高一数学必修一重点方法讲解.doc
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1、高中必修一一些重点函数值域求法十一种2复合函数9一、复合函数的概念9二、求复合函数的定义域:9复合函数单调性相关定理10函数奇偶性的判定方法10指数函数:12幂函数的图像与性质15函数值域求法十一种1. 直接观察法对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。 例1. 求函数的值域。解:显然函数的值域是: 例2. 求函数的值域。解:故函数的值域是: 2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例3. 求函数的值域。解:将函数配方得:由二次函数的性质可知:当x=1时,当时,故函数的值域是:4,8 3. 判别式法 例4. 求函数的值域。解:原函数化为关于x的一元二次方程(1)当时,解得:
2、(2)当y=1时,而故函数的值域为 例5. 求函数的值域。解:两边平方整理得:(1)解得:但此时的函数的定义域由,得由,仅保证关于x的方程:在实数集R有实根,而不能确保其实根在区间0,2上,即不能确保方程(1)有实根,由 求出的范围可能比y的实际范围大,故不能确定此函数的值域为。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。代入方程(1)解得:即当时,原函数的值域为:注:由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的部分剔除。 4. 反函数法直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例6. 求函数值域。解:由原函数式可得:则其反
3、函数为:,其定义域为:故所求函数的值域为: 5. 函数有界性法直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主来确定函数的值域。 例7. 求函数的值域。解:由原函数式可得:解得:故所求函数的值域为 例8. 求函数的值域。解:由原函数式可得:,可化为:即即解得:故函数的值域为 6. 函数单调性法 例9. 求函数的值域。解:令则在2,10上都是增函数所以在2,10上是增函数当x=2时,当x=10时,故所求函数的值域为: 例10. 求函数的值域。解:原函数可化为:令,显然在上为无上界的增函数所以,在上也为无上界的增函数所以当x=1时,有最小值,原函数有最大值显然,故原函数的值域为 7.
4、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型,换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用。 例11. 求函数的值域。解:令,则又,由二次函数的性质可知当时,当时,故函数的值域为 例12. 求函数的值域。解:因即故可令故所求函数的值域为 例13. 求函数的值域。解:原函数可变形为:可令,则有当时,当时,而此时有意义。故所求函数的值域为 例14. 求函数,的值域。解:令,则由且可得:当时,当时,故所求函数的值域为。 例15. 求函数的值域。解:由,可得故可令当时,当时,故所求函数的值域为: 8. 数形结合法其题型是函数解析式具
5、有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目。 例16. 求函数的值域。解:原函数可化简得:上式可以看成数轴上点P(x)到定点A(2),间的距离之和。由上图可知,当点P在线段AB上时,当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时,故所求函数的值域为: 例17. 求函数的值域。解:原函数可变形为:上式可看成x轴上的点到两定点的距离之和,由图可知当点P为线段与x轴的交点时,故所求函数的值域为 例18. 求函数的值域。解:将函数变形为:上式可看成定点A(3,2)到点P(x,0)的距离与定点到点的距离之差。即:由图可知:(1)当点P在x轴
6、上且不是直线AB与x轴的交点时,如点,则构成,根据三角形两边之差小于第三边,有即:(2)当点P恰好为直线AB与x轴的交点时,有综上所述,可知函数的值域为:注:由例17,18可知,求两距离之和时,要将函数式变形,使A、B两点在x轴的两侧,而求两距离之差时,则要使A,B两点在x轴的同侧。如:例17的A,B两点坐标分别为:(3,2),在x轴的同侧;例18的A,B两点坐标分别为(3,2),在x轴的同侧。 9. 不等式法利用基本不等式,求函数的最值,其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 例19. 求函数的值域。解:原函数变形为:当且
7、仅当即当时,等号成立故原函数的值域为: 例20. 求函数的值域。解:当且仅当,即当时,等号成立。由可得:故原函数的值域为: 10. 一一映射法原理:因为在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中,若知道一个变量范围,就可以求另一个变量范围。 例21. 求函数的值域。解:定义域为由得故或解得故函数的值域为 11. 多种方法综合运用 例22. 求函数的值域。解:令,则(1)当时,当且仅当t=1,即时取等号,所以(2)当t=0时,y=0。综上所述,函数的值域为:注:先换元,后用不等式法 例23. 求函数的值域。解:令,则当时,当时,此时都存在,故函数的值域为注:此题先用换元法,后用配方法,然后再运用
8、的有界性。总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法。复合函数一、复合函数的概念如果y是u的函数,而u是x的函数,即y = f ( u ), u = g ( x ) ,那么y关于x的函数y = f g ( x ) 叫做函数f 与 g 的复合函数,u 叫做中间变量。注意:复合函数并不是一类新的函数,它只是反映某些函数在结构方面的某种特点,因此,根据复合函数结构,将它折成几个简单的函数时,应从外到里一层一层地拆,注意不要漏层。另外,在研究有关复合函数的问题时,要注意复合函数的存在
9、条件,即当且仅当g ( x )的值域与f ( u )的定义域的交集非空时,它们的复合函数才有意义,否则这样的复合函数不存在。例:f ( x + 1 ) = (x + 1) 可以拆成y = f ( u ) = u2 , u = g ( x ) , g ( x ) = x + 1 ,即可以看成f ( u ) = u2 与g ( x ) = x + 1 两个函数复合而成。二、求复合函数的定义域:(1)若f(x)的定义域为a x b,则f g ( x ) 中的a g ( x ) b ,从中解得x的范围,即为f g ( x )的定义域。 例1、y = f ( x ) 的定义域为 0 , 1 ,求f (
10、2x + 1 )的定义域。 答案: -1/2 ,0 例2、已知f ( x )的定义域为(0,1),求f ( x 2)的定义域。 答案: -1 ,1(2)若f g ( x ) 的定义域为(m , n)则由m x n 确定出g ( x )的范围即为f ( x )的定义域。例3、已知函数f ( 2x + 1 )的定义域为(0,1),求f ( x ) 的定义域。 答案: 1 ,3 (3)由f g ( x ) 的定义域,求得f ( x )的定义域后,再求f h ( x ) 的定义域。例4、已知f ( x + 1 )的定义域为-2 ,3,求f ( 2x 2 2 ) 的定义域。 答案:-3/2 ,-33/2
11、 ,3三、求复合函数的解析式。1、待定系数法:在已知函数解析式的构造时,可用待定系数法。例1 设是一次函数,且,求解:设 ,则 2、 配凑法:已知复合函数的表达式,求的解析式,的表达式容易配成的运算形式时,常用配凑法。但要注意所求函数的定义域不是原复合函数的定义域,而是的值域。 例2 已知 ,求 的解析式解:, 3、换元法:已知复合函数的表达式时,还可以用换元法求的解析式。与配凑法一样,要注意所换元的定义域的变化。例3 已知,求解:令,则, 复合函数单调性相关定理1、引理1 已知函数y=fg(x).若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数,其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)
12、上是增函数,那么,原复合函数y=fg(x)在区间(a,b)上是增函数证 明 在区间(a,b)内任取两个数x1,x2,使ax1x2b.因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数,所以g(x1)g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2)即u1u2,且u1,u2(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数,所以f(u1)f(u2),即fg(x1)ff(x2),故函数y=fg(x)在区间(a,b)上是增函数.2、引理2 已知函数y=fg(x).若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数,其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数,那么,复合函数y=fg(x)在区
13、间(a,b)上是增函数.证明 在区间(a,b)内任取两个数x1,x2,使ax1x2b.因为函数u=g(x)在区间(a,b)上是减函数,所以g(x1)g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2)即u1u2,且u1,u2(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数,所以f(u1)f(u2),即fg(x1)ff(x2),故函数y=fg(x)在区间(a,b)上是增函数.3、总结同增异减函数奇偶性的判定方法1定义域判定法例1判定的奇偶性(非奇非偶)2定义判定法f(x)与f(-x)关系例2判断的奇偶性(偶)3等价形式判定法例3判定的奇偶性(奇)评注:常用等价变形形式有:若或,则为奇函数;
14、若或,则为偶函数(其中)4性质判定法例4若,是奇函数,是偶函数,试判定的奇偶性评注:在两个函数(常函数除外)的公共定义域关于原点对称的前提下:两个偶函数的和、差、积都是偶函数;两个奇函数的和、差是奇函数,积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数5、练习(1).()函数f(x)在R上为增函数,则y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是_ (,1(2)()若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d满足f(0)=f(x1)=f(x2)=0 (0x10.又知0x1x,得x1+x20,b=a(x1+x2)0.2.奇偶性记F(x)=fg(x)复合函数,则F(-x)=fg(-x), 如果g(x)是奇函数
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