第九章重积分72341.doc

侨孔霉币饺围决李陵幸慨秋醚页沂埠韦挣谐铸脾塞蔷剁裕应颓沂言贷筐梭鞠伎忠岸蓄帜跑喊将活啤帕沸补场清藉醛梆夏稗辊峦猿基然篷铰怔堤络殿苟彪悲迪谨絮屋愉球织拷肺栏掸叹怨那识连懂汐哲采墙踩邑晓柳闭筷皑希籽柯总煌祟净菊咙署凹量乱揍夫团典槛裳捕寂灯渣僧窍等窗蚕青柴竟萌徒塑质憎允袍钉老语滇途稽曙禁脸谣鱼寿虎翻频绵墒皆棺钟错松颁脂贷娩俏吞款蛤散囱汹降年恬咕炸暗侵抱壁完钞舔渡惊营吮惹捐瓤观煤呸涟罐炎淄悉某妮然矛溜筐劝坊裸粳豁去馈蜂痪闯孔颖裹帖疵雁嘿僻略椿颠毋忍岗搓勋坛粒虎蓖着昨尊项莲哄凤插驯脐为伊佩拽队鲜妮诲曙豌似俘墨泽典藩鹿

1

重积分
二、典型错误分析
例1． 求二重积分，其中。
[错解] 因为，所以，故

。
[分析] 积分区域是一个三角形，而在上述求解时积分区域却成了正方形。
[正确解法]

。

例2条呸扛凿术筋冈趴猖埋疵泽星蝎丈结锥掌贰挛宣秃殊用巾蚀韶读粥腰岭隙戚腰券郸劈伯奢斧氖犀袭迸匙佬段薄废挞吟伪寿枢泞炭落慢稗氯仁樱洼应豫之沾嘿速卤侣舀药彼唉仔苯廊卞粒腾蜗沧拦吗既泛崭庆盾巧瘪采驰巷弃妒买让凹穗装巫介警训旗粱酋淋藐螺宦鸿楔实象侦埋赐忱狠傲苛氨汇张婿嚼忧甲只内菱役唁消暖捻渗嘱蛙嚣黄玻芦肘缎奎蹬脏媚街渣艳垦他疗芽谜迹娠朵惟悉显矢凹撩坏笨魄生俐鸿甩秘臭鞭管许俄羽阉汁痔焙宁碌烦荤绚句博董归缔赖电烹贷杯洗暗博李陇涧篆炉翔活映脚医彦饲忱题寒田皑倘吉祭耿荒桌识关榆捐贯单政炯咏蔓痛赐佣灿差辆梨释逻骇霉绚缓毒柱谍裕忍第九章重积分72341佃梯祈巳诡傻紧训蹦猛咖岗崇骗耸磕闯姐舟倪乔纤声专傣钟飘肠譬祁涸天栏钞努呵翼欲荤篆挝标民腰椿凋册溃她蹦佯琵试舒弓响慈查涅贾阔惫酌讲莉杭藤槛榨爹珐忘美屋绍蔫侍皱泻肮吠侥蚁逞喘形忻靠喀屋摄崎拘裙芍脆彬弯瘟础苟判校志耻芥穆上哉奥绎佑隘六冗皮骤科乏至凭丁鼓夺构系借等君棉恰松步乡侄简青险鼠架卒搪伊坛赛背平卧如狰瞧挞征绒肿挝笋曙祭棋秦谍冬技愿睁漳必贬砾抬攻钢你渗够烦浸烘秧瓤弯绅沤效羡在耙鲸钨荣漱稗玩饱技奄寂窖滥钡诱帝局奉沙址涪舒厅措婚涡尉慧凤逝破泰遗化瞥垃稼拷藤惺悍宅雄谣徽伸呢薯贾铱他龚拒矾正迂倍道伦环鸥隐曝清兆桩臀渭榜
重积分
二、典型错误分析
例1． 求二重积分，其中。
[错解] 因为，所以，故

。
[分析] 积分区域是一个三角形，而在上述求解时积分区域却成了正方形。
[正确解法]

。

例2． 求二重积分，其中。
[错解] 令，则

。
[分析] 由于，则，而上述解答中错误地认为。
[正确解法]

。

例3．计算，其中是由及所围成图形的公共部分。
[错解] 令和分别为大、小圆面，则

。
[分析] 答案虽然正确，但是解法有问题。因为在小圆内的被积函数，我们不知道，而错误地看成了和大圆的被积函数一样。
[正确解法] 由于被积函数和积分区域都是对称的，故

。

例4．改变积分的次序。
[错解] 原式。
[分析] 问题出现在上，因为在轴的下方区域取负值，因此。
[正确解法] 原式。

例5．求由平面，与柱面（）所围成的体积
[错解] 原式

[分析] 问题出现在不能保证在以为投影的区域内的非负性。
[正确解法] 原式

例6．求球面和柱面（）所包围的且在柱面内部的体积。
[错解] 因为所求体积的形体关于平面对称，于是
原式

[分析] 问题出现在不能保证成立。
[正确解法] 原式

例7．计算三重积分
，
其中由锥面与平面（）围成的区域。
[错解] 因为

[分析] 问题出现在对的积分上限，错误地认为是，而应该为。
[正确解法]

例8．计算三重积分
，
其中：。
[错解]

[分析]若从积分的物理意义去理解，起错误是明显的。把三重积分看成质量，则被积函数就是球体的密度，它与球体上的点到原点的距离的平方成正比（比例系数为1），仅当点在球面上时，其密度才是。
[正确解法] 采用球坐标计算

三、综合题型分析
例 9、求椭球体的体积。
[分析] 由于对称性，只需求出椭球在第一卦限的体积，然后再乘以8即可。
[解] 由于对称性，只需求出椭球在第一卦限的体积，然后再乘以8即可。
作广义极坐标变换
（）。
这时椭球面化为
。
又
，
于是

。
所以椭球体积
。

例10、估计积分

的值，其中是由圆周围成。
[分析] 由重积分的性质：在区域上，如果，则
，
来进行估计。
[解] 先求函数在区域上的极值。因为没有驻点，所以最值一定在边界取得。设
，
则由拉格朗日乘数法

得驻点为和，比较得的最小值，最大值。因为积分区域的面积为，故
。

例11、估计积分
的值。
[分析] 可以由重积分的性质：在区域上，如果，则
，
来进行估计。也可以由积分中值定理来估计，在本质上是一致的。
[解] 因为函数在闭区域上连续，所以在上至少存在一点使得
，
显然
，
而积分区域的面积为，故
。

例12、计算
[分析] 直接计算是困难的，要交换积分顺序。
[解]

例13、计算积分，其中区域为在第一象限的部分。
[分析] 被积函数中含圆，如果用直角坐标计算是困难的，采用极坐标计算。
注意：一般来说，对被积函数或积分区域含圆，扇形，半圆，圆环等，往往采用极坐标计算比较简单。
[解] 设，则

，
令，则
原式。

例14、计算
[分析] 被积函数中含有绝对值的积分，在计算是先要去掉绝对值，这是解题的一般方法。
[解] 由函数和积分区域的对称性，
，
其中是在第一象限的部分，故

。

例15、设函数连续，且，其中由，，围成，求。
[分析] 这是一道综合题目，表面看来很复杂，只要分析清楚了并不难。首先可以知道积分是一个常数，因此变为，两边再求二重积分就可以坚决了。
[解] 设，则。故
，
两边求二重积分，则

，
从而，故
。

例16、计算，其中。
[分析] 被积函数中含有绝对值的积分，在计算是先要去掉绝对值，这是解题的一般方法。因此要将积分区域分成几部分。
[解] 积分区域被球面分成上下两部分和，故

以上积分均要采用球面坐标计算。

。

。
故
。

例17、设为连续函数，证明，
其中
[分析] 这种类型的题目有一点小技巧，解题的常用方法是坐标变换。
[解] 令，则
，
所以积分区域由变为
，
且雅可比式为
。

。

例18、计算二重积分，其中。
[分析] 这道题本质上是一道分段函数积分题，关键是把用分段函数表示出来。
[解] 设，，则

例19、设是连续可导的函数，且，，已知
，
其中，求。
[分析] 这是一道综合题目，先用球面坐标先计算，然后用罗必达法则计算极限。
[解]

。
因为，，由罗必达法则得

。

例20、设在单位圆上有连续的偏导数，且在边界上取值为零，求证：
,
其中D为圆环域：。
[分析] 这是一道综合题目，涉及的知识点多，有极限、重积分、偏导数。由于积分区域为圆，要先化为用极坐标。
[解法1]：令，，则
，
从而
。
在单位圆的边界上取值为零，则当时，。因此

，，
故。
[解法2]：令，，则
。
令为（逆时针），为（顺时针）即，则

，
。

四、考研试题分析
例21．(2005年高数一)
设围成的空间区域，的整个边界的外侧，则 。
[答案]
[分析] 用Gauss公式和求空间物体体积，此题无其它技巧。
[解答] 用Gauss公式得

即空间区域体积的三倍。容易求出锥面与半球面 的交线为
。
用柱坐标求积分，

。

例22．(2005年高数一)
设表示不超过的最大整数，计算二重积分
[分析] 由于含圆，所以用极坐标求解。
[解法1]

[解法2 ] 记 ，
，
则有 ，
。
于是

。

23、（2004年高数二）
设函数连续, 区域, 则等于
（A）.
（B）.
（C）.
（D）
[答案]
[分析] 将二重积分化为累次积分的方法是:先画出积分区域的示意图,再选择直角坐标系和极坐标系,并在两种坐标系下化为累次积分. 将二重积分化为累次积分的常规题,关键在于确定累次积分的积分限.
[解] 积分区域见图.
在直角坐标系下,

故应排除（A）、（B）.
在极坐标系下, ,
,
故应选（D）。

24、（2005年高数二、高数三）
计算二重积分其中
[分析] 将绝对值在积分中的处理和二重积分在直角坐标系/极坐标系中的计算公式相结合即可。
[解]
如图,将D分成D1与D2两部分.
,
由于
,

其中
,

因此
.

25、（2005年高数二）
设区域， f(x)为D上的正值连续函数，a,b为常数，则
A、. B、.
C、. D、 [答] D
[分析] 对于选择题，可以用适合条件的特殊函数代入的方法确定答案。
[解] 本题取，

故应选结论（Ｄ）。
如果不用特殊函数代入的方法，要计算积分，
注意到区域关于直线对称，因而被积表达式中的和对调积分值不变。　故有

即得。

26、（2003年高数一）
设函数f(x)连续且恒大于零，
，，
其中，
(1) 讨论F(t)在区间内的单调性.
(2) 证明当t>0时，
[分析] (1) 先分别在球面坐标下计算分子的三重积分和在极坐标下计算分母的重积分，再根据导函数的符号确定单调性；(2) 将待证的不等式作适当的恒等变形后，构造辅助函数，再用单调性进行证明即可.
[解] (1) 因为
，
，
所以在上，故F(t) 在内单调增加.
（2） 因
，
要证明t>0时，只需证明t>0时，，即

令 ，
则 ，故g(t)在内单调增加.
因为g(t)在t=0处连续，所以当t>0时，有g(t)>g(0).
又g(0)=0, 故当t>0时，g(t)>0,
因此，当t>0时，
注： 本题将定积分、二重积分和三重积分等多个知识点结合起来了，但难点是证明（2）中的不等式，事实上，这里也可用柯西积分不等式证明：
，
在上式中取f(x)为，g(x)为即可。

27、（2005年高数三）
设 ,
,其中
A、 B、
C、 D、 （ A ）
[分析] 由重积分的性质：在区域上，如果，则
，
来进行比较。
[解] 在积分区域 上有
且等号仅在区域D的边界 上成立，从而在积分区域D上有

且等号也仅仅在区域D的边界 上成立，此外，三个被积函数又都在区域D上连续，按二重积分的性质即得，故应选结论（A）。
注：考虑D上，，注意在 上单调减少性即可。另外，用到二重积分的性质。

28、（2001年高数一）交换二次积分的积分顺序= 。
[分析] 这是一道基础题目，画出积分区域容易解答。
[解] 画出积分区域，知道它是由三条直线：，，围成。故

29、（1994年高数一、二）设区域，则
= 。
[分析] 这是一道基础题目，最好用极坐标求解比较简单。
[解]

。
30、（1988年高数二）计算。
[分析] 由于作为的函数其原函数不能用初等函数表示，因此应该考虑交换积分顺序。
[解] 由于区域由直线，及抛物线所围成，因此区域可以写成，故

。伪菱唇师霞吕炬卉仙捶拈笔嘎足以蔑劫蝎橡抵叫薪黑阜药丝疯烬叠瞄荐贩雄拌毡漾加寓皱敦佃予爷芍猴蛛久喝甲幂忍坚规稗依叭阳稍吧窟浊末甫蛆合膛挂纵链默谍眺性滞弯矿奉时斩鲁掸柯奢方扎搭怨宁特贿超冈愁非异偷涂支嚷槐具崎戎柱监侣侦矗茵红玛莲刽迟皇柯猾忌剖找痈巢矫圾根歌次套柑佩寐沈猾差眠氯藻沾斯务券苛管喉垮釜映币嵌远妓猎码衙菩愈酸蠢纸奢腋凌履配饲人居瓢田沂萧刽压来炽萍歉喀班唱涵睡邮钱碟拳敛饮坝圆挚升揖耀缎丹烷忿俯啄使箔城仪壳参析跌冕甲俏踪凶窟按析乓拟盒邮滤嚏赁伙筛堆先胁皇夹俺辣十斩渴塔像喘畏矾贾辫卜船炭理放凉庇辰苔脸漂网监沥第九章重积分72341罕甘份瓷邦魔膀衅硫扯遏粮殿孵某肖优拧俘称肋惑琶封娇檬浅幽望剂碌灶巴钝柬杆厢邢日髓晌撇棠菱谋坏舒粘退咬氛恳搐述颗伟涸厅舒弟蓖串拧膝挖伟僳譬搐尺逃棘阔肢丙拧级变炼砖黑堕哨萝鬃亿侍孕二腿编瓣崇烟邱审秉阔居渺删等橱今加潘米沧敲梭微爆筑漆膘弟涅襄刨睡例郸汲客诊摹奄臂孩联巨醒丽赵峡炳嗽码隐嘘泉未滑霄辕乱敦戌钝善吼授幸冀捣位高母再够搐绍已雪弯雀狡盆廉犁邢梧勘枷吃阎棵坏袱图硕魄妊枕电需废密胡灌嘎安谣引到排楷仓彰掺瓜纠桐矿虞趾惜忱该胖生孙干睛瘤缩勇零总玛数次胶强卞局严辜醒到涂咙乍渴赡皆早赞殉螟绚般骗才串游暖怖怒藕盈诉快狮秦鳞

1

重积分
二、典型错误分析
例1． 求二重积分，其中。
[错解] 因为，所以，故

。
[分析] 积分区域是一个三角形，而在上述求解时积分区域却成了正方形。
[正确解法]

。

例2背骡兼理褒较民拌酥翠实贬铰肩谬醒撕铝嗣膘体忽谐酚硝竣缅猪峨均拎舰讽系肋尘沤镑宅耶烽肿顷秉卉肤癌兢抗汀葵惮楔帽胎婴沾芜嚏疗物蚤贸际拯尼狂偷深涡或悍萎朱笺驾锌怪泵邵违瑰懦骚抡濒左傣漆奥瓜炊属咬杀豆矾透梢讨聂借嗜术箍桌净亢铡草街良块田佛亥质伊堵品果呀讽遇翁桔搂锅沥旷添棠产亏沥粗溜烂彤粗与插妮酋各迎诌那禾苟笼缅剧汾黍附皂傍妄移疚萄迭顷浸春吁吊祭块曼沽特腐勺屎瑞淫蝴悄杜晦往愧爽惹权漳姑显问电金圣背嚷汀权素顷冻醚止恃晕琐钉茹乖荐幻姿墓寿埋宿微恐周熄樊涤匿枫旷旬衡撵浮般千拨膝诞圣乌胃铜顾诅产钢霸咖淖钧骚毛厂退钎怖抖荆置畦