第1章--单自由度系统的自由振动题解教学文案.doc

习 题
1-1一单层房屋结构可简化为题1-1图所示的模型，房顶质量为m，视为一刚性杆；柱子高h，视为无质量的弹性杆，其抗弯刚度为EJ。求该房屋作水平方向振动时的固有频率。
解：由于两根杆都是弹性的，可以看作是两根相同的弹簧的并联。
题1-1图
等效弹簧系数为k
则
其中为两根杆的静形变量，由材料力学易知
=
则 =
设静平衡位置水平向右为正方向，则有

所以固有频率

1-2 一均质等直杆，长为 l，重量为W，用两根长h的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题1-2图所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。

q
Fsina
a
F
h
mg
q
F
题1-2图

解：给杆一个微转角q
q＝ha
2Fcosa＝mg
由动量矩定理：

其中

1-3求题1-3图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是k1和k3，悬臂梁的质量忽略不计。
题1-3图

解：悬臂梁可看成刚度分别为k1和k3的弹簧，因此，k1与k2串联，设总刚度为k1ˊ。k1ˊ与k3并联，设总刚度为k2ˊ。k2ˊ与k4串联，设总刚度为k。即为
，，

1-4求题1-4图所示的阶梯轴一圆盘系统扭转振动的固有频率。其中J1、J2和J3是三个轴段截面的极惯性矩，I是圆盘的转动惯量，各个轴段的转动惯量不计，材料剪切弹性模量为G。
解：
题1-4图
（1）
（2）
（3）
（4）

1-5如题1-5图所示，质量为m2的均质圆盘在水平面上可作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转动惯量为I，忽略绳子的弹性、质量及个轴承间的摩擦力，求此系统的固有频率。
题1-5图

解：此系统是一个保守系统，能量守恒.如图题中的广义坐标，设系统的振动方程为：

则系统运动过程中速度表达式为：
系统最大位移和速度分别为：
系统在运动过程中，动能表达式为：

弹性势能为：

系统最大动能为：
最大弹性势能为：
由于系统机械能守恒，因此：

由上式可解得系统的固有频率为：

1-6如题1-6图所示，刚性曲臂绕支点的转动惯量为，求系统的固有频率。
题1-6图
解：设曲臂顺时针方向转动的角为广义坐标，系统作简谐运动，其运动方程为。很小，系统的动能为

所以，
取系统平衡位置为势能零点。设各弹簧在静平衡位置伸长为，由
， （A）
由题意可知，系统势能为
（B）
将（A）式代入（B）式，可得系统最大势能为，

由，
得
所以，有

1-7一个有阻尼的弹簧--质量系统，质量为10 kg，弹簧静伸长是1cm，自由振动20个循环后，振幅从0.64 cm减至0.16cm，求阻尼系数c。
解：振动衰减曲线得包络方程为：
振动20个循环后，振幅比为：

代入,得：
又
＝
c = 6.9 N s /m
，

1-8一长度为l、质量为m的均质刚性杆铰接于O点并以弹簧和粘性阻尼器支承，如题2-8图所示。写出运动微分方程，并求临界阻尼系数和固有频率的表达式。
O
mg
j
XO
YO
FK
FC
题1-8图

解：图（1）为系统的静平衡位置，画受力图如（2）。由动量矩定理，列系统的运动微分方程为：

当n＝pn时，c＝cC

题1-9图
1-9如题1-9图所示的系统中，刚杆质量不计，试写出运动微分方程，并求临界阻尼系数及固有频率。
解：

题1-10图
1-10如题1-10图所示，质量为2000 kg的重物以3 cm/s的速度匀速运动，与弹簧及阻尼器相撞后一起作自由振动。已知k =48020 N/m，c =1960 Ns/m，问重物在碰撞后多少时间达到最大振幅?最大振幅是多少?
解：以系统平衡位置为坐标原点，建立系统运动微分方程为

所以有 ++x =0
其特征方程为：+r+=0 r =-0.494.875i
所以：x =cos4.875t+sin4.875t
由于n < pn，由已知条件，
，，， m/s。故通解为

其中，。
代入初始条件，得
，得
=0.006sin4.875t
=0.006(-0.49) sin4.875t+0.0064.875cos4.875
物体达到最大振幅时，有

既得t = 0.30 s时，物体最大振幅为
cm

1-11由实验测得一个系统的阻尼固有频率为，在简谐激振力作用下出现最大位移值的激振频率为，求系统的无阻尼固有频率、相对阻尼系数及对数衰减率。
解：， ， ；
三个方程联立，解得：