一次回归正交设计、二次回归正交设计、二次回归旋转设计资料讲解.doc

一次回归正交设计、二次回归正交设计、二次回归旋转设计

精品资料
一次回归正交设计
某产品的产量与时间、温度、压力和溶液浓度有关。实际生产中，时间控制在30~40min，温度控制在50~600C，压力控制在2*105~6*105Pa，溶液浓度控制在20%~40%，考察Z1~Z2的一级交互作用。

因素编码
Zj(xj)
Z1/min
Z2/oC
Z3/*105Pa
Z4/%
下水平Z1j（-1）
30
50
2
20
上水平Z2j（+1）
40
60
6
40
零水平Z0j（0）
35
55
4
30
变化间距
5
5
2
10
编码公式
X1=（Z1-35）/5
X2=(Z2-55）/5
X3=(Z3-4)/2
X4=(Z4-30)/10

选择L8（27)正交表
因素x1,x1,x3,x4依次安排在第1、2、4、7列，交互项安排在第3列。
试验号
X0
X1(Z1)
X2(Z2)
X3(Z3)
X4(Z4)
X1X2
Yi
1
1
1
1
1
1
1
9.7
2
1
1
1
-1
-1
1
4.6
3
1
1
-1
1
-1
-1
10.0
4
1
1
-1
-1
1
-1
11.0
5
1
-1
1
1
-1
-1
9.0
6
1
-1
1
-1
1
-1
10.0
7
1
-1
-1
1
1
1
7.3
8
1
-1
-1
-1
-1
1
2.4
9
1
0
0
0
0
0
7.9
10
1
0
0
0
0
0
8.1
11
1
0
0
0
0
0
7.4
Bj=∑xjy

87.4
6.6
2.6
8.0
12.0
-16.0

aj=∑xj2

11
8
8
8
8
8

bj = Bj /aj
7.945
0.825
0.325
1.000
1.500
-2.00

Qj = Bj2 /aj
393
5.445
0.845
8.000
18.000
32.000

可建立如下的回归方程。
Y=7.945+0.825x1+0.325x2+x3+1.5x4-2x1x2
显著性检验：
1、回归系数检验

回归关系的方差分析表
变异来源
SS平方和
Df自由度
MS均方
F
显著水平
x1
5.445
1
5.445
76.25
0.01
x2
0.845
1
0.845
11.83
0.05
x3
8.000
1
8.000
112.04
0.01
x4
18.000
1
18.000
252.10
0.01
x1x2
32.000
1
32.000
448.18
0.01
回归
64.29
5
12.858
180.08
0.01
剩余
0.357
5
0.0714

失拟
0.097
3
0.0323
0.25
<1
误差e
0.26
2
0.13

总和
64.647
10

经F检验不显著的因素或交互作用直接从回归方程中剔掉，不必再重新进行回归分析。
2、 回归方程的检验
进行此项检验时，通常对F值小于等于1的项不进行检验，直接从回归方程中剔除，对经检验而α>0.25的项，根据实际需要决定是否剔除。
3、 失拟检验

由回归系数的检验，回归方程的检验，失拟检验可以得出，
产量 y 与各因素之间的总回归关系达到显著，回归方程拟合效果较好。

回归方程的变换
将各因素的编码公式代入，得
Y=-162.05+4.57z1+2.87z2+0.50z3+0.15z4-0.08z1z2

二次回归正交设计

某食品加香试验，3个因素，即 Z1(香精用量)、 Z2(着香时间) 、 Z2(着香温度)
(1) 确定γ 值、 mc 及 m0 。
根据本试验目的和要求，确定 mc＝ 2 m ＝ 2 3 ＝ 8 ， m0 ＝1 ，查表得γ＝1.215。
(2) 确定因素的上、下水平，变化间距以及对因子进行编码
编码
Z1/(mL／kg物料)
Z2 / h
Z3 / ℃
+γ
18
24
48
+ 1
16.94
22.6
45.7
0
12
16
35
- 1
7.06
9.4
24.3
-γ
6
8
22
Δi
4.94
6.6
10.7
计算各因素的零水平：
Z01 ＝(18＋6)/2＝12 (mL/kg)
Z02 ＝(24＋8)/2＝16 (h)
Z03 ＝(48＋22)/2＝35 (℃)
计算各因素的变化间距：
Δ01 ＝(18-12)/1.215＝4.94 (mL/kg)
Δ02 ＝(24-16)/1.215＝6.6 (h)
Δ03 ＝(48-35)/1.215＝10.7 (℃)

(3) 列出试验设计及试验方案

试验号
试  验  设  计
实    施    方    案
x0
x1
x2
香精用量／(mL／kg)
着香时间／h
着香温度/ ℃
1
1
1
1
16.94
22.6
45.7
2
1
1
-1
16.94
22.6
24.3
3
1
-1
1
16.94
9.4
45.7
4
1
-1
-1
16.94
9.4
24.3
5
-1
1
1
7.06
22.6
45.7
6
-1
1
-1
7.06
22.6
24.3
7
-1
-1
1
7.06
9.4
45.7
8
-1
-1
-1
7.06
9.4
24.3
9
1.215
0
0
18
16
35
10
-1.215
0
0
6
16
35
11
0
1.215
0
12
24
35
12
0
-1.215
0
12
8
35
13
0
0
1.215
12
16
48
14
0
0
-1.215
12
16
22
15
0
0
0
12
16
35
试验结果的统计分析

建立回归方程

回归关系的显著性测验。
变异来源
平方和(SS)
自由度(df)
均方(MS)
F
显著程度
x1
0.63327
1
0.63327
＜1
ns
x2
4.85856
1
4.85856
6.8624*
0.05(6.61)
x3
7.70400
1
7.70400
10.8814*
0.05(6.61)
x1x2
4.91410
1
4.91410
10.3994*
0.05(6.61)
x1x3
4.75861
1
4.75861
6.9409*
0.05(6.61)
x2x3
3.90601
1
3.90601
5.5170
0.10(4.06)
x12
23.86763
1
23.86763
33.7116**
0.01(16.30)
x22
0.06407
1
0.06407
＜1
ns
x32
4.44220
1
4.44220
6.2743
0.10(4.06)
回归
55.20320
9
6.13369
8.6635*
0.05(4.77)
剩余
3.53998
5
0.70799

总变异
58.74317
14

方差分析表明，总回归达到显著水平，说明本食品的加香试验与所选因素之间存在显著的回归关系，试验设计方案是正确的，选用二次正交回归组合设计也是恰当的。除 x1 和 x22 以外，其余各项因子基本达到显著或极显著，说明香料用量、着香时间、着香温度与这一食品的加香有显著或极显著关系。本试验设计的因素、水平选择是成功的。
在这种回归正交试验中，第一次方差分析往往因为误差（剩余）自由度偏小而影响了检验的精确度。并且由于回归正交试验计划具有的正交性，保证了试验因素的列与列之间没有互作（即没有相关性）存在，因此我们可以将未达到0.25以上显著水平的因素（或者互作）剔除，将其平方和和自由度并入误差（剩余）项，进行第二次方差分析，以提高检验的精确度。
第二次方差分析结果见下表：
变异来源
平方和(SS)
自由度(df)
均方(MS)
F
显著程度
x2
4.85856
1
4.85856
8.0263*
0.05（5.59）
x3
7.70400
1
7.70400
12.7269**
0.01（12.20）
x1x2
4.91410
1
4.91410
8.1180*
0.05
x1x3
4.75861
1
4.75861
7.8612*
0.05（5.59）
x2x3
3.90601
1
3.90601
6.4527*
0.05（5.59）
x12
23.86763
1
23.86763
39.4290**
0.01（12.20）
x32
4.44220
1
4.44220
7.3385*
0.05（5.59）
回归
54.24265
7
7.74895
12.8012**
0.01（6.99）
剩余
4.23732
7
0.60533

总变异
58.47997
14

第二次方差分析表明，总回归及各项因素均达到显著或极显著水平，说明这一食品加香与试验因素之间存在极显著的回归关系，其优化的回归方程为：

本试验由于 m0＝1，故不能进行失拟检验，这是试验的一个缺陷。如果取 m0＝4，对试验进行失拟检验，则本试验将更为圆满。

二次回归旋转设计
对乳酸发酵的产酸条件进行优化试验，采用二次回归旋转设计对盐浓度、糖浓度、发酵温度和发酵时间进行试验。

因素水平表
编码
盐浓度 x1
糖浓度 x2
发酵温度 x3
发酵时间 x4
/%
/%
/℃
/h
+2
8.0
6.0
37.0
48
+1
7.0
5.0
34.0
44
0
6.0
4.0
31.0
40
-1
5.0
3.0
28.0
36
-2
4.0
2.0
25.0

设计方案及结果

处理号
 x1
x2
x3
x4
含酸量 yα / %
1
1
1
1
1
0.654
2
1
1
1
-1
0.433
3
1
1
-1
1
0.538
4
1
1
-1
-1
0.321
5
1
-1
1
1
0.314
6
1
-1
1
-1
0.279
7
1
-1
-1
1
0.295
8
1
-1
-1
-1
0.242
9
-1
1
1
1
0.779
10
-1
1
1
-1
0.594
11
-1
1
-1
1
0.710
12
-1
1
-1
-1
0.529
13
-1
-1
1
1
0.481
14
-1
-1
1
-1
0.307
15
-1
-1
-1
1
0.328

处理号
 x1
x2
x3
x4
含酸量 yα / %
16
-1
-1
-1
-1
0.291
17
2
0
0
0
0.125
18
-2
0
0
0
0.648
19
0
2
0
0
0.785
20
0
-2
0
0
0.213
21
0
0
2
0
0.429
22
0
0
-2
0
0.198
23
0
0
0
2
0.842
24
0
0
0
-2
0.486
25
0
0
0
0
0.797
26
0
0
0
0
0.709
27
0
0
0
0
0.759
28
0
0
0
0
0.694
29
0
0
0
0
0.728
30
0
0
0
0
0.738
31
0
0
0
0
0.746

根据计算
建立回归方程

回归方程的显著性检验

变异原因
平方和SS
自由度df
均方MS
F值
显著程度
x1
0.16484
1
0.16484
49.28
8.53
x2
0.41738
1
0.41738
127.79

x3
0.04585
1
0.04585
13.71

x4
0.13726
1
0.13726
41.04

x1 x2
0.00946
1
0.00946
2.83

x1 x3
0.00002
1
0.00002
＜1

x1 x4
0.00016
1
0.00016
＜1

x2 x3
0.00117
1
0.00117
＜1

x2 x4
0.01594
1
0.01594
4.77
4.49
x3 x4
0.00101
1
0.00101
＜1

x1′
0.16884
1
0.16884
50.48

x2′
0.07959
1
0.07959
23.79

x3′
0.34411
1
0.34411
102.88

x4′
0.01648
1
0.01648
4.93

回归
1.40211

0.10015
29.94
3.56
剩余
0.05352

0.00334

误差
0.00853

0.00142

失拟
0.04499

0.00450
3.17
4.74
总变异
1.45563

通过回归方程检验，回归系数检验，失拟检验，可以看出，回归达到极显著水平。说明本试验设计及分析效果都很好，各因素间显著与不显著也很分明。因此没有必要做二次回归方差分析，可直接将 F＜1 的回归系数去掉而得到含酸量与各因素间的回归方程为：

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