沪教版初二上数学详细讲义.doc
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1、第十六章 二次根式第一节 二次根式【知识要点】1.二次根式 代数式叫做二次根式。读作“根号”,其中叫被开方数.2.二次根式有意义 有意义的条件是3二次根式的性质 性质一 性质二 性质三 性质四 4.最简二次根式 在化简后的二次根式里: (1)被开方数中各因式的指数都为1; (2)被开方数中不含分母. 被开方数同时符合上述两个条件的二次根式,叫做最简二次根式.5.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式叫做同类二 次根式.【学习目标】1.掌握二次根式有意义的条件及性质.2.掌握最简二次根式及同类二次根式.【典型例题】 1.二次根式的判定【例1】 下列式子
2、中哪些是二次根式?(1); (2); (3); (4); (5); (6); (7); (8); (9); (10)【答案】(1)、(3)、(5)、(7)、(8)是二次根式.【分析】 二次根式要求根指数为2,所以(4)就不是二次根式,同时二次根式的被开方数 必须是非负数,所以(2)、(6)显然不是,(9)中只有当即时,才是二次根式,(10)中只有当时,才是二次根式. 2.二次根式有意义的条件【例2】当实数取何值时,下列各式有意义?(1); (2); (3);(4); (5); (6)。【答案】 (1); (2)取任何实数; (3); (4); (5) 且; (6)。【分析】(1)由,得,所以当
3、时,有意义;(2)无论取什么实数,都有,所以当取任何实数时,都有意义;(3)由,且,得,所以当时,有意义;(4)由,即,得,所以当时,有意义;(5)由且,得且,所以当且时,有意义;(6)由且,即,得,所以当时,有意义; 3.二次根式的化简 【例3】化简下列二次根式;(1); (2) ;(3); (4)。【答案】(1);(2); (3); (4)【解答】(1)原式; (2)原式; (3)由且,得,所以 原式= ; (4)由且,得,所以 原式。【例4】下列根式中哪些是最简二次根式?(1); (2); (3); (4); (5); (6); (7)【答案】(1)、(5)、(7)是最简二次根式.【解析
4、】因为与它们的被开方数中各因式的指数不都是,所以 (2)、(6)不是最简二次根式. 因为与,它们的被开方数含有分母,所以(3)、(4)不是最简二次根式.4.同类二次根式的判定【例5】下列各式中,哪些是同类二次根式?(1); (2); (3); (4); (5);(6); (7); (8)。【答案】 (1); (2); (3);(4); (5); (6);(7)因为,所以,于是 ;(8)因为,所以,于是 。因此(1)、(5)、(7)是同类二次根式;(3)、(6)是同类二次根式;(4)、(8)是同类二次根式.【基础训练】1成立的条件是_.2当x_时,式子有意义.3当a_时,;当a_时,.4.代数式
5、 中,字母x的取值范围是 _.5.若 ,则_.6若m0,化简=_.7.若 ,则 _.8下列各式中,是最简二次根式的是( ) A. B. C. D.9.式子成立的x取值范围为ABCDx取任意实数10.下列各组式子中,同类二次根式的是( ). A. B. C. D. 11的值( ).A.是正数 B.是负数 C.是非负数 D.可为正也可为负12.xy,那么化简为( ).A.0 B.2y C.2x D.2y2x13.化简下列各式:(此题中的字母均为正数)(1) (2) (3)(4) (5) (6)【能力提高】1. 化简并计算:己知x,y为实数,且,求:的值.2.己知与是同类根式,求的值.3. 已知,求
6、的值.4. 在实数范围内分解因式(1)4x4 1 (2)x3-x2-2x+2 第二节 二次根式的运算【知识要点】1.二次根式的加减法 先把各个二次根式化成最简二次根式,再把同类二次根式分别合并.2二次根式的乘除法 二次根式的乘法:两个二次根式相乘,被开方数相乘,根指数不变. 二次根式的除法:两个二次根式相除,被开方数相除,根指数不变.3分母有理化 把分母中的根号化去,叫做分母有理化.4. 有理化因式 两个含有二次根式代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,那么这两个含有二次根 式的代数式互为有理化因式.5二次根式的混合运算 在二次根式运算中,实数运算律、运算性质以及运算性质规定都实用.【学习目
7、标】1. 会进行二次根式的四则混合运算.2. 会应用整式的运算法则进行二次根式的运算.【典型例题】 1.二次根式的四则混合运算【例1】计算: (1); (2); (3);【答案】(1); (2) (3); 【解析】(1)原式; (2)原式 = (3)原式 ;【例2】计算:(1) ; (2)(其中);【答案】(1); (2)【解析】(1)原式 ; (2)因为,所以由根式可知,再由根式可知. 原式= 2.分母有理化【例3】把下列各式分母有理化:(1); (2)。【答案】(1); (2)。【解析】(1)原式= (2)原式。【例4】 计算: (1); (2); (3); (4)。【答案】(1); (2
8、); (3); (4)。【解析】(1)原式 = ; (2)原式 = ; (3)原式 ; (4)原式 【例5】计算:(1)(2);(3);【答案】(1); (2); (3); 【解析】(1)原式 =; (2)原式 ; (3)解法一: 原式 解法二: 原式 3.二次根式比较大小的常见方法(1)平方法:平方法比较两数、的大小时,当时,如果,那么;如果,那么。当时,如果,那么;如果,那么;(2)作差法: 作差法比较两数、的大小时,如果,那么;如果,那么 (3)作商法:作商法比较两数、的大小时,当时,如果,则;如果,则;当时,如果,则;如果,则;(4)倒数法(分子有理化法)倒数法比较两数、的大小时,当时
9、,如果,则;如果,则;当时,如果,则;如果,则;【例6】 比较下来各式的大小:(1)与; (2)与;(3)与; (4)与。【答案】(1); (2); (3); (4)。【解析】第(1)题可以用“平方法“比较,第(2)题可用“作差法”比较,第(3)题 可用“作商法”比较,第(4)题可用“分子有理化法”比较. 4.一类特殊的二次根式求和问题 用拆项相消的技巧往往使某些求和问题运算比较简便.【基础训练】1.计算:_.2.计算:=_.3.计算: , .4.计算: , .5.计算: , .6.计算: , .7.分母有理化: ; .8.计算: .9.的倒数为_10.若,y是x的有理化因式则y= ,则 ,
10、.11.下列各式运算结果正确的是( )ABCD12.下列各式化简结果正确的是( ) ABCD13.根式化简结果正确的是( )ABCD14.的计算结果正确的是( )ABCD15.的倒数是( )ABCD16. 设的小数部分为b ,那么 (4+b)b 的值是( ) .是一个有理数;.无法确定。17. 18.19.20.【能力提高】1. 化简与计算:己知,求的值.2.已知,,求和的值.3.已知,求下列各式的值. ;二次根式单元测试题(时间100分钟,满分150分)一、选择题(本大题共6题,每题4分,共24分)1.在根式、中,最简二次根式有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.在下列各式的化简
11、中,化简正确的有( )a 5x-4x6a +10 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.已知二条线段的长分别为cm、cm,那么能与它们组成直角三角形的第三条线 段的长是( )A.1cm B.cm C.5cm D.1cm或cm4.已知a0,化简:的结果是 ( ) A.1 B.-1 C.0 D.2a5.的积为( ) A.1 B.17 C. D. 6.当a0,b0时,n是正整数,计算:-的结果是( ) A.(b-a) B.(anb3-an+1b2) C.(b3-ab2) D.(anb3+an+1b2)二、填空题(本大题共12题,每题4分,共48分)7.a-的有理化因式是_.8.当mn时,化简:(
12、m-n)_.9.已知-2m-1,化简:-_.10.当a-b1时,化简:的结果为_.11._.12.计算:(a+2+b)(+)-(-)_.13.化简:x2y2 (a0,b0)_.14.若菱形两对角线长分别为(2+3)和(2-3),则菱形面积_.15.已知b0,化简:-+_.16._.17.计算 ; 。18.比较大小: ; .三解答题:(本大题共七题,满分78分)19.(本题满分为10分) 计算:(+)+20(本题满分10分) 化简: (x0,y0)21(本题满分10分) 已知,求的值。22.(本题满分10分) 计算:23 (本题满分12分)先化简,再求值:,其中24 (本题满分12分) 设x、y
13、是实数,且x2+y2-2x+4y+50,求. 25 (本题满分14分) 已知(), 求代数式的值。第十七章 一元二次方程 第一节 一元二次方程的概念【知识要点】1.一元二次方程的概念 只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。其实质是: 整式方程;只含有一个未知数;未知数的最高次数是2. 其中“未知数的最高次数是2”是指在合并同类项之后而言的.2.一元二次方程的一般式 一元二次方程的一般式,其中叫做二次项,为二次项系数; 叫做一次项,是一次项系数;叫做常数项。任何一个一元二次方程都可以化成一般形式.3.二次项系数含有字母的一元二次方程 二次项系数含有字母的方程是否是一
14、元二次方程,需要对二次项系数进行讨论,要保证未 知数的最高次数2,只需要二次项系数不为4对于一个一元二次方程,可以依据根的意义,判断未知数的一个值是不是这个方程的根.5特殊根的一元二次方程的系数和常数项的特征 依据方程的根的意义,找出如果一元二次方程有一个根为、或的一元二次方程的系 数和常数项的特征。如一元二次方程,当时,有一根为.【知识要点】5. 掌握一元二次方程的概念.6. 一元二次方程的一般形式,能找出方程中各项的系数.【典型例题】 1.一元二次方程的判定 【例1】判断下列方程哪些是一元二次方程 (1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题是概念判断题,要牢记符合一元二次方程应满
15、足的条件. 【解答】(1)移项得: 是一元二次方程 (2) 方程分母含有未知数,不是整式方程 它不是一元二次方程(3) 方程中含有两个未知数 它不是一元二次方程(4) 符合一元二次方程的条件 它是一元二次方程(5)整理得: 移项、合并得: 二次项系数合并后为,未知数最高次数为1 它不是一元二次方程。【注意】 判断一个方程是否是一元二次方程,要先对方程进行整理,然后再根据条件: 整式方程 只含有一个未知数 未知数最高次数为2只有当这三个条件全部满足时,才能判断为一元二次方程. 2.一元二次方程的一般式及各项系数的求法【例2】把下列一元二次方程化成一般式,并写出方程中的各项与各项的系数(1) (2
16、)(3) (4)是已知数【分析】方程的二次项系数、一次项系数及常数项是在方程为一般形式的前提下而言的. 所以解此题的关键是准确把方程化简为一元二次方程的一般形式.【解答】(1)移项,得方程的一般形式: 可知,方程中的二次项是, 二次项系数是;一次项是,一次项系数是; 常数项是 (2)整理,得方程的一般形式:可知,方程中的二次项是, 二次项系数是;一次项是,一次项系数是;常数项是 (3)整理,得方程的一般形式:可知,方程中的二次项是, 二次项系数是;一次项是,一次项系数是;常数项是。 (4)方程的一般式为:是已知数可知,方程中的二次项是, 二次项系数是;一次项是,一次项系数是;常数项是【点评】
17、要认真区别方程的各项与各项的系数。特别要小心当某项的系数为负数时,指出各项时千万不要丢负号。对于字母系数方程的整理,应先明确其未知数,再确定各项系数 .【例3】当为何值时,关于的方程是一元二次方程?【分析】在一元二次方程中,是一元二次方程的必要条件否则它 就不是一元二次方程.【解答】移项、合并同类项得: 当即时方程为一元二次方程。【点评】要先把方程整理为一般式,然后再确定二次项的系数的条件. 3.一元二次方程根的判别【例4】判断3, -4 是不是一元二次方程的根.【分析】能够使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的根。所以只需把代 入原方程检验方程左右两边的值是否相等.【解答】把分别代入方
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