现代数学与中学数学.doc

现代数学与中学数学论其联系性数学学院 数学与应用数学（巴大国际合作） 2014级指导老师 童莉摘 要 论文在已有文献的基础上,通过对其定义的剖析及文献的整理分析,对其演变历程进行评述,进而为今后的数学课程改革和建设得出以下可供借鉴的启示:1、中学数学课程内容现代化要与科技发展相一致。2、中学数学课程在引入现代数学内容的过程中要注意使用合理有效的方法。3、中学数学课程在引入现代数学内容时,要在不断借鉴有益经验和实验的过程中完善。4、中学数学课程中的现代数学内容在容量上要与学生认知发展相一致。5、在中学数学课程内容现代化的过程中要不断提高教师的数学专业水平。6、中学数学课程内容现代化必须在不断渐变的过程中更新数学课程内容。7、中学数学课程内容现代化的过程必须遵从教育和教学规律。关键词 现代数学；中学数学； 课程内容现代化； 演变历程； 启示；1. 现代数学概述现代数学时期是指由19世纪20年代至今，这一时期数学主要研究的是最一般的数量关系和空间形式，数和量仅仅是它的极特殊的情形，通常的一维、二维、三维空间的几何形象也仅仅是特殊情形。抽象代数、拓扑学、泛函分析是整个现代数学科学的主体部分。它们是大学数学专业的课程，非数学专业也要具备其中某些知识。变量数学时期新兴起的许多学科，蓬勃地向前发展，内容和方法不断地充实、扩大和深入。18、19世纪之交，数学已经达到丰沛茂密的境地，似乎数学的宝藏已经挖掘殆尽，再没有多大的发展余地了。然而，这只是暴风雨前夕的宁静。19世纪20年代，数学革命的狂飙终于来临了，数学开始了一连串本质的变化，从此数学又迈入了一个新的时期现代数学时期。19世纪前半叶，数学上出现两项革命性的发现非欧几何与不可交换代数。大约在1826年，人们发现了与通常的欧几里得几何不同的、但也是正确的几何非欧几何。这是由罗巴契夫斯基和里耶首先提出的。非欧几何的出现，改变了人们认为欧氏几何唯一地存在是天经地义的观点。它的革命思想不仅为新几何学开辟了道路，而且是20世纪相对论产生的前奏和准备。后来证明，非欧几何所导致的思想解放对现代数学和现代科学有着极为重要的意义，因为人类终于开始突破感官的局限而深入到自然的更深刻的本质。从这个意义上说，为确立和发展非欧几何贡献了一生的罗巴契夫斯基不愧为现代科学的先驱者。1854年，黎曼推广了空间的概念，开创了几何学一片更广阔的领域黎曼几何学。非欧几何学的发现还促进了公理方法的深入探讨，研究可以作为基础的概念和原则，分析公理的完全性、相容性和独立性等问题。1899年，希尔伯特对此作了重大贡献。在1843年，哈密顿发现了一种乘法交换律不成立的代数四元数代数。不可交换代数的出现，改变了人们认为存在与一般的算术代数不同的代数是不可思议的观点。它的革命思想打开了近代代数的大门。另一方面，由于一元方程根式求解条件的探究，引进了群的概念。19世纪2030年代，阿贝尔和伽罗华开创了近代代数学的研究。近代代数是相对古典代数来说的，古典代数的内容是以讨论方程的解法为中心的。群论之后，多种代数系统(环、域、格、布尔代数、线性空间等)被建立。这时，代数学的研究对象扩大为向量、矩阵，等等，并渐渐转向代数系统结构本身的研究。19世纪还发生了第三个有深远意义的数学事件：分析的算术化。1874年威尔斯特拉斯提出了一个引人注目的例子，要求人们对分析基础作更深刻的理解。他提出了被称为“分析的算术化”的著名设想，实数系本身最先应该严格化，然后分析的所有概念应该由此数系导出。他和后继者们使这个设想基本上得以实现，使今天的全部分析可以从表明实数系特征的一个公设集中逻辑地推导出来。19世纪后期，由于狄德金、康托和皮亚诺的工作，这些数学基础已经建立在更简单、更基础的自然数系之上。即他们证明了实数系(由此导出多种数学)能从确立自然数系的公设集中导出。20世纪初期，证明了自然数可用集合论概念来定义，因而各种数学能以集合论为基础来讲述。拓扑学开始是几何学的一个分支，但是直到20世纪的第二个1/4世纪，它才得到了推广。拓扑学可以粗略地定义为对于连续性的数学研究。科学家们认识到：任何事物的集合，不管是点的集合、数的集合、代数实体的集合、函数的集合或非数学对象的集合，都能在某种意义上构成拓扑空间。拓扑学的概念和理论，已经成功地应用于电磁学和物理学的研究。2. 中学数学概述根据中国的教育，基本顺序分有：幼儿园，小学，中学，大学等。而数学则是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。透过抽象化和逻辑推理的使用，由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生。数学家们拓展这些概念，为了公式化新的猜想以及从合适选定的公理及定义中建立起严谨推导出的真理。（1）高度的抽象性。数学的内容是非常现实的，但它仅从数量关系和空间形式或者一般结构方面来反映客观现实，舍弃了与此无关的其它一切性质，表现出高度抽象的特点。数学学科本身是借助抽象建立起来并不断发展的，数学语言的符号化和形式化的程度，是任何学科都无法比拟的，它给人们学习和交流数学以及探索、发现新数学问题提供了很大方便。虽然抽象性并非数学所特有，但就其形式来讲，数学的抽象性表现为多层次、符号化、形式化，这正是数学抽象性区别于其它科学抽象性的特征。因次，培养学生的抽象能力就自然成为中学数学课程目标之一。（2）严谨的逻辑性。数学的对象是形式化的思想材料，它的结论是否正确，一般不能象物理等学科那样、借助于可以重复的实验来检验，而主要地要靠严格的逻辑推理来证明；而且一旦由推理证明了结论，那么这个结论也就是正确的。数学中的公理化方法实质上就是逻辑方法在数学中的直接应用。在数学公理系统中，所有命题与命题之间都是由严谨的逻辑性联系起来的。从不加定义而直接采用的原始概念出发，通过逻辑定义的手段逐步地建立起其它的派生概念；由不加证明而直接采用作为前提的公理出发，借助于逻辑演绎手段而逐步得出进一步的结论，即定理；然后再将所有概念和定理组成一个具有内在逻辑联系的整体，即构成了公理系统。一个数学问题的解决，一方面要符合数学规律，另一方面要合乎逻辑，问题的解决过程必须步步为营，言必有据，进行严谨的逻辑推理和论证。因此，培养学生的分析、综合、概括、推理、论证等逻辑思维能力也是中学数学课程目标之一。（3）应用的广泛性。人们的日常生活、工作、生产劳动和科学研究中，自然科学的各个学科中都要用到数学知识，这是人所共知的。随着现代科学技术的突飞猛进和发展，数学更是成为必不可少的重要工具。每门科学的研究中，定性研究最终要化归为定量研究来揭示它的本质，数学恰好解决了每门科学在纯粹的量的方面的问题，每门科学的定量研究都离不开数学。在中学教育中，数学是重要的基础课程之一。数学学好了，对物理、化学乃至其它课程的学习就提供了有利的条件，这对于进一步的学习和参加社会生产劳动都是很有利的。因此在确定中学数学课程目标时，必须充分考虑数学应用的广泛性。（4）内涵的辩证性。数学中包含着丰富的辩证唯物主义思想，揭示了唯物辩证法的许多基本规律。数学本身的产生和发展就说明了其动力归根结底是由于客观物质的产生需要这样的唯物主义观点。数学的内容中充满了相互联系、运动变化、对立统一、量变到质变的辩证法的基本规律。例如，正数和负数、常量与变量、必然与随机、近似与精确、收敛与发散、有限与无限等等，它们都互为存在的前提，失去一方，另一方将不复存在，而且在一定条件下可以相互转化。数学方法也体现了辩证性。例如，数学中的极限方法就是为了研究和解决数学中“直与曲”、“ 有限与无限”、“ 均匀与非均匀”等矛盾问题而产生的，这就决定了极限方法的辩证性。数学发展过程也充满了辩证性。三次数学危机的产生和解决过程，就给了我们以深刻的启示。在中学数学教学中，充分揭示蕴涵在数学中的诸多辩证法内容，是对学生进行辩证唯物主义教育，使学生形成正确数学观的好形式。当前我国正在掀起一场数学教育改革的高潮，其核心是课程改革。为了适应新世纪的数学教育现代化的改革，教育部制定了全日制义务教育国家数学课程标准（实验稿）。新课程标准对中学数学的课程目标作了全新的概括，充分体现了数学教育发展的新要求。3. 联系性结合以上对于中学数学和现代数学的概述，对于两者联系有以下几点启示3.1中学数学课程内容现代化要与科技发展相一致科技的发展不断向数学提出更高的要求,数学化的手段在各种高科学技术的发展中发挥着愈来愈重要的作用,以至于人们普遍认为,高科技本质上是一种数学技术.从某种意义上说,近代中国还在学习推崇备至的数学“经”书,这与西方学习的现代数学相差甚远,落后了,自然就要挨打.我们知道,微积分是研究客观世界运动变化的有力工具,它的应用最为广泛,是进一步学习数学以及研究现代生产和科学技术必须具备的基础知识.那么,在中学学习了微积分的初步知识,对于毕业后直接参加工作的学生来说,在从事现代化工农业生产都很有用;对于继续升入大学学习的学生来说,可在大学学习以微积分为基础的其它课程,可以省出时间学习更为有用的近现代数学知识.概率统计是研究客观世界大量偶然现象中的的规律性的科学,应用非常广泛.例如,在天文、地理、医药、卫生、政治、经济、军事等方面都要用到概率统计,所以在中学增加概率统计知识也是必要的.从适应现代化生产和科学技术发展的需要出发,从我国的国情出发,在中学数学教材中增加现代数学内容是非常必要的.如果说“读了12年的数学,却对有奖销售中所谓中奖概率不曾接触,”这值得我们反思.3.2 中学数学课程内容现代化在引入的过程中要注意使用合理有效的方法我们注意到,现代数学知识在中学数学课程里出现的时候,都要加上相应的限定词,比如“统计初步”、“微积分初步”、“简单统计图表”、“简易逻辑”、“逻辑代数简介”中的“初步”、“简单”、“简易”、“简介”,等等.其目的是在讲授或学习这些内容时,仅仅掌握基本思想和内容,对理论不做或略作探究,不能把整个内容和盘托出,或是把高等数学内容作简单的移植而下放到中学数学里,所以这些内容的引入应以直观描述为主,以掌握方法应用为重点,不追求理论上的抽象性和严谨性.比如,1996年供试验用的全日制普通高级中学数学教学大纲中就有“导数的定义”,而在2000年修订后的全日制普通高级中学数学教学大纲中则没有“导数的定义”,我们知道“”是微积分大门的高门槛,对于中学生而言,只要改造极限理论的表述方法,使它变得简单易学,又丝毫无损它的严格性;或者干脆不讲严格的极限理论,只要求学生会求导数,算积分即可,扫除学生学习上的一些障碍,让大多数学生能接受基本的现代数学内容.3.3 中学数学课程内容现代化要在不断借鉴有益经验和实验的过程中完善中学数学课程内容现代化不是简单地把现代数学知识下放到中学,因为要考虑学生的接受能力、授课时数、师资水平、地区差异等多方面因素的限制,所以增加现代数学内容,必然要精简传统的数学内容,那么增加什么,增加多少,精简什么,精简多少,教材怎样安排,这些历来是一个颇有争议的问题.因此,在数学教学大纲或标准的研制、相应教材的编写、试验、推广、不断修订完善的过程中,要不断地借鉴有益经验和吸纳最新实践研究成果,使上述问题逐渐地得到解决.比如1963年的全日制中学数学教学大纲(草案)中增加了概率和行列式,在根据本大纲编写相应课本的过程中,查阅了中外古今资料,吸取了我国几十年特别是建国后编写课本的经验教训,也吸收了一些外国的有用经验,多次到工厂、农村公社、学校、科研等单位了解他们的需要,又反复同一线教师商量,研究实际的教学可能.所以这套课本比以前的课本有较大改进和发展.3.4 中学数学课程内容现代化要必须遵从教育和教学规律从历史发展进程来看,解放前学欧美,解放后学苏联,其结果有些方面降低了水平,强化了论证严谨性.1958年开始,提出走自己路推行跃进式的改革,其结果以失败告终.随后又提出“抓双基”,培养三大能力历时不到三年.“文革”期间又强行推进冒进式的改革,结果更糟,不得不“拨乱反正”,回到基础,这些历史的教训,就足以表明教育教学改革如果不遵从教育规律,仅靠“长官意志”必然要失败.从近20年的改革进程来看,尽管比以前好的多,各方面都有了很大的改进和发展,但问题还不少.比如20年前就提出要推行素质教育,反对应试教育,情况有如何呢?应试教育在某些地区、有些方面愈演愈烈,而学生的素质在某些方面不但没有提高反而有所下降(比如德育、体育等);又如现在在素质教育的基础上,提出创新教育,情况又怎么样?正像有些大学领导所言,现在招的大学生考试成绩比过去高了,但创新能力降低了.其原因像有些老科学家而言,他们过去上小学有一种流行的说法:“来来来,来上学,去去去,去游戏”;而现今相对应的说法:“来来来,来考试,去去去,去补习”.学生背着繁重的功课负担,哪里有时间去发挥自己的特长、爱好和兴趣,没有爱好和奇异感,就不能充分显示想象力,没有丰富的想象力,就很难发展创造力.不仅小学如此,中学也一样,由于高考的压力,导致功课压力重,随之就影响个性、爱好、想象力的发展,最终导致了创造力的下降.再如,尽管课程内容发生了很大的变化,伴随着教学方法也相应有很多方法,如探究法、合作交流等各种方法,但由于考试的压力,有的除了教材中的内容还要增加许多内容,为了赶任务,只好“穿新鞋走老路”.从以上可以看出,当今课程内容改革虽然已有了很大进展,但还是任重道远