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习题答案第二章

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第二章 开放式光腔与高斯光束
习题
1．试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。
证：设光线在球面镜腔内的往返情况如下图所示：

其往返矩阵为：

由于是共焦腔，有

往返矩阵变为

若光线在腔内往返两次，有

可以看出，光线在腔内往返两次的变换矩阵为单位阵，所以光线两次往返即自行闭合。
于是光线在腔内往返任意多次均不会溢出腔外，所以共焦腔为稳定腔。
2．试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。
解：共轴球面腔的稳定性条件为0<gg<1,其中g=1- ,g=1-
（a对平凹腔：R=,则g=1,
0<1-<1，即0<L<R
(b)对双凹腔：0<gg<1, 0<<1
，或且
(c)对凹凸腔：R=,R=-,
0<<1，且
3．激光器的谐振腔由一面曲率半径为1m的凸面镜和曲率半径为2m的凹面镜组成，工作物质长0.5m，其折射率为1.52，求腔长L在什么范围内是稳定腔。
解：设两腔镜和的曲率半径分别为和，
工作物质长，折射率
根据稳定条件判据：

其中

由(1)解出
由(2)得
所以得到：

4．图2.1所示三镜环形腔，已知，试画出其等效透镜序列图，并求球面镜的曲率半径R在什么范围内该腔是稳定腔。图示环形腔为非共轴球面镜腔。在这种情况下，对于在由光轴组成的平面内传输的子午光线，式(2.2.7)中的，对于在与此垂直的平面内传输的弧矢光线，，为光轴与球面镜法线的夹角。

图2.1
解：

稳定条件
左边有

所以有
对子午线：
对弧矢线：
有：
或
所以

同时还要满足子午线与弧失线

5．有一方形孔径的共焦腔氦氖激光器，L=30cm，，，镜的反射率为，其他的损耗以每程0.003估计。此激光器能否作单模运转？如果想在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来选择模，小孔的边长应为多大？试根据图2.5.5作一个大略的估计。氦氖增益由公式计算。

解：设模为第一高阶模，并且假定和模的小信号增益系数相同，用表示。要实现单模运转，必须同时满足下面两个关系式

根据已知条件求出腔的菲涅耳数

由图2.5.5可查得和模的单程衍射损耗为

氦氖增益由公式

计算。代入已知条件有。将、、、和的值代入I、II式，两式的左端均近似等于1.05，由此可见式II的条件不能满足，因此该激光器不能作单模运转。
为了获得基模振荡，在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来增加衍射损耗。若满足II式的条件，则要求

根据图2.5.5可以查出对应于的腔菲涅耳数

由菲涅耳数的定义可以算出相应的小孔阑的边长

因此，只要选择小孔阑的边长略小于0.83mm即可实现模单模振荡。
6．试求出方形镜共焦腔面上模的节线位置，这些节线是等距分布的吗？
解：在厄米高斯近似下，共焦腔面上的模的场分布可以写成

令，则I式可以写成

式中为厄米多项式，其值为

由于厄米多项式的零点就是场的节点位置，于是令，得

考虑到，于是可以得到镜面上的节点位置

所以，模在腔面上有三条节线，其x坐标位置分别在0和处，节线之间位置是等间距分布的，其间距为；而沿y方向没有节线分布。
8．今有一球面腔，，，。试证明该腔为稳定腔；求出它的等价共焦腔的参数；在图上画出等价共焦腔的具体位置。
解：该球面腔的g参数为

由此，，满足谐振腔的稳定性条件，因此，该腔为稳定腔。
两反射镜距离等效共焦腔中心O点的距离和等价共焦腔的焦距分别为

根据计算得到的数据，在下图中画出了等价共焦腔的具体位置。

14．某高斯光束腰斑大小为=1.14mm，。求与束腰相距30cm、10m、1000m远处的光斑半径及波前曲率半径R。
解：入射高斯光束的共焦参数

根据

z
30cm
10m
1000m

1.45mm
2.97cm
2.96m

0.79m
10.0m
1000m
求得：

15．若已知某高斯光束之=0.3mm，。求束腰处的参数值，与束腰相距30cm处的参数值，以及在与束腰相距无限远处的值。
解：入射高斯光束的共焦参数

根据，可得
束腰处的q参数为：
与束腰相距30cm处的q参数为：
与束腰相距无穷远处的q参数为：
16．某高斯光束=1.2mm，。今用F=2cm的锗透镜来聚焦，当束腰与透镜的距离为10m、1m、10cm、0时，求焦斑的大小和位置，并分析所得的结果。
解：入射高斯光束的共焦参数

又已知，根据

得

10m
1m
10cm
0

2.00cm
2.08cm
2.01cm
2.00cm

2.40
22.5
55.3
56.2
从上面的结果可以看出，由于f远大于F，所以此时透镜一定具有一定的聚焦作用，并且不论入射光束的束腰在何处，出射光束的束腰都在透镜的焦平面上。
17．激光器输出光，=3mm，用一F=2cm的凸透镜距角，求欲得到及时透镜应放在什么位置。
解：入射高斯光束的共焦参数

已知，根据

得

时，，即将透镜放在距束腰1.39m处；
时，，即将透镜放在距束腰23.87m处。
18．如图2.2光学系统，入射光，求及。

图2.2
解：先求经过一个透镜的作用之后的束腰半径及位置
由于，所以
=2cm

所以对第二个透镜，有

已知，根据

得
，
19．某高斯光束=1.2mm，。今用一望远镜将其准直。主镜用镀金反射镜R=1m，口径为20cm；副镜为一锗透镜，=2.5cm，口径为1.5cm；高斯束腰与透镜相距=1m，如图2.3所示。求该望远系统对高斯光束的准直倍率。

图2.3
解：入射高斯光束的共焦参数为

由于远远的小于，所以高斯光束经过锗透镜后将聚焦于前焦面上，得到光斑的束腰半径为

这样可以得到在主镜上面的光斑半径为

即光斑尺寸并没有超过主镜的尺寸，不需要考虑主镜孔径的衍射效应。
这个时候该望远系统对高斯光束的准直倍率为

20．激光器的谐振腔有两个相同的凹面镜组成，它出射波长为的基模高斯光束，今给定功率计，卷尺以及半径为a的小孔光阑，试叙述测量该高斯光束共焦参数f的实验原理及步骤。
解：
一、实验原理
通过放在离光腰的距离为z的小孔(半径为a)的基模光功率为

(I)
式中，为总的光功率，为通过小孔的光功率。记，则有
(II)

注意到对基模高斯光束有

在(II)式的两端同时乘以，则有

令
(III)
则

解此关于f的二次方程，得

因为、、、都可以通过实验测得，所以由(III)及(IV)式就可以求得基模高斯光束的共焦参数f。
二、实验步骤

1．如上图所示，在高斯光束的轴线上某一点B处放入于光轴垂直的光阑(其孔半径为a)，用卷尺测量出B到光腰O(此题中即为谐振腔的中心)的距离z；
2．用激光功率计测出通过小孔光阑的光功率；
3．移走光阑，量出高斯光束的总功率；
4．将所得到的数据代入(III)及(IV)式即可求出f(根据实际情况决定(IV)式根号前正负号的取舍)。

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