高三数学大题专项训练-导数.doc

最后一道大题赏析
1.已知函数.
（1）求的极值；
（2）若函数的图象与函数的图象在区间上有公共点，求实数a的取值范围.
【答案】（1）的定义域为,，……2分
令得，
当时，是增函数；
当时，是减函数，
∴在处取得极大值，，
无极小值. ………………5分
（2）①当时，即时，
由（1）知在上是增函数，在上是减函数，
,
又当时，，
当时，；当时，；
与图象的图象在上有公共点，
，解得，又，所以. ………9分
②当时，即时，在上是增函数，
∴在上的最大值为，
所以原问题等价于，解得.
又,∴无解.
综上，实数a的取值范围是. ……13分

2. 已知函数的导数为实数，.
（Ⅰ）若在区间［-1，1］上的最小值、最大值分别为-2、1，求a、b的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求经过点且与曲线相切的直线的方程；
（Ⅲ）设函数，试判断函数的极值点个数。
【答案】解：（Ⅰ）由已知得，，……… 1分
由得.，当时，递增；当时，，递减.
在区间［-1，1］上的最大值为.…………3分
又.
由题意得，即，得为所求。 ………5分
（Ⅱ）解：由（1）得，点P（2，1）在曲线上。
（1） 当切点为P（2，1）时，切线的斜率，
的方程为.……6分
（2） 当切点P不是切点时，设切点为
切线的斜率，
的方程为。
又点P（2，1）在上，，
，[来源:学科网ZXXK]
.切线的方程为.
故所求切线的方程为或.…………………8分
（Ⅲ）解：.
.
. ……10分
二次函数的判别式为
得：
.令，得，或。
，
时，，函数为单调递增，极值点个数0； ……12分
当时，此时方程有两个不相等的实数根，根据极值点的定义，
可知函数有两个极值点. …………14分

3. 已知函数．
（1）若函数在区间上存在极值点，求实数的取值范围；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）求证：．（，为自然对数的底数）
【答案】（1）函数定义域为，，
由，当时，，当时，，
则在上单增，在上单减，函数在处取得唯一的极值。
由题意得，故所求实数的取值范围为………4分
(2) 当时，不等式．
令，由题意，在恒成立。

令，则，当且仅当时取等号。
所以在上单调递增，
因此，则在上单调递增，
所以，即实数的取值范围为 …………8分
（3）由（2）知，当时，不等式恒成立，
即， …………………10分
令，则有．
分别令，
则有，

将这个不等式左右两边分别相加，则得

故，从而
．………14分

4. 已知函数，，图象与轴异于原点的交点M处的切线为，与轴的交点N处的切线为， 并且与平行.
（1）求的值；
（2）已知实数t∈R，求的取值范围及函数的最小值；
（3）令，给定，对于两个大于1的正数，存在实数满足：，，并且使得不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1） 图象与轴异于原点的交点，
图象与轴的交点，
由题意可得，即， ……………………2分
∴， …………………3分
（2）=…4分
令，在 时，，
∴在单调递增， ……………5分
图象的对称轴，抛物线开口向上
①当即时， 　……6分
②当即时， …………7分
③当即时，
……………8分
,
所以在区间上单调递增 　　………………………9分
∴时，
①当时，有，
，
得，同理，　　……１０分
∴ 由的单调性知 、
从而有，符合题设. ……………11分
②当时，，
，
由的单调性知 ，
∴，与题设不符 ……………12分
③当时，同理可得，
得，与题设不符. …………13分
∴综合①、②、③得 ……………14分

5．已知定义在R上的偶函数的最小值为1，当时，，
（1）若当时都有不等式：恒成立，求实数的取值范围；
（2）求最大的整数，使得存在，只要，就有
【答案】解：（1）因为为单调函数，故，得,
当时，，则，综上：
所以当时，，则
①若，则当时，，为减函数，而，从而当时，，符合题意；
②若时，则当时，，为减函数，
当时，，为增函数，所以不合题意，
∴ 综合①②可得的取值范围为。
（2）因为任意，都有，故且
当时，，从而，∴
当时，，从而，∴ ，综上，
故，故得：，即存在，满足
∴ ，即，
令，，则
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
又，，，
由此可见，方程在区间上有唯一解， 且当时，当时，，故，此时.
下面证明：对任意恒成立，
①当时，即，等价于，，∴，
②当时，即，等价于
令，则，在上递减，在上递增，
∴，而，
综上所述，对任意恒成立。

6.设函数，。分别是的导函数。
（1）若，，是否存在实常数和，使得和？若存在，求出和的值．若不存在，说明理由;
（2）设有两个零点和，且、、成等差数列，是的导函数，试探究值的符号．
（1）由f(1)=g(1)，f′(1)=g′(1),得 b=1, a+b=2，解得a=b=1则g()=lnx+x……2分
因与有一个公共点(1，1)，而函数=在点(1,1)的切线方程为y=2x1.下面验证 f(x)≥2x1 ,g(x)≤2x1 都成立即可．
由≥0，得≥2x1，知f(≥2x1恒成立．
设h=lnx+x，即=lnxx+1，易知其在(0,1)上递增，在上递减，所以h=lnx+x的最大值为=0，所以lnx+x≤2x1恒成立．
故存在这样的k和m，且k=2，m=...………6分
（2）G′(x0)的符号为正，理由为：∵G(x)=x2＋2－alnx－bx有两个不同的零点x1，x2，
则有，两式相减得x22－x12－a(lnx2－lnx1)－b(x2－x1)=0.
即x1＋x2－b=，于是G′(x0)＝2x0－－b=(x1＋x2－b)－
=－ = [ln－] = [ln－]，
①当0<x1<x2时，令=t，则t>1，且G′(x0)=[lnt－]，
故(t)=lnt－ (t>1)，′(t)=－＝>0，则(t)在[1，＋∞)上为 增函数，而(1)＝0，∴(t)>0，即lnt－>0，又a>0，x2－x1>0，∴G′(x0)>0，
②当0<x2<x1时，同理可得：G′(x0)>0，综上所述：G′(x0)值的符号为正．…….13分

7. 已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，函数图象上的点都在所表示的平面区域内，求实 数的取值范围．
（3）求证：（其中，e是 自然对数的底数）．

【答案】解：（1）
，
； 3分

①
② 5分

③
9分

13分

8. 已知是指数函数，且过点，令.
（I）求的单调区间；
（II）记不等试的解集为P，若且，求实数的取值范围；
（III）当时，设，问是否存在，使曲线在点处的切线斜率与在R上的最小值相等？若存在，求出符合条件的的个数；若不存在，请说明理由.
【答案】解：由题意可设，又过点，∴，∴，
∴,.
（Ⅰ）,
(1)时，所以的单调区间是；
(2)时，令，得，
且当时，当时，
所以的单调减区间是，单调增区间是. …………4分
（Ⅱ） 因为，所以.
从而不等式在上恒成立,即在上恒成立.
令，，则，
所以在上递增，在上递减.
，，且，
所以，所以. ……………8分
（Ⅲ），
所以.
由(I)知，当时，的最小值是.
假设存在，使曲线在点处的切线斜率与在上的最小值相等，则为方程即的解.
令，，
由，知在上为减函数，在上为增函数，
所以，故方程在上有唯一解.
所以，符合条件的存在，且只有一个. ……………13分

9. 设函数，其中．
( I )若函数图象恒过定点P，且点P关于直线的对称点在的图象上，求m的值；
(Ⅱ)当时，设，讨论的单调性；
(Ⅲ)在(I)的条件下，设，曲线上是否存在两点P、Q，
使△OPQ(O为原点)是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点在y轴上？如果存在，求a的取值范围；如果不存在，说明理由．
【解答】

10.

11. 已知函数满足对于，均有成立.
（1）求的解析式；
（2）求的最小值；
（3）证明：…
【答案】（1）依题意得
解之得 ……4分
（2）
当x＞0时 当x＜0时
∴)在上递减在上递增
∴＝f (0) ＝1 ……8分
（3）由（2）得 恒成立，令a＝e， 则
　　　在中令x＝－（k＝1，2，…n-1）
∴1－≤　　　∴
∴（1－）n≤e－1 ， （1－）n≤e－2…（1－）n≤e－(n－1)，（）n＝1
∴（）n＋（）n＋（）n＋…＋（）n≤1＋e－1＋e－2＋…＋e－(n－1)
＝ ……14分12.已知函数•
(I) 当a>0时，求函数.的极值；
(II)若存在，使得成立，求实数a的取值范围；
(III)求证：当x>0时，.(说明：e为自然对数的底数，）

13． 已知函数
（1）若k=e，试确定函数的单调区间，
（2）若k>0，并且对任意x∈R，恒成立，求实数的取值范围
（3）设函数
【答案】（1），令得增区间为，得减区间为，