北师大版必修五-简单线性规划-教案.doc
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1、教学设计42简单线性规划教学分析线性规划是优化的具体模型之一,二元一次不等式有着丰富的实际背景,是刻画平面区域的重要工具学生能够体会线性规划的基本思想,并能借助几何直观解决一些简单的线性规划问题,本节的主要目的是让学生体会数学知识形成过程中所蕴涵的数学思想和方法,以及它们在后续学习中的作用求线性目标函数的最值问题是本节的重点,也是本节的难点实际教学中要注意以下几个问题:充分利用数形结合来理解线性规划的几个概念和思想方法可行域就是二元一次不等式组所表示的平面区域,可行域可以是封闭的多边形,也可以是一侧开放的无限大的平面区域如果可行域是一个多边形,那么一般在其顶点处使目标函数取得最大值或最小值,最
2、优解一般就是多边形的某个顶点到底哪个顶点为最优解,可有两种确定方法:一是将目标函数的直线平行移动,最先通过或最后通过的顶点便是;另一种方法可利用围成可行域的直线的斜率来判断三维目标1使学生了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念;了解线性规划问题的图解法2通过本节内容的学习,培养学生观察、联想以及作图的能力,渗透集合、化归、数形结合的数学思想,提高学生“建模”和解决实际问题的能力重点难点教学重点:求线性目标函数的最值问题,培养学生“用数学”的意识教学难点:求线性目标函数的最值问题课时安排2课时第1课时导入新课思路1.(问题导入)由身边的线性规划问题导入课题,同
3、时阐明其重要意义如6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元而4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元如果想买2枝玫瑰或3枝康乃馨,那么价格是怎样的呢?可由学生列出不等关系,并画出平面区域由此导入了新课思路2.(复习导入)前面已经学习了二元一次不等式组的解集的几何形式,先让学生在坐标系中画出的解集表示的区域学生画出后,教师点拨:怎样找到符合不等式的x、y值,使得z2xy取得最大、最小值呢?z2xy在坐标平面上表示的几何意义又是什么呢?由此展开新课推进新课回忆二元一次不等式AxByC0在平面直角坐标系中的平面区域的确定方法.探究交流导入新课思路2中的问题.活动:教师引导学生回顾二元一次不等式表示平
4、面区域常用的方法是:直线定界、原点定域即先画出对应直线,再将原点坐标代入直线方程中,看其值比零大还是比零小不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集,是它们平面区域的公共部分接下来教师引领学生探究交流导入新课思路2中的问题,设x,y满足以下条件求z2xy的最小值和最大值来源:Z.xx.k.由前面知道,满足每个不等式的解集都可以表示一个平面区域,满足不等式组的解集则表示这些平面区域的公共区域(如图1)图1这时,问题转化为:当点(x,y)在公共的平面区域内时,求z2xy的最小值和最大值为此,我们先来讨论当点(x,y)在整个坐标平面上变化时,z2xy值的变化规律当z3,1,0,2,4时
5、,可得到直线:l2:2xy3;来源:Zxxk.l1:2xy1;l0:2xy0;l1:2xy2;l2:2xy4.显然,这是一组平行线由图2可看出,当直线l0向上平移时,所对应的z随之增大;当直线l0向下平移时,所对应的z随之减小图2如图3,在把l0向上平移过程中,直线与平面区域首先相交的顶点A所对应的z最小;最后相交的顶点B所对应的z最大图3从而得到zmin21;zmax21.讨论结果:略上述探究的问题中,z的几何意义是什么?结合图形说明.结合以上探究,理解什么是目标函数?线性目标函数?什么是线性规划?弄清什么是可行解?可行域?最优解?活动:教师引导学生结合前面的探究与学生一起理解z的几何意义就
6、是直线z2xy在y轴上的截距,让学生明确这点对灵活解题非常有帮助进一步探究上述问题,不等式组是一组对变量x、y的约束条件,由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式,所以又可称其为线性约束条件z2xy是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式,我们把它称为目标函数由于z2xy又是关于x、y的一次解析式,所以又可叫作线性目标函数线性约束条件除了用一次不等式表示外,也可用一次方程表示一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题例如:我们刚才研究的就是求线性目标函数z2xy在线性约束条件下的最大值和最小值的问题,即为线性规划问题满足线性约束条件的解(x,y)
7、叫作可行解,由所有可行解组成的集合叫作可行域其中,使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫作这个问题的最优解讨论结果:略例1 已知x,y满足不等式求z3xy的最小值活动:可先找出可行域,平行移动直线l0:3xy0找出可行解,进而求出目标函数的最小值解:不等式x2y2表示直线x2y2上及其右上方的点的集合;不等式2xy1表示直线2xy1上及其右上方的点的集合可行域如图4阴影部分所示图4作直线l0:3xy0,作一组与直线l0平行的直线l:3xyt(tR)x、y是上面不等式组表示的区域内的点的坐标,由图4可知,当直线l:3xyz通过点P(0,1)时,z取到最小值1,即zmin1.点评:简单线性规划问题
8、就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解,无论此类题目是以什么实际问题提出,其求解的格式与步骤是不变的(1)寻找线性约束条件,线性目标函数;(2)由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域;(3)在可行域内求目标函数的最优解.变式训练设变量x、y满足约束条件则z2x3y的最大值是_解析:画出可行域如图5,使2x3y取得最大值的点为P.图5由得zmax233418.答案:18例2 求z3x5y的最大值和最小值,使式中的x、y满足约束条件解:不等式组所表示的平面区域如图6所示图6从图示可知直线3x5yt在经过不等式组所表示的公共区域内的点时,以经过点(2,1)的直线所对应的t最小,以经过点的直线所
9、对应的t最大所以zmin3(2)5(1)11,zmax3517.变式训练已知x,y满足且z2x4y的最小值为6,则常数k等于()图7A2B9C3D0解析:如图7所示,当直线z2x4y经过两直线x3和xyk0的交点时,z有最小值6,所以6234y.y3,代入xyk0,得k0.答案:D例3 已知x、y满足不等式组试求z300x900y取最大值时整点的坐标及相应的z的最大值活动:先画出平面区域,然后在平面区域内寻找使z300x900y取最大值时的整点图8解:如图8所示,平面区域AOBC,点A(0,125),点B(150,0),由方程组得C.令t300x900y,即yx,欲求z300x900y的最大值
10、,即转化为求截距的最大值,从而可求t的最大值因直线yx与直线yx平行,故作yx的平行线当过点A(0,125)时,对应的直线的截距最大,所以此时整点A使z取最大值,zmax3000900125112 500.点评:解决此类问题的关键是准确画出可行域.变式训练求z600x300y的最大值,使式中的x、y满足约束条件的整数值解:可行域如图9所示的四边形AOBC,易求点A(0,126),B(100,0),图9由方程组得点C的坐标为.因题设条件要求整点(x,y)使z600x300y取最大值,将点(69,91),(70,90)代入z600x300y,可知当时,z取最大值为zmax600703009069
11、000.例4 设x,y满足约束条件 (1)求目标函数z2x3y的最小值与最大值;(2)求目标函数z4x3y24的最小值与最大值解:(1)作出可行域(如图10阴影部分)图10令z0,作直线l:2x3y0.当把直线l向下平移时,所对应的z2x3y的函数值随之减小,所以,直线经过可行域的顶点B时,z2x3y取得最小值从图中可以看出,顶点B是直线x3与直线y4的交点,其坐标为(3,4);当把l向上平移时,所对应的z2x3y的函数值随之增大,所以直线经过可行域的顶点D时,z2x3y取得最大值解方程组可以求得顶点D的坐标为(3,8)此时,顶点B(3,4)与顶点D(3,8)为最优解所以zmin2(3)3(4
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