北师大版必修五-简单线性规划-教案.doc

教学设计
4．2　简单线性规划

教学分析　　　　　
线性规划是优化的具体模型之一，二元一次不等式有着丰富的实际背景，是刻画平面区域的重要工具．学生能够体会线性规划的基本思想，并能借助几何直观解决一些简单的线性规划问题，本节的主要目的是让学生体会数学知识形成过程中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用．求线性目标函数的最值问题是本节的重点，也是本节的难点．实际教学中要注意以下几个问题：①充分利用数形结合来理解线性规划的几个概念和思想方法．②可行域就是二元一次不等式组所表示的平面区域，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．③如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处使目标函数取得最大值或最小值，最优解一般就是多边形的某个顶点．到底哪个顶点为最优解，可有两种确定方法：一是将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是；另一种方法可利用围成可行域的直线的斜率来判断．
三维目标　　　　　
1．使学生了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法．
2．通过本节内容的学习，培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力．
重点难点　　　　　
教学重点：求线性目标函数的最值问题，培养学生“用数学”的意识．
教学难点：求线性目标函数的最值问题．
课时安排　　　　　
2课时

第1课时
导入新课　　　　　
思路1.(问题导入)由身边的线性规划问题导入课题，同时阐明其重要意义．如6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元．而4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元．如果想买2枝玫瑰或3枝康乃馨，那么价格是怎样的呢？可由学生列出不等关系，并画出平面区域．由此导入了新课．
思路2.(复习导入)前面已经学习了二元一次不等式组的解集的几何形式，先让学生在坐标系中画出的解集表示的区域．
学生画出后，教师点拨：怎样找到符合不等式的x、y值，使得z＝2x＋y取得最大、最小值呢？z＝2x＋y在坐标平面上表示的几何意义又是什么呢？由此展开新课．
推进新课　　　　　

①回忆二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中的平面区域的确定方法.
②探究交流导入新课思路2中的问题.
活动：教师引导学生回顾二元一次不等式表示平面区域常用的方法是：直线定界、原点定域．即先画出对应直线，再将原点坐标代入直线方程中，看其值比零大还是比零小．不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，是它们平面区域的公共部分．
接下来教师引领学生探究交流导入新课思路2中的问题，设x，y满足以下条件

求z＝2x＋y的最小值和最大值．[来源:Z.xx.k.]
由前面知道，满足每个不等式的解集都可以表示一个平面区域，满足不等式组的解集则表示这些平面区域的公共区域(如图1)．

图1
这时，问题转化为：当点(x，y)在公共的平面区域内时，求z＝2x＋y的最小值和最大值．
为此，我们先来讨论当点(x，y)在整个坐标平面上变化时，z＝2x＋y值的变化规律．
当z＝－3，－1,0,2,4时，可得到直线：
l2′：2x＋y＝－3；[来源:Zxxk.]
l1′：2x＋y＝－1；
l0：2x＋y＝0；
l1：2x＋y＝2；
l2：2x＋y＝4.
显然，这是一组平行线．
由图2可看出，当直线l0向上平移时，所对应的z随之增大；当直线l0向下平移时，所对应的z随之减小．

图2
如图3，在把l0向上平移过程中，直线与平面区域首先相交的顶点A所对应的z最小；最后相交的顶点B所对应的z最大．

图3
从而得到zmin＝2×＋1＝；
zmax＝2×＋1＝.
讨论结果：①②略．

①上述探究的问题中，z的几何意义是什么？结合图形说明.
②结合以上探究，理解什么是目标函数？线性目标函数？什么是线性规划？弄清什么是可行解？可行域？最优解？
活动：教师引导学生结合前面的探究与学生一起理解z的几何意义就是直线z＝2x＋y在y轴上的截距，让学生明确这点对灵活解题非常有帮助．
进一步探究上述问题，不等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件．z＝2x＋y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，我们把它称为目标函数．由于z＝2x＋y又是关于x、y的一次解析式，所以又可叫作线性目标函数．线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示．
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．例如：我们刚才研究的就是求线性目标函数z＝2x＋y在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题．满足线性约束条件的解(x，y)叫作可行解，由所有可行解组成的集合叫作可行域．其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫作这个问题的最优解．
讨论结果：①②略．

例1 已知x，y满足不等式求z＝3x＋y的最小值．
活动：可先找出可行域，平行移动直线l0：3x＋y＝0找出可行解，进而求出目标函数的最小值．
解：不等式x＋2y≥2表示直线x＋2y＝2上及其右上方的点的集合；
不等式2x＋y≥1表示直线2x＋y＝1上及其右上方的点的集合．
可行域如图4阴影部分所示．

图4
作直线l0：3x＋y＝0，作一组与直线l0平行的直线l：3x＋y＝t(t∈R)．
∵x、y是上面不等式组表示的区域内的点的坐标，
由图4可知，当直线l：3x＋y＝z通过点P(0,1)时，z取到最小值1，即zmin＝1.
点评：简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的．
(1)寻找线性约束条件，线性目标函数；
(2)由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；
(3)在可行域内求目标函数的最优解.
变式训练
设变量x、y满足约束条件则z＝2x＋3y的最大值是________．
解析：画出可行域如图5，使2x＋3y取得最大值的点为P.

图5

由得
∴zmax＝2×3＋3×4＝18.
答案：18
例2 求z＝3x＋5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件
解：不等式组所表示的平面区域如图6所示．

图6
从图示可知直线3x＋5y＝t在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点(－2，－1)的直线所对应的t最小，以经过点的直线所对应的t最大．
所以zmin＝3×(－2)＋5×(－1)＝－11，zmax＝3×＋5×＝17.
变式训练
已知x，y满足且z＝2x＋4y的最小值为－6，则常数k等于(　　)．

图7
A．2 B．9 C．3 D．0
解析：如图7所示，当直线z＝2x＋4y经过两直线x＝3和x＋y＋k＝0的交点时，z有最小值－6，所以－6＝2×3＋4y.y＝－3，代入x＋y＋k＝0，得k＝0.
答案：D
例3 已知x、y满足不等式组试求z＝300x＋900y取最大值时整点的坐标及相应的z的最大值．
活动：先画出平面区域，然后在平面区域内寻找使z＝300x＋900y取最大值时的整点．

图8
解：如图8所示，平面区域AOBC，点A(0,125)，点B(150,0)，
由方程组
得C.
令t＝300x＋900y，
即y＝－x＋，
欲求z＝300x＋900y的最大值，即转化为求截距的最大值，从而可求t的最大值．
因直线y＝－x＋与直线y＝－x平行，
故作y＝－x的平行线．
当过点A(0,125)时，对应的直线的截距最大，
所以此时整点A使z取最大值，zmax＝300×0＋900×125＝112 500.
点评：解决此类问题的关键是准确画出可行域.
变式训练
求z＝600x＋300y的最大值，使式中的x、y满足约束条件的整数值．
解：可行域如图9所示的四边形AOBC，易求点A(0,126)，B(100,0)，

图9
由方程组
得点C的坐标为.
因题设条件要求整点(x，y)使z＝600x＋300y取最大值，将点(69,91)，(70,90)代入z＝600x＋300y，可知当时，z取最大值为zmax＝600×70＋300×90＝69 000.
例4 设x，y满足约束条件
(1)求目标函数z＝2x＋3y的最小值与最大值；
(2)求目标函数z＝－4x＋3y－24的最小值与最大值．
解：(1)作出可行域(如图10阴影部分)．

图10
令z＝0，作直线l：2x＋3y＝0.
当把直线l向下平移时，所对应的z＝2x＋3y的函数值随之减小，所以，直线经过可行域的顶点B时，z＝2x＋3y取得最小值．
从图中可以看出，顶点B是直线x＝－3与直线y＝－4的交点，其坐标为(－3，－4)；
当把l向上平移时，所对应的z＝2x＋3y的函数值随之增大，所以直线经过可行域的顶点D时，z＝2x＋3y取得最大值．
解方程组
可以求得顶点D的坐标为(3,8)．
此时，顶点B(－3，－4)与顶点D(3,8)为最优解．所以
zmin＝2×(－3)＋3×(－4)＝－18，
zmax＝2×3＋3×8＝30.
(2)可行域同(1)(如图11阴影部分)．

图11
作直线l0：－4x＋3y＝0，把直线l0向下平移时，所对应的z′＝－4x＋3y的函数值随之减小，即z＝－4x＋3y－24的函数值随之减小，从图11可以看出，直线经过可行域顶点C时，z′＝－4x＋3y取得最小值，即z＝－4x＋3y－24取得最小值．
顶点C是直线4x＋3y＝36与直线y＝－4的交点，解方程组
得到顶点C的坐标(12，－4)，代入目标函数z＝－4x＋3y－24，得
zmin＝－4×12＋3×(－4)－24＝－84.
由于直线l0平行于直线－4x＋3y＝12，因此当把直线l0向上平移到l1时，l1与可行域的交点不止一个，而是线段AD上的所有点．
此时，zmax＝12－24＝－12.
点评：(1)有条件的可用图形计算器或数学软件作出可行域，并动态显示目标函数的变化情况，进而直观地判断最优解．
(2)二元线性规划问题中，最优解可能有无数多个．
(3)设目标函数z＝Ax＋By＋C，在约束条件下，当B＞0时，求目标函数z＝Ax＋By＋C的最小值或最大值的求解程序为：
①作出可行域；
②作出直线l0∶Ax＋By＝0；
③确定l0的平移方向，依可行域判断取得最优解的点；
④解相关方程组，求出最优解，从而得出目标函数的最小值或最大值．

课本本节练习1　1～4.

1．由学生归纳整合本节学习的相关内容，重点探究了目标函数中y的系数大于0的情况．
2．教师简要强调，线性规划问题求解的格式与步骤．主要是寻找线性约束条件，目标函数，画出可行域，在可行域内求目标函数的最优解．

课本习题3—4　A组5.

1．本教案设计强调多媒体教学．新大纲明确指出：要积极创造条件，采用现代化的教学手段进行教学．根据本节知识本身的抽象性以及作图的复杂性，为突出重点、突破难点，增加教学容量，激发学生的学习兴趣，增强教学的条理性、形象性，本节课采用计算机辅助教学，以直观、生动地揭示可行域以及平移直线的动态变化情况．
2．优化教学过程．根据本节课的内容特点，本节课的设计采用启发引导、讲练结合的教学方法，着重于培养学生分析、解决问题的能力，以及良好的学习品质的形成．
3．本教案注重学生的探究过程，让学生体验探究问题的成就感，一切以学生自己的自主探究活动为主，教师不要越俎代庖．
第2课时
导入新课　　　　　
思路1.(直接导入)上节课，我们讨论了目标函数中y的系数大于0的情况，现在我们探究y的系数小于0的情况．
思路2.(复习导入)让学生回忆以前我们探究的二元一次不等式(组)表示平面区域的方法、步骤以及上节课所学线性规划的几个概念．教师提出，这一节我们将应用这些知识来进一步探究目标函数的最大值、最小值问题．进而引入新课．
推进新课　　　　　

[来源:学.科.网]
①回忆上节课用图解法解决线性规划问题的步骤是什么？
②怎样利用约束条件求出目标函数的最优解？怎样求目标函数的最优解的整数解？
活动：教师与学生一起回忆上节课用图解法解决线性规划问题的步骤，之后教师可出示多媒体课件与学生共同探究求目标函数易错的地方．在解题中，平行移动直线时易出现失误，避免这个错误的办法是：首先图形要画准确，把已知区域边界直线的斜率从小到大依次排序．再与目标函数的斜率相比较，这个斜率在已知区域边界直线的哪两个斜率之间，这个最优解就在哪两条直线的交点处取得．这是由斜率与倾斜角的递增关系所决定的．若要求的最优解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解(近似解)，则应作适当的调整，其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据，在直线的附近与此直线距离最近的整点，不要在近似解附近寻找．
讨论结果：①②略．

例1 在约束条件下，求目标函数z＝3x－y的最小值和最大值．
活动：本例目标函数中y的系数为－1，从直线截距的角度看z的几何意义是直线3x－y－z＝0截距的相反数．因此当直线l0：3x－y＝0向上平移时，所对应的z随之减小；当直线l0：3x－y＝0向下平移时，所对应的z随之增大．
解：当z＝－4，－2,0,1,3时，可得到一组平行线
l2：3x－y＝－4；
l1：3x－y＝－2；
l0：3x－y＝0；
l1′：3x－y＝1；
l2′：3x－y＝3.

　　　　　　　　　图12　　　　　　　　　　　　　　　图13
由图12可知，当直线l0向上平移时，所对应的z随之减小；当直线l0向下平移时，所对应的z随之增大．
作出可行域(如图13)．
可知，z＝3x－y随直线l0：3x－y＝0向上平移而减小，随l0向下平移而增大，所以，在顶点B取得最小值，在点A取得最大值．
顶点B是直线x＋2y＝4与直线x＋2＝0的交点，解方程组
可求出顶点B的坐标(－2,3)，代入目标函数，即可得最小值zmin＝3×(－2)－3＝－9.
顶点A是直线x＋2y＝4与直线x－y＝1的交点，解方程组
得到顶点A的坐标为(2,1)，代入目标函数，即可得最大值zmax＝3×2－1＝5.
点评：充分利用数形结合，理解z的几何意义，弄清直线l0平移方向与目标函数的函数值的变化趋势的关系.
变式训练
已知x，y满足约束条件求目标函数z＝2x－y的最大值和最小值．
解：根据x，y满足的约束条件作出可行域，即如图14所示的阴影部分(包括边界).

图14
作直线l0：2x－y＝0，再作一组平行于l0的直线l：2x－y＝t，t∈R.
可知，当l在l0的右下方时，直线l上的点(x，y)满足2x－y＞0，即t＞0，而且直线l往右平移时，t随之增大．当直线l平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点B，此时所对应的t最大；当l在l0的左上方时，直线l上的点(x，y)满足2x－y＜0，即t＜0，而且直线l往左平移时，t随之减小．当直线l平移至l2的位置时，直线经过可行域上的点C，此时所对应的t最小．
由解得点B的坐标为(5,3)；
由解得点C的坐标为(1，)．
所以zmax＝2×5－3＝7；zmin＝2×1－＝－.[来源:学科网ZXXK]
例2 求z＝4a－2b在约束条件下的最小值与最大值．
活动：本例与上例的类型是一样的，教师可让学生独立探究完成，对个别困难学生给予适当点拨．
解：作出可行域(如图15)．

图15
仿上例，可知z在顶点A取得最小值，在顶点C取得最大值．
由得A；由得C(3,1)．
所以zmin＝4×－2×＝－1，zmax＝4×3－2×1＝10.
点评：准确画出可行域是成功解决本例的关键.
变式训练
点(x，y)是区域|x|＋|y|≤1内的动点，求ax－y(a＞0)的最大值及最小值．
解：区域|x|＋|y|≤1为四条直线x＋y＝1，x－y＝1，－x＋y＝1，－x－y＝1所围成的区域，如图16(1)和(2)中的阴影部分．

图16
设z＝ax－y(a＞0)，当a≥1时，设直线l0：ax－y＝0，并作一组平行于l0的直线ax－y＝t，当直线位于l1位置时〔如图(1)〕，即l1过点(－1,0)时，t取最小值；当直线位于l2的位置时〔如图(1)〕，即l2过点(1,0)时，t取最大值．
当0＜a＜1时，设直线l0′：ax－y＝0，作一组平行于l0′的直线ax－y＝t，当直线位于l1′的位置时〔如图(2)〕，即l1′过点(0，－1)时，取最大值1；当直线位于l2′的位置时〔如图(2)〕，即过点l2′(0,1)时，t取最小值－1.
综上所述，当a≥1时，ax－y的最大值为a，最小值为－a，当0＜a＜1时，ax－y的最大值为1，最小值为－1.
例3 设x、y满足约束条件分别求：
(1)z＝6x＋8y的最大值、最小值；
(2)z＝2x－y的最大值、最小值；
(3)z＝2x－y(x，y均为整数)的最大值、最小值．
解：(1)先作出可行域，如图17所示的△ABC的区域，且求得A(5,2)、B(1,1)、C.

图17
作出直线l1：6x＋8y＝0，再将直线l1平移，
当l1的平行线过B点时，可使z＝6x＋8y达到最小值；
当l1的平行线过A点时，可使z＝6x＋8y达到最大值．[来源:Zxxk.]
∴zmin＝6×1＋8×1＝14；zmax＝6×5＋8×2＝46.
(2)同上，作出直线l2：2x－y＝0，再将直线l2平移(图略)，当l2的平行线过C点时，可使z＝2x－y达到最小值；
当l2的平行线过A点时，可使z＝2x－y达到最大值．
∴zmax＝8，zmin＝－.
(3)同上，作出直线l3：2x－y＝0，再将直线l3平移(图略)，
当l3的平行线过A点时，可使z＝2x－y达到最大值，∴zmax＝8.
当l3的平行线过C点时，可使z＝2x－y达到最小值，
但由于不是整数，而最优解(x，y)中，x，y必须都是整数，
∴可行域内的点C不是最优解．
当l3的平行线经过可行域内的整点(1,4)时，可使z＝2x－y达到最小值．
∴zmin＝－2.

课本本节练习2　1～3.

1．让学生自己归纳整合本节所学的知识方法，并写出在线性约束条件下，当B＜0时，求z＝Ax＋By＋C的最小值或最大值的求解程序，自己在本节中的最大收获有哪些？
2．教师强调，通过本节学习，应全面掌握在线性约束条件下，求目标函数的最小值或最大值的方法，特别是求整点最优解的方法．

课本习题3－4　A组6.

1．本节内容有利于培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识．本节内容渗透了多种数学思想，是向学生进行数学思想方法教学的典型教材，也是培养学生观察、作图能力的典型教材．
2．通过与上节类比，利用知识迁移，让学生更深入了解并掌握新知．这里强调的还有作图的规范问题，这是学生容易忽视的，但这又是本节课很重要的一部分内容．
3．关于难度把握问题，依据《新课标准》及教材分析，二元一次不等式表示平面区域以及线性规划的有关概念比较抽象，按高二学生现有的知识和认知水平难以透彻理解，再加上学生对代数问题等价转化为几何问题，以及数学建模方法解决实际问题有一个学习消化的过程，故本节知识内容定为了解层次．但这个了解不同于其他的了解，应注意让学生切实学会从实际问题抽象出约束条件及目标函数，并注意规范书写解答步骤．