相似三角形的判定-教学设计-教案(定稿).doc

23.2相似三角形的判定
[教材分析］
本节内容是上科版《新时代数学》九上第24章《相似形》第二节《相似三角形判定》的第一节课。是在学习了第一节相似多边形的概念、比例线段的有关概念及性质,并具备了有关三角形中位线和平行四边形知识后，研究三角形一边的平行线的判定定理。一方面,该定理是前面知识的延伸和全等三角形性质的拓展;另一方面,不仅可以直接用来证明有关三角形相似的问题，而且还是证明其他三种判定定理的主要根据，所以有时也把它叫做相似三角形判定定理的“预备定理".通过本节课的学习，还可培养学生实验、猜想、证明、探索等能力,对掌握分析、比较、类比、转化等思想有重要作用。因此，这节课在本章中有着举足轻重的地位.
［教学目标]
知识与技能目标：
（1)、理解相似三角形的概念，能正确地找出相似三角形的对应边和对应边角。
(2)、掌握相似三角形判定定理的“预备定理”.
过程与方法目标：
(1）、通过探索相似三角形判定定理的“预备定理"的过程,培养学生的动手操作能力,观察、分析、猜想和归纳能力，渗透类比、转化的数学思想方法。
(2）、利用相似三角形的判定定理的“预备定理”进行有关判断及计算，训练学生的灵活运用能力，提高表达能力和逻辑推理能力。
情感与态度目标：
（1)、通过实物演示和电化教学手段,把抽象问题直观化，激发学生学习的求知欲，感悟数学知识的奇妙无穷。
（2）、通过主动探究、合作交流，在学习活动中体验获得成功的喜悦.
[教学重点］ 相似三角形判定定理的预备定理的探索
［教学难点］ 相似三角形判定定理的预备定理的有关证明
[教学方法] 探究法
［教学媒体] 直尺、 三角板
[教学过程]
一、课前准备
1、全等三角形的基础知识
2、三角形中位线定理及其证明方法
3、平行四边形的判定和性质
4、相似多边形的定义
5、比例的性质
二、复习引入
（一）复习
1、相似图形指的是什么？
2、什么叫做相似三角形？
（二）引入 如图1，△ABC与△A’B'C’相似.
图1
记作“△ABC∽△A’B’C’”， 读作“△ABC相似于△A'B'C'”.
［注意］：两个三角形相似，用字母表示时,与全等一样,应把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样便于找出相似三角形的对应边和对应边角。
对于△ABC ∽△A’B’C’，根据相似形的定义，应有
∠A＝∠A'， ∠B＝∠B’ ， ∠C＝∠C’，
＝＝。
[问题]：将△ABC与△A’B’C’相似比记为k1,△A’B'C'与△ABC相似比记为k2,那么k1 与k2有什么关系？ k1＝ k2能成立吗?
三、探索交流
（一）［探究］1、在△ABC中，D为AB的中点，如图2,过D点作DB∥BC交AC于点E，那么△ADE与△ABC相似吗？
（1）“角” ∠BAC＝∠DAE。
∵DB∥BC, ∴∠ADE＝∠B， ∠AED＝∠C。
（2）“边" 要证明对应边的比相等，有哪些方法？
Ⅰ、直接运用三角形中位线定理及其逆定理
∵DB∥BC，D为AB的中点,
∴E为AC的中点，即DE是△ABC的中位线。 图2
(三角形中位线定理的逆定理）
∴DE＝BC.（三角形中位线定理）
∴＝＝＝。
∴△ADE∽△ABC。
Ⅱ、利用全等三角形和平行四边形知识
过点D作DF∥AC交BC于点F，如图3.
则△ADE≌△ABC，(ASA）
且四边形DFCE为平行四边形。
（两组对边分别平行的四边形是平行四边形)　　　　　　　　　　 图3
∴DE＝BF＝FC。
∴＝＝＝。
∴△ADE∽△ABC。
2、当D1、D2为AB的三等分点，如图4。过点D1、D2分别作 BC的平行线，交AC于点E1、E2，那么△AD1E1、△AD2E2与△ABC相似吗？
由（1）知△AD1E1∽△AD2E2，下面只要证明△AD1E1与△ABC相似，关键是证对应边的比相等.
过点D1、D2分别作AC的平行线,交BC于点F1、F2，设D1F1与D2F2相交于G点。
则△AD1E1≌△D1D2G≌D2BF2，（ASA）
且四边形D1F1CE1、D2F2CE2、D1GE2E1、D2F2F1G为平行四边形。
（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
图4
∴D1E1＝BF2＝F2F1＝F1C， ∴AE1＝E1E2＝E2C，
∴ ＝＝＝.
∴△AD1E1∽△ABC。 ∴△AD1E1∽△AD2E2∽△ABC。
[思考］：上述证明过程较复杂，有较简单的证明方法吗？
过点D2分别作AC的平行线，交BC于点F2,如图5。
则四边形D2F2CE2为平行四边形，
且△AD1E1≌D2BF2，（ASA） ∴D2E2＝F2C，D1E1＝BF2。
由(1）知，D1E1＝D2E2，AE1＝AE2，　　　　　　　　　　　　　　　 图５
∴D1E1＝BC，AE1＝AC。 ∴＝＝＝。 　　
∴△AD1E1∽△ABC. ∴△AD1E1∽△AD2E2∽△ABC.
（二）［猜想］3、通过上面两个特例，可以猜测：当D为AB上任一点时,如图6，过D点作DE∥BC交AC于点E,都有△ADE与△ABC.
图6
（三）［归纳]定理 平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似。
这个定理可以证明，这里从略。
四、应用迁移
练习1、如图7，点D在△ABC 的边AB上,DB∥BC交AC于点E.
写出所有可能成立的比例式.
练习2、在第1题中,如果＝，AC＝8cm.求AE长。
图7
图8
五、布置作业
（1）课本24.2
（2）思考题：
如图8、过△ABC的边AB上任意一点D，作DE∥BC交AC于点E, 那么 ＝。
板书设计
相似三角形
记号 　 读法
注意
24。2 相似三角形的判定
探究1、在△ABC中，D为AB的中点
课本第53～54页
练习1
定理 平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似。
探究2、当D1、D2为AB的三等分点
猜想
练习3
小结
作业
［教学反思]
略
附： ［定理］ 平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似
简析：该定理的证明分为两步：先证“思考题”，再证该定理（以直线DE∥BC交AB、AC于点D、E为例)。
［证明]Ⅰ、如图8、过△ABC的边AB上任意一点D,作DE∥BC交AC于点E，那么
＝。
图8 图9
证明：如图9，连接BE，过点E作边AB的垂线段h。
∵S△ADE＝AD·h，S△BDE＝DB·h.∴＝＝。
同理可证　 ＝。
∵DE∥BC， ∴S△BDE＝S△CED。
∴＝，＝。∴＝。
Ⅱ、如图10，直线DE∥BC交AB、AC于点D、E，则△ADE∽△ABC.
（1)“角” 　　　　∠BAC＝∠DAE.
∵DB∥BC, ∴∠ADE＝∠B, ∠AED＝∠C.
(2）“边” ∵DB∥BC,＝。
过D点作DF∥AC交BC于点F。
∴＝。
又∵四边形DFCE是平行四边形，∴　FC＝DE ，
图10
∴ ＝.∴　＝＝。
∴　△ADE∽△ABC。
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