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悬臂梁固有频率的计算

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悬臂梁固有频率的计算
试求在处固定、处自由的等截面悬臂梁振动的固有频率（求解前五阶）。
解：法一：欧拉-伯努利梁理论
悬臂梁的运动微分方程为：；
悬臂梁的边界条件为：
该偏微分方程的自由振动解为，将此解带入悬臂梁的运动微分方程可得到，；其中
将边界条件（1）、（2）带入上式可得，；进一步整理可得；再将边界条件（3）、（4）带入可得；要求有非零解，则它们的系数行列式必为零，即
所以得到频率方程为：；该方程的根表示振动系统的固有频率：满足上式中的各（）的值在书P443表8.4中给出，现罗列如下：；若相对于的值表示为，根据式中的，可以表示为；因此由此可得到悬臂梁的前五阶固有频率，分别将n=1,2,3,4,5带入可得：
；

法二、铁摩辛柯梁梁理论
1.悬臂梁的自由振动微分方程：
；
边界条件：；
设方程的通解为：；易知边界条件（1）满足此通解，将通解带入上面的微分方程可得到频率方程为：；其中；若转动惯量与剪切变形的影响均忽略，上式的频率方程简化为；当n=1,2,3,4,5时可分别求得固有频率为：

多自由度系统频率的计算方法
等效质量：连续系统悬臂梁简化为5个相等的集中质量。
1.邓克莱法
邓克莱公式为：
，其中，；将其代入上式可求得系统的基频为：，此基频比用伯努利-欧拉梁求得的一阶固有频率偏小，误差为17.42%，与邓克莱法的推导预期相符。
2. 瑞利法
系统的质量矩阵、刚度矩阵和柔度矩阵分别为

取静变形曲线为假设阵型，设有
所以，此基频比用伯努利-欧拉梁求得的一阶固有频率偏大，误差为15.23%，与瑞利法的推导预期相符。

3. 里茨法
系统的质量矩阵和刚度矩阵由上面给出，设阵型为
则可求出分别为

将代入得；可以求得：
，；以及；
所以系统前两阶主阵型的近似为

4. 雅克比法
动力矩阵为，由雅可比法求解其特征值和特征向量为：其固有频率
，阵型为

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