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第五章 光的干涉 习题答案

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第五章 光的干涉

5－1 波长为589.3nm的钠光照射在一双缝上，在距双缝200cm的观察屏上测量20个条纹共宽3cm，试计算双缝之间的距离。
解：由题意，条纹间距为：
∴双缝间距为：

5－2 在杨氏干涉实验中，两小孔的距离为1.5mm，观察屏离小孔的垂直距离为1m，若所用光源发出波长＝650nm和＝532nm的两种光波，试求两光波分别形成的条纹间距以及两组条纹的第8级亮纹之间的距离。
解：对于＝650nm的光波，条纹间距为：

对于＝532nm的光波，条纹间距为：

∴两组条纹的第8级条纹之间的距离为：

5－3 一个长40mm的充以空气的气室置于杨氏装置中的一个小孔前，在观察屏上观察到稳定的干涉条纹系，继后抽去气室中的空气，注入某种气体，发现条纹系移动了30个条纹。已知照射光波波长为656.28nm，空气折射率为1.000276，试求注入气体的折射率ng。
解：气室充入空气和充气体前后，光程的变化为：
而这一光程变化对应于30个波长：
∴

5－4 在菲涅耳双面镜干涉实验中，光波长为600nm，光源和观察屏到双面镜交线的距离分别为0.6m和1.8m，双面镜夹角为10－3rad，求：（1）观察屏上的条纹间距；（2）屏上最多能看到多少亮条纹？
解：如图所示，S1S2的距离为：
∴条纹间距为：
∵角很小
∴
屏上能产生条纹的范围，如图阴影所示

∴最多能看到的亮条纹数为：

5－5 在如图所示的洛埃镜实验中，光源S1到观察屏的距离为2m，光源到洛埃镜面的垂直距离为2.5mm。洛埃镜长40cm，置于光源和屏的中央。若光波波长为500nm，条纹间距为多少？在屏上可看见几条条纹？
解：在洛埃镜实验中，S1和S1在平面镜中的像S2可看作是产生干涉的两个光源。条纹间距为：

由图可知，屏上发生干涉的区域在P1P2范围内

由于经平面镜反射的光波有π的相位差，所以S1和S2可看作位相相反的相干光源。若P0点在干涉区内，它应该有一条暗条纹通过，并且P1 P0内包含的暗条纹数目：

P2 P0内包含的暗条纹数目为：
∴P1 P2区域内可看见10个暗条纹，9个亮条纹

5－6 用＝0.5nm的绿光照射肥皂泡膜，若沿着与肥皂泡膜平面成30°角的方向观察，看到膜最亮。假设此时干涉级次最低，并已知肥皂水的折射率为1.33，求此时膜的厚度。当垂直观察时，应改用多大波长的光照射才能看到膜最亮？
解：在观察膜最亮时，应满足干涉加强的条件：
＝0，1，2，3，……
按题意，＝1，
∴肥皂膜厚度：
若垂直观察时看到膜最亮，设＝1，应有：
∴

5－7 在如图所示的干涉装置中，若照明光波的波长＝640nm，平板厚度h＝2mm，折射率n＝1.6，其下表面涂上某种高折射率介质（），问（1）反射光方向观察到的干涉圆环的中心是亮斑还是暗斑？（2）由中心向外计算，第10个亮斑的半径是多少？（3）第10个亮环处的条纹间距是多少？设望远镜物镜的焦距为25cm。
解：（1）平板的折射率介于上下介质的折射率之间，故环中心（）对应的光程差为：

干涉级次为：
∴环中心是一亮斑。
（2）当中心是亮斑时，由中心向外计算，第10个亮环的角半径是：

∴半径为：
（3）第十个亮环处条纹的角间距为：

∴间距为：

5－8 如图，单色光源S照射平行平板G，经反射后通过透镜L在其焦平面E上产生等倾干涉条纹，光源不直接照射透镜，光波长＝600nm，板厚d＝2mm，折射率n＝1.5，为了在给定系统下看到干涉环，照射在板上的谱线最大允许宽度是多少？
解：设干涉环中心的干涉级次为，则：
∴
将m改写成：，则是最靠近中心的亮条纹的干涉级次，
为了能看到干涉环，最大允许谱线宽度应满足：

∴最大允许的谱线宽度为：
5－9 如图，G1是待检物体，G2是一标定长度的标准物，T是放在两物体上的透明玻璃板。假设在波长＝550nm的单色光垂直照射下，玻璃板和物体之间的锲形空气层产生间距为1.8mm的条纹，两物体之间的距离为80mm，问两物体的长度之差为多少？
解：当垂直入射时，条纹间隔为：
∵在该题中是空气层的楔角，且角很小
∴ ∴
∴两物体的长度之差为：

5－10 如图所示的尖劈形薄膜，右端厚度d为0.0417mm，折射率n＝1.5，波长为0.589μm的光以30°角入射到表面上，求在这个面上产生的条纹数。若以两块玻璃片形成的空气劈尖代替，产生多少条纹？
解：经劈尖上下两表面反射的光发生干涉，其光程差近似为：
其中是在上表面的折射角，h表示平均厚度。
由折射定理： 计算得：
在上表面产生的条纹数，即在劈尖最右端的暗纹或亮纹级数。此时h＝d＝0.0417mm
产生暗纹条件： ＝0，1，2，3，……
∴
劈尖棱线处是暗条纹，因此表面上有201条暗条纹，200条亮条纹
当用两块玻璃片形成的空气劈尖代替时，
在劈尖最右端的暗纹级数为：
因此表面上有123条暗条纹，122条亮条纹

玻璃衬底
5－11 集成光学中的楔形薄膜耦合器如图所示。楔形端从A到B厚度逐渐减小到零。为测定薄膜的厚度，用波长＝632.8nm的He－Ne激光垂直照明，观察到楔形端共出现11条暗纹，且A处对应一条暗纹。已知薄膜对632.8nm激光的折射率为2.21，求薄膜的厚度。
解：薄膜的折射率大于玻璃，因此入射光在楔形薄膜上表面反射有相位突变。产生暗条纹满足条件： ＝0，1，2，3，……
在薄膜B处，h＝0，，所以B处对应一暗纹。
∴第11条暗纹在薄膜A处
∴
∴A处薄膜的厚度为：

5－12 如图，在一块平面玻璃板上，放置一曲率半径R很大的平凸镜，以观察牛顿环条纹。（1）证明条纹间隔e满足：，式中N是由中心向外计算的条纹数；
（2）若分别测得相距k个条纹的两个环的半径为和，证明：
证明：（1）透镜凸表面和玻璃板平面间的空气层中心O的厚度为零，可知牛顿环中心为一暗斑。设由中心向外计算，第N个暗环的半径为，则由图中几何关系可知：

∵ ∴
又∵N个条纹对应的空气层厚度差为：
∴ 对上式微分，得：
当时， ∴条纹间距为：
（2）由上面推得得结果：
∴
∴

5－13 在观察牛顿环时，用＝580nm的第五个亮环与用的第七个亮环重合，求波长为多少？
解：设由中心向外计算，第N个亮环的半径为，则：
亮环满足的光程差条件为： ∴
∴
由题意，用＝580nm的第五个亮环与用的第七个亮环重合
∴
∴

5－14 曲率半径为R1的凸透镜和曲率半径为R2的凹透镜相接触如图所示。在钠黄光＝589.3nm垂直照射下，观察到两透镜之间的空气层形成10个暗环。已知凸透镜的直径D＝30mm，曲率半径R1＝500mm，试求凹透镜的曲率半径。
解：
∴
∴

5－15 假设照射迈克尔逊干涉仪的光源发出两种波长的单色光（设）。因此当平面镜M1移动时，条纹将周期性的消失和再现。设表示条纹相继两次消失M1移动的距离，，试证明：
证明：当两波长形成的亮条纹重合时，可见度最好，而当的亮条纹与的暗条纹重合时，条纹消失，则当条纹消失时光程差满足：
式中表示光束在半反射面上反射时的附加光程差，未镀膜时为
则由上式得：
当h增加时，条纹再次消失，这时干涉级之差增加1，即：

两式相减，得：

5－16 在光学玻璃基片（）上镀制硫化锌膜层（n＝2.35），入射光波长，求正入射时最大反射率和最小反射率的膜厚和相应的反射率数值。
解：∵ 反射率有最大值的膜厚是：
相应的反射率为：
反射率有最小值的膜厚是：
相应的反射率为：

5－17 在玻璃片上（）上镀单层增透膜，膜层材料是氟化镁（n＝1.38），控制膜厚使其在正入射下对于波长＝0.5μm的光给出最小反射率，试求这个单层膜在下列条件下的反射率： （1）波长，入射角
（2）波长，入射角
解：（1）由题意，在正入射下对于波长＝0.5μm的光给出最小反射率，因此膜层的光学厚度为：
当时，相位差为：
∴

（2），由折射定律：
光束在基片内的折射角：
∴对于s分量的有效折射率为：

对于p分量的有效折射率为：

在斜入射下，相位差为：
∴

∴
因为入射光是自然光，故反射率为：

5－18 在照相物镜上镀一层光学厚度为（＝0.5μm）的低折射率膜，试求在可见光区内反射率最大的波长为多少？
解：镀低折射率膜，因此要使反射率最大，则： ＝0，1，2，3，……
由题意， ∴
取m＝2，3得可见光区内反射率最大的波长为，

5－19 比较下面三个膜系的反射率：
（1）7层膜，，，
（2）7层膜，，，
（3）9层膜，，，
说明膜系折射率和层数对膜系反射率的影响
解：
（1）
（2）
（3）
可见，膜系高折射率和低折射率层的折射率相差越大，且膜系层数越多，膜系的反射率就越高。

5－20 有一干涉滤光片间隔层厚度为1.8×10－4mm，折射率n＝1.5，试求：
（1） 正入射时滤光片在可见光区内的中心波长；
（2） 透射带的波长半宽度，设高反射膜的反射率R＝0.91
（3） 倾斜入射时，入射角分别为15°和40°时的透射光波长。
解：（1）中心波长为： ＝0，1，2，3，……
取m＝1，得在可见光区内的中心波长为：
（2） 波长半宽度：
（3）倾斜入射时，透射光产生极大的条件是：
当时，
当时，

5－21 一块F－P干涉滤光片，其中心波长＝0.6328μm，波长半宽度，求它在反射光损失为10％时的最大透过率。
解：中心波长
波长半宽度：
∴ 求解得：
最大透过率：
5－22 观察迈克尔逊干涉仪，看到一个由同心明、暗环所包围的圆形中心暗斑。该干涉仪的一个臂比另一个臂长2.5cm，且＝500nm，试求中心暗斑的级数，以及第六个暗环的级数。
解：对于虚平板产生的等倾干涉条纹，最小值满足：

中心为暗斑，则：
∴干涉级数为：
∴第6个暗环的干涉级次为：
5－23 利用如图所示的干涉系统可测量大球面反射镜的曲率半径。图中球面反射镜的球心位于OP2的延长线上，由O到P1和到P2的光程相等。假设半反射面A的镀膜恰使光束1、2的附加程差为零。在准直的单色光照射下，系统产生一些同心圆环条纹。若第十个暗环的半径为6mm，单色光波长为580nm，问球面反射镜的曲率半径是多少？
解：作出球面反射镜M2在半反射面A中的虚像，系统产生的条纹亦可视为由虚空气薄层所产生，条纹即是牛顿环。
由题意，O到P1和到P2的光程相等，且附加程差为零，所以圆环中心为一亮点，干涉级数为0。由圆心向外，第10个暗环的干涉级数为（10－），故对应的空气层厚度为：

∴
∴
5－24 F－P干涉仪中镀金属膜的两玻璃板内表面的反射系数为r＝0.8944，试求锐度系数、条纹半宽度、条纹锐度。
解：反射率为：
锐度系数为：
条纹半宽度： rad
条纹锐度：
5－25 F－P干涉仪常用来测量波长相差较小的两条谱线的波长差。设干涉仪两板的间距为0.5mm，它产生的谱线的干涉环系中第二环和第五环的半径分别为3mm和5mm，谱线的干涉环系中第二环和第五环的半径分别为3.2mm和5.1mm，两谱线的平均波长为550nm，试决定两谱线的波长差。
解：设对谱线的干涉环系中心的干涉级数为，则有： （1）
其中表示光束在板面金属膜上反射时的附加光程差：，为在金属膜上反射的相变。若非整数，则写为：
表示靠中心第一个亮环的干涉级数，由中心向外，第N个亮环的干涉级数为，而它的角半径由下式求出：
与（1）式相减，得：
∵一般很小，故有：
∴
∴第五环和第二环的半径平方之比为：
∴
同理，谱线干涉环系中心的干涉级数的小数部分：

由（1）式，
∴

5－26 已知汞绿线的超精细结构为546.0753nm，546.0745nm，546.0734nm，546.0728nm。问用F－P标准具分析这一结构时应如何选取标准具的间距？（设标准具面的反射率R＝0.9）
解：用F－P标准具分析这一结构时，应选取标准具的间距使标准具的自由光谱范围大于超精细结构的最大波长差，并且使标准具的分辨极限小于超精细结构的最小波长差。
由题意：
超精细结构的最大波长差为：
要使标准具的自由光谱范围大于超精细结构的最大波长差，则：

∴
标准具的分辨本领为：
∴标准具的分辨极限：
超精细结构的最小波长差为：
要使，则：
∴
∴标准具的间距应满足：

5－27 激光器的谐振腔可看作是一F－P标准具，若激光器腔长0.6m，两反射镜的反射率R＝0.99，气体折射率为1，输出谱线的中心波长为633nm，试求输出激光的频率间隔和谱线宽度。
解：输出激光的频率间隔为：MHz
谱线633nm的宽度是：

5－28 在杨氏干涉实验中，准单色光的波长宽度为0.06nm，平均波长为540nm，。问在小孔S1处贴上多厚的玻璃片可使干涉中心P0点附近的条纹消失？设玻璃的折射率为1.5。
解：在小孔S1处贴上厚度为h的玻璃片后，P0点对应的光程差为：

若这一光程差大于准单色光的相干长度，则P0点处观察不到条纹。
相干长度为：
∴
∴

5－29 在杨氏干涉实验中，照射两小孔的光源是一个直径为3mm的圆形光源。光源发射光的波长为0.5μm，它到小孔的距离为2m。问小孔能够发生干涉的最大距离是多少？
解：扩展光源对两小孔S1S2中点的张角为：

∴
圆形光源的横向相干宽度为：
∴小孔能够发生干涉的最大距离是

5－30 太阳直径对地球表面的张角约为32′。在暗室中若直接用太阳光作光源进行双缝干涉实验（不用限制光源尺寸的单缝），则双缝间距不能超过多大？（设太阳光的平均波长为，日盘上各点的亮度差可以忽略。）
解：
因为将入射的太阳光看作不用限制光源尺寸的单缝，因此其横向相干宽度为：

∴双缝间距不能超过
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