要 工作 ， 准确预测负荷有助于提高系统的安全性和稳定 性 ， 减少发 电成本 。传统 的预测方 法有 回归分析 预 测 法、 时间 序列 预测 法、 指 数平 滑法 、 灰 色 预测 技 术 等 。随着人工 智 能 的发 展 ， 一 些 现代 负 荷 预 测 技 术 也应用 而 生 ， 如专 家 系统 、 模 糊 理 论 、 小 波分 析 技 术 、 人工神经网络等[ 3 - 4 1 。大量研究表明， 电力系统负 荷存 在混沌 特 性 ， 因此 可 以利 用 负 荷 的混 沌 特性 进行 短期 负荷 预测 。 作为一种新兴 的研究非周期 、 复杂和不规则现象 的 方法 ， } 昆 沌 的引入 为电力 负荷预测技术的研究注入 了新 收稿 日期 ： 2 0 1 5 - 0 3 R e c e i v e d D a t e ： 2 0 1 5 -03 基金项目： 国家自然科学基金( 5 1 4 7 5 4 0 5 ， 6 1 0 7 7 0 7 1 ) 、 河北省 自 然科学基金(F 2 0 1 5 2 0 3 4 1 3 ， F 2 0 1 5 2 0 3 3 9 2 ) 、 河北省高等学校科技研究重点项 目( Z D 2 0 1 4 1 0 0 ) 、 秦皇岛市科技计划( 2 0 1 5 0 2 A 0 4 3 ) 项 目资助 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m 第 1 期 张淑清 等 ： 混沌预测模型改进及在电力 日负荷预测中的应用 2 0 9 的活力 。其特性符合对各种非线性系统 的复杂运动作 出 各种预测。相比于传统的预测模型， 混沌预测模型不依 赖于主观模型 ， 而是按 照时间序列 自身所存在 的客观规 律进行预测 ， 这样可 以避免人为主观性带来的误差 ， 因此 有较高的精确度 。 但 是 ， 基于最 大 L y a p u n o v指数混沌 预 测模 型存 在 以下 缺陷 ： 1 ) L y a p u n o v指数 预 测基 于相 空 间重 构 ， 重 构参数延迟时间和嵌入维数的计算过程繁琐 ， 延长 了 预测时间； 2 ) 寻找 中心点 的邻点时 ， 不能保证 目标点 准确 落在 与 中心 点 所 在 轨 道 的最 相 近 轨 道 上 ， 最 大 L y a p u n o v 指数就 不 能 准 确反 出 映 2条 轨 道 的 指 数 离 析程度 ， 从 而造成 预 测误 差 ” ； 3 ) 无 法解 决 正 负 号 选取问题 ， 使得计算结果不 唯一。因此， 有必要对传 统 的预测 模 型进 行改进 和完 善 。 针对上述 问题 ， 本文引入微分熵 同时确定嵌入 维数 和延迟时间， 改善相空 间重构 质量 ， 减少计算量 ； 确 定 中 心点 的邻近点 时， 引入夹角参数 ， 同时限定距离及其与 中 心点之间的夹角最小， 确保预测点在中心点的最邻近轨 道上 ； 最后在计算的过程中引入取舍规则 ， 使得预测 值唯一确定。最后， 通过对典型混沌系统和实际电力负 荷 系统进行 预测 分 析 ， 验 证 了论 文方 法 的可 靠性 和高 效性 。 2 基于最大 L y a p u n o v指数的预测模型的改 进措 施 2 ． 1 相空间重构 延迟时间 r 和嵌入维数 m是相空间重构的两个最为 重要的参数 。 微分 熵 法能 同 时确 定嵌 入 维数 和延 迟 时 间 ， 因此可有效减少计算量， 且能有效重构原系统的 相空间 ， 保证计算相空间重构 中不变量 的精度 。 设一维时间序列 { ( t ) ， i=1 ， 2 ， ⋯， Ⅳ} ， 通过时间 延迟 Jr 重构 ： Y ( t ／ )= ( ( ， ) ， ( t + r ) ， ⋯， x ( t +( m一1 ) r ) )( 1 ) 式 中 ： =1 ， 2 ， ⋯． ， ， M =N一( m一1 ) r ， r 为延迟时间 ， m为嵌入维数 ， Y ( j )为重构相点。 定义 K o z a c h e n k o ． L e o n e n k o ( K ． L ) 估计微分熵 ： Ⅳ H ( x ， m ， r )=∑1 ． E N d ( j ) ] + l n 2 + c ( 2 ) 式 中： Ⅳ是数据长度 ， c为欧拉常数 ， d ( j )为第 个 点和 它最近邻点 的欧几里德距 离。表达式如下 ： d ( j ) =ll Y ( j )一Y ( j ) ， Jl。 ( 3 ) 式 中： Y ( j ) 为 Y ( j )的最近邻点 √ =1 ， 2 ， ⋯， Ⅳ 。 由于式 ( 2 ) 对 于嵌 入维数不 具有鲁 棒性 ， 因此需要 通过 的替代数据 对 H( ， m， ) 进行标准化处理 。 的 替代 数 据 由迭 代 的 幅 度 调 节 F o u r i e r 算 法 ( i n t e r a t i v e a m p l i t u d e a d j u s t e d F o u r i e r t r a n s f o r m a t i o n ， A A F T )产生 ， H( ， m， )即 为原 始数 据 第 i 次代 替数 据 的微 分 熵。 式( 2 ) 可 以计算原序列 H( ， m， )和替代数据 的 H( ， m， f ) ， 于是微分熵率 ， ( m， r )： ，( m 糕 (4 ) 式 中： 。 表示计算 i 次的平均值 ， 一般取 1 0或 5 。 考虑到嵌入维数 的惩罚 因子 ， 重新定义微分熵率 ： P ( m ， r ) = ， ( m ， 7 - ) f 1 + m l n ~V 1 ( 5 ) 式 中： Ⅳ是数据长度 ， m为嵌入维数 。 微分熵 越 小 ， 混 沌 吸 引 子 越 有 序 ， 微分 熵 率 图上 P ( m， r )的最小值点对应最佳嵌入维和延迟时间。 2 ． 2改进预测模型中邻近点 的选取 传统的混沌预测模 型， 在确定 中心 点的邻 近点的过 程中 ， 只对其与中心点 的距离进行限制 ， 将限制范 围内距 离最近的点作为最终邻近点， 但以这种方式求得的邻近 点并不一定在中心点所在轨道 的最相近轨道上 ， 无法保 证预测点与中心点以最 大 L y a p u n o v 指数离析 ， 从而产生 预测误差 “ 。本文引入夹角参数 ， 在 与中心点距 离最 短的点中筛选夹角最小点作为最终邻近点。具体过程 如下 ： 以 y ( t ) 为预报的中心点， Y ( t )的近似相点为 Y ( t ) 。 时间演化一步 ， Y ( t )演化为 Y ( t ) ， Y ( t ) 演化为 y ( t ) ， 其与 Y ( t )距离为 。 为寻找 l ， ( t )的 邻近点 Y ( t )时， 其距离为 ， 遵循以下两个原则： 1 ) 取值尽可能小 ； 2 ) 与 的夹角 0 尽可能小。 尽可能地小 ， 才能保证 Y ( t ) 为距离最近点； 在此 基础上 ， 夹角 0尽可能小 ， 才能保证 y ( ￡ ) 一定在 中心点 所在轨道的最相近轨道上 ， 从而减少预测误差。 设 y ( t ) 、 Y ( ， )为相空间中任意一点 i ， =1 ， 2 ， ⋯ ， N — m +1 。 记 相 空 间 两距 离 的平 均 值 为 ， 则 ： = 一 Ⅳ一m+1 。)一】 ， ( ( 6 ) 距离 Y ( t ) 最近 的非零距离为 d 。， 则 ： d o=m n Y ( t )一Y ( ， ) l 1 ) ( 7 ) 式中，lI ． Il 表示欧氏模。 记平均距离和最近距离之差 为 A d， 则有 ： Ad=d—d 。 ( 8 ) 记搜索范围下限为 ， 上限为 s ， 按照下式求取： s 0=d 0+ △ ( 9 ) =s o+ △ d ( 1 0 ) 式 中 ： 为限制分离 系数 ， 一般取 3 ％ ～1 0 ％ ， n为待搜 索点数， ( n=1 ， 2 ， ⋯) 。 按下列方法确定 】 ， ( t K )： 1 ) 若满足 { ll Y ( t ) 一Y ( I <8 } 的点只有一 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m 2 1 0 仪器仪表学报 第 3 7卷 个 ， 则放大搜索范围， 令 ／7 , =n+1； ( 2 ) 若满足 { s 。 l I Y ( t )一Y ( t j ． ) I 1 P ， 其中P为时间序列的平均周期。 对于 Y ( t ) 。 ( i =1 ， 2 ， ⋯) ， 取 e o s 0 ( i=1 ， 2 ， ⋯)最 大者对应的 Y ( t ) 作为最终邻近点 Y ( t )。 ⋯ L J If = l l Y ( t 』 lf )一Y ( t ) 则有 ： ( 1 1 ) ( 1 2 ) lI Y ( t + 。 )一Y ( t ) ll =II Y ( t + )一Y ( t ) IIe ( 1 3 ) 式中 ： 点 Y ( t )只有最后一个分 量 ( t + )是未知 的， 将式 ( 1 ) 带入式 ( 1 3 )整理得 ： ( t + 。 )= ( t ) ／ — ( 1 4 ) 式中 ： MI = e [ ( ( t ) 一 ( t + 1 ) ) + ( ( t + ， ) 一 ( t + + 1 ) ) 2 +( ( t K + ( 一 1 ) )一 ( t + ( 一 1 ) + 1 ) ) ] ( 1 5 ) M2 = e [ ( ( t Ⅳ 一 ( 一 1 ) ) 一 ( t 』 v + ( 一 1 ) + 1 ) ) + ( ( t Ⅳ 一 ( 一 2 ) ) 一 ( t Ⅳ + ( 一 2 ) ， + 1 ) ) + ⋯+ ( t Ⅳ 一 ) 一 ( t + ) ) ] ( 1 6 ) 式( 1 4 ) 即为 基 于最 大 L y a p u n o v指 数 的改 进 预测 模型。 2 ． 3改进预测模型的取舍规则 如式( 1 4 ) 中所示， 正负号 的选取 问题仍需 要解 决 。本文 引入 一 种取 舍 规 则解 决 上 述 问题 n 引。相 似性 中 隐含 着 温度 、 湿 度 等 气候 因素 的作 用 规 律 ， 电 力负荷的形成是这些因素共 同作用 的结果。论文取 舍规 则通 过 相 似 性 分 析 将 有 关 因素 相 互 关 联 起 来 。 具体 思想为 ： 选择待预测负荷点 ( t i ) ( i ≥2 ) ， 则 式( 1 4 ) 取正 负 号时， ( t ) 对应两个值 ： ( t ) 和 ( t ) 一 ) ， 以及前面的 n 个 已知负荷点为 ( t ) ， ( t ) ， ⋯ ， ( t ) 。 相似性分析 是基于空间矢量之间的夹角相 近程度 ， 将 ( t 。 ) ， ( t ) ， ( t ) ， ⋯ ， ( t ) 当作 n+1 个空间中的点处理 ， 比较其 和相似时段的历史负荷组成的矢量之间的角度关系。 假 设 空间中的两个矢量 P =( ， ， ⋯ ， ) 和 Q =( Y ， y ， ⋯ ，) ， )， 它们之间的夹角按下式计算： 0 = a r e c o $ [ ( P Q ) ／ ( P Q) ] = a r e c o s ∑x iY ． ．． ．． ．． ．． ． ．．． ． ．． ．． ．． ．： ．． ．．． ．． ． ．． ．．． ．． ．． ．． ．．一 ( 1 7 ) 0 越小 ， 说明两个矢量在方向上越接近 。 定义式( 1 4 ) 取正号时对应 的预测值与其 n 个已知负 荷点组成的矢量为 ( t ) ： ( t ) =( ( ) ， ( t ) ， ⋯ ， ( t ⋯ ) ) ( 1 8 ) 式( 1 4 ) 取负号 时对应 的预测值 与其 n个 已知负荷 点组成 的矢量为 ( t ) 一： ( t ) 一 =( ( t ) 一 ， ( t ) ， ⋯ ， ( t ⋯ ) ) ( 1 9 ) 式中 ： ( t ) 、 ( t ) 一 分别表示式 ( 1 4 ) 取正负号时所对应 的负荷值 。 与待预测点相对应 的相似 时段的历史负荷组成 的矢 量位 ( f ) ： ( t ) = ( ( t j ) ， ( t j 一 ) ， ⋯ ， ( t j 一 ) ) ( 2 0 ) 分别计算 ( ) 与x ( t ) 的夹角 0 和x ( t ) 一 与x ( t ) 的 夹角 0 一， 通 过 比较两者 的大小， 选择 正负号。具体 规则 如下 ： 1 ) 若 0 R 2 ， 进一 步说明改进预测模型具有更高的预测精度。 善 图 2 D u ff i n g预测结果 F i g ．2 T h e Du ff i n g p r e d i c t i o n r e s u l t 29 5 0 29 6 0 2 9 7 0 2 9 8 0 2 9 9 0 3 0 0 0 月 图 3 D u ff i n g预测误差 F i g ．3 T h e D u ffi n g p r e d i c t i o n e r r o r ( 2 2 )4 改进模型在实际电力负荷预测中应用 式 中： 取 =0 ． 0 5 ， a=0 ． 5 ， F = 7 ． 5 ， 占= 1 。此时 D u ffin g 系统为混沌 系统 ， 用 四阶 R u n g e ． K u t t a 法求解方 程 ( 2 2 ) 。 步长 h= 0 ． 0 5 ， 取分量 为研究对象 ， 舍去开始 3 0 0 0 0个 暂态点 ， 得到 3 0 0 0个点的时间序列。 应用式( 2 ) 计算原序列及其替代数据的微分熵 ， 并 以 m和 为底面坐标轴作微分熵率图， 比较吸引子重构效果。 如图 1 ( a ) 所示 ， 在底面坐标( m， )= ( 5 ， 6 )时微分熵率 P ( m， r ) 取得最小值 0 ． 9 4 2 1 ， 即( m 。 r )=( 5 ， 6 ) 。 比较 重构前后 D u f f i n g 吸引子在 —Y 平面投影 ， 如 图 1 ( b ) 和 1 ( C ) 所示。由图可知 ， 微分熵法能够很好地对混沌序列 相空间重构 。 取前 2 5 0 0个点作为样本数据 ， 后 5 0个点作校验数 据。采用传统模型和改进模型进行预测， 结果如图2 、 3 所示 。由图 2 、 3可知 ， 改进预测模型得到 的预测 曲线更 贴近原始数据曲线， 误差曲线也在零附近波动， 而传统模 采用欧洲智能技术 网络 ( E U N I T E ) 负荷预测 数据中 1 月 份第 的负荷数据进行预测分析 ， 每半个小 时采样 一 次， 总共 1 4 8 8 个点。应用式( 2 ) 计算上述负荷序列及其 替代数据 的微分熵 ， 得到微分熵率图如 图4所示。 1 1 口1 1 0 0 图4 电力负荷序列微分熵率图 F i g ． 4 T h e d i ff e r e n t i a l e n t r o p y r a t i o d i a g r a m o f p o w e r l o a d s e q u e n c e l 0 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m 2 1 2 仪器仪表学报 第 3 7卷 由图4可知， 在底面坐标 ( m， )=( 4 ， 4 ) 时微分熵 率 P ( m， r )取得最小值 0 ． 9 0 4 6 ， 即 ( m 。 ， f )：( 4 ， 4 ) 。 求取最大 L y a p u n o v 指数为 0 ． 0 1 5 6 。 A > 0 ， 进一步说明 电力负荷具有混沌特性。最大预测时限 ： = = A 1 6 4 1 1 ， 4 8 R ， 说明改进模型得到的预测值更接近真实。由图 6可 知， 改进模型的预测误差曲线在零附近波动， 而传统模型 则波动较大 ， 说 明改进模型 的预测误差 远远小于传统模 型 。为了进一步从数值上说 明改进模 型的优越性 ， 对第 2月 1日2 4个整点时刻 的预测误差进行分析 ， 结果如表 1所示。 表 1 两种模型预测结果和相对误差 Ta b l e 1 P r e d i c fi o n r e s u l t a n d r e l a t i v e e r r o r o f t wo p r e d i c t i o n mo d e l s 参葛 — 椁 ∞ ∞ 加 0 ∞ ∞ 加 如 一 一 一 一 一 譬=，兽挺斌 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m 第 1 期 张淑清 等： 混沌预测模型改进及在电力 日负荷预测中的应用 2 1 3 通过表 1数据可知 ， 传统模型的相对误差集中在 1 ％ ～5 ％ 之 间 ， 最大 误差 为 2 9 ． 2 6 0 O 0 M W ； 而改 进预 测 方 法 的 相 对 误 差 集 中 在 1 ％ 以 下 ， 最 大 误 差 为 l 6 j 7 ． 8 8 2 7 0 MW。且改 进 模 型 的 相 对 误 差 都 明 显 小 于 传统 模型 ， 说 明改 进 模 型 预测 效 果 更 可靠 ， 可 有 效 提 高 预测精 度 。 5 结 论 提出基于最大 L y a p u n o v 指数 的混沌 预测模 型 的改 进 思路 ， 并 对 实际 电力 负荷 序列 进行 预测 。通 过对 典 型 D u f f i n g 混沌 系 统 的数 值 仿 真 ， 证 明 了改 进 模 型 的 可靠 性和 高效 性 ； 在 实 际 电力 负 荷 预测 中应 用 ， 结 果 可靠准确 ， 预测精度大幅度提高 ， 大约是传统 预测模 型 的 4倍 ， 具有 很 高 的 实 用价 值 ， 适 合 在 电力 负荷 预 测 中使用 。 参考文献 [1] F A N S ，H Y N D MA N R J ．S h o rt t e r m l o a d f o r e c a s t i n g b a s e d o n a s e m i ． p a r a m e t ri c a d d i t i v e m o d e l I J 1 ．I E E E T r a n s a c 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李天 云，刘 自发．电力 系统负荷 的混沌特性及 预 测[ J ] ．中国电机工程学报， 2 0 0 0 ， 2 0 ( 1 1 ) ： 3 7 — 4 1 ． L I Y T．L I U Z F．C h a o t i c c h a r a c t e ris t i c s a n d f o r e c a s t i n g o f p o w e r s y s t e m l o a d[ J ] ．P r o c e e d i n g s o f t h e C S E E， 2 0 0 0 ， 2 0 ( 1 1 ) ： 3 7 ． 4 1 ． WAN G J G，Z HOU J Z，P E NG B．A h y b rid n e u r al g e — n e t i c me t h o d for l o a d f o r e c a s t i n g b a s e d O l l p h a s e s p a c e r e — c o n s t ruc t i o n f J ] ．K y b e r n e t e s t h e I n t e r n a t i o n a i J o u r n a l o f S y s t e m s& C y b e r n e t i c s ， 2 0 1 0 ， 3 9 ( 8 ) ：1 2 9 1 — 1 2 9 7 ． 雷苗，彭宇， 彭喜元．面向混沌时间序列预测的隐式 特征提取算法 [ J ] ．仪器仪表学报 ，2 0 1 4 ，3 5 ( 1 ) ： 1_ 7． L E I M ，P E NG Y，P EN G X Y．No v e l h i d d e n f e a t u r e e x — t r a c t i o n fo r c h a o t i c t i me s e r i e s p r e d i c t i o n『 J ] ． C h i n e s e J o u r n a l o f S c i e n t i f i c I n s t rum e n t ， 2 0 1 4 ， 3 5 ( 1 ) ：1 - 7 ． 赵鹏，张宏伟．基于最大 L y a p u n o v指数的改进预测模 型及其在城市用水量短期预测中的应用[ J ] ．天津大 学学报： 自然科学 与工程技术 版，2 0 0 7 ，4 0( 1 2) ： 1 5 0 0 ． 1 5 0 6． Z HAO P．Z H ANG H W ．I mp r o v e d p r e d i c t i n g mo d e l b ase d o n t h e l arg e s t L y a p u n o v e x p o n e n t a n d i t s a p p l i c a t i o n t o s h o rt - t e r m f o r e c a s t i n g f o r u r b an w a t e r c o n s u m p t i o n[ J ] ． T r a n s a c t i o n s o f T i anj i n U n i v e r s i t y ：N a t u r al S c i e n c e and E n g i n e e ri n g ， 2 0 0 7 ， 4 0 ( 1 2 ) ： 1 5 0 0 — 1 5 0 6 ． 黄文标 ， 施式亮．基于改进 L y a p u n o v 指数的瓦斯涌出 时间序 列 预 测 [ J ] ．煤 炭 学 报，2 0 0 9 ，3 4( 1 2) ： 1 6 6 5— 1 6 68． HUANG W B，S HI S H L．Pr e d i c t i n g o n t he t i me s e r i’e