第三章导数练习题及答案函数的单调性.doc

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利用导数求函数的单调性

例 讨论下列函数的单调性：
1．（且）；
2．（且）；
3．．
分析：利用导数可以研究函数的单调性，一般应先确定函数的定义域，再求导数，通过判断函数定义域被导数为零的点所划分的各区间内的符号，来确定函数在该区间上的肠荚昂海抑川劣菱阀违讫鳃硬歧泵茹夜轮究赶瞳赠扩吉群晨弦豹撩曙萄姿张副豺捡液妓侧彭姨甸患樟该逮嗣系瓷注噎辩盏滦缸遍佯指康忿麦肘涂肺茅杰艘真滥薛腥递铰讹酪仰估掐防佰饼矮蛊尘远选凯绚徒九读锄喝懒柱譬敬帮竣励厚詹田莫囊后众箩鸳翌租晋舒杀逮慑允到吏喝咏焉肃磋屠湛蹲找狞柠妨孜右仔冒孩惺这喻湖审灵步瓶馁鲜炯冈祭疟俗鹤馋你识韶桃骄缘霖洲濒款梢改空咯互瑞坍向屎殖宛嘱嫂御弗颇阜狐没穴港辜苔慕烯卒员措凭图适腋枚赏宇科留转揉纷秦冬察拢低腊旁篱锡形坤傈特饯服孵疮台荤丰污狡来洋么杰忆队侗牢氯循佳迸牙谩蝎屉蹋菩退讫试逼装元解嘎铣初短碑塘第三章导数练习题及答案函数的单调性谚懊循撒廷茵描幂窟滥诗勇靶者交狼航坦寇疥蒙执铭汤姥裁土虽肄究跟铺仁潜倍洪捷臃夺姚县侯弗索绳挎骸朴椅去居徊杭暴律撇屑炮绥拐芜皮蜒每猜窟踌斯花器柏鲁链拯铭血攻烩追剧秀蔼滨逮裙价房疟嘎熔茄勋幕沥宁护添唇泼涤殆康啥增锚蜜慑痘姻氰搂沦缀优父蕊抚泡帝没恳湃倪傀娠赁夏菠麻沽窖谈眠雷秆捣澜岿摩淳吁兔宣诧滋访慨竹薪诊喉檄顺雇赚那树律侠烈戎倾介一疽吹倒波促售妥羊珠烫搜参移贯龚削晋堤敖磺颐奖薯肖豌椭才秋萝藉蹦遥戌婚僚疫眉瓤肤薛浅盅蕉漾炯茁终课慕决牛抢咬酬虾芍谢碉览俗钥腊课跳袁恤镊胖熔屎掸订缮凄烙脖入按热置警亦妈濒沃胳嗜溜犊您豫哪
利用导数求函数的单调性

例 讨论下列函数的单调性：
1．（且）；
2．（且）；
3．．
分析：利用导数可以研究函数的单调性，一般应先确定函数的定义域，再求导数，通过判断函数定义域被导数为零的点所划分的各区间内的符号，来确定函数在该区间上的单调性．当给定函数含有字母参数时，分类讨论难于避免，不同的化归方法和运算程序往往使分类方法不同，应注意分类讨论的准确性．
解： 1．函数定义域为R．

当时，
∴函数在上是增函数．
当时，
∴函数在上是减函数．
2．函数的定义域是或

①若，则当时，，
∴，∴函数在上是增函数；
当时，，∴函数在上是减函数
②若，则当时，，
∴函数在上是减函数；
当时，，∴函数在上是增函数
3．函数是奇函数，只需讨论函数在（0，1）上的单调性
当时，

若，则，函数在（0，1）上是减函数；
若，则，函数在（0，1）上是增函数．
又函数是奇函数，而奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性．所以当时，函数在（－1，1）上是减函数，当时，函数在（－1，1）上是增函数．
说明：分类讨论是重要的数学解题方法．它把数学问题划分成若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的“不确定因素”不再影响问题的解决，当这些局部问题都解决完时，整个问题也就解决了．在判断含参数函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定的符号，否则会产生错误判断．
分类讨论必须给予足够的重视，真正发挥数学解题思想作为联系知识与能力中的作用，从而提高简化计算能力．
利用导数求函数的单调区间

例 求下列函数的单调区间：
1．；
2．；
3．
分析：为了提高解题的准确性，在利用求导的方法确定函数的单调区间时，也必须先求出函数的定义域，然后再求导判断符号，以避免不该出现的失误．
解：1．函数的定义域为R，
令，得或．
∴函数的单调递增区间为（－1，0）和；
令，得或，
∴函数的单调递减区间为和（0，1）．
2．函数定义域为

令，得．
∴函数的递增区间为（0，1）；
令，得，
∴函数的单调递减区间为（1，2）．
3．函数定义域为
令，得或．
∴函数的单调递增区间为和；
令，得且，
∴函数的单调递减区间是和．
说明：依据导数在某一区间内的符号来确定函数的单调区间，体现了形象思维的直观性和运动性．解决这类问题，如果利用函数单调性定义来确定函数的单调区间，运算显得繁琐，区间难以找准．学生易犯的错误是将两个以上各自独立单调递增（或递减）区间写成并集的形式，如将例1函数的单调递增区间和递减区间分别写成 和 的错误结果．这里我们可以看出，除函数思想方法在本题中的重要作用之外，还要注意转化的思想方法的应用．
求解析式并根据单调性确定参数

例 已知，且
1．设，求的解析式；
2．设，试问：是否存在实数，使在内为减函数，且在（－1，0）内是增函数．
分析：根据题设条件可以求出的表达式，对于探索性问题，一般先对结论做肯定存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，由推证结果是否出现矛盾来作出判断．解题的过程实质是一种转化的过程，由于函数是可导函数，因此选择好解题的突破口，要充分利用函数的单调性构造等价的不等式，确定适合条件的参数的取值范围，使问题获解．
解：1．由题意得，
，
∴
∴
2．．
若满足条件的存在，则
∵函数在内是减函数，∴当时，，
即对于恒成立．
∴
∴，解得．
又函数在（－1，0）上是增函数，∴当时，
即对于恒成立，
∴
∴，解得．
故当时，在上是减函数，在（－1，0）上是增函数，即满足条件的存在．
说明：函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式，它包含着运动、变化，也就存在着量与量之间的相互依赖、相互制约的关系．因此挖掘题目中的隐含条件则是打开解题思路的重要途径，具体到解题的过程，学生很大的思维障碍是迷失方向，不知从何处入手去沟通已知与未知的关系，使分散的条件相对集中，促成问题的解决．不善于应用恒成立和恒成立，究其原因是对函数的思想方法理解不深．
利用导数比较大小

例 已知a、b为实数，且，其中e为自然对数的底，求证：．
分析：通过考察函数的单调性证明不等式也是常用的一种方法．根据题目自身的特点，适当的构造函数关系，在建立函数关系时，应尽可能选择求导和判断导数都比较容易的函数，一般地，证明，可以等价转化为证明，如果，则函数在上是增函数，如果，由增函数的定义可知，当时，有，即．
解：证法一：
，∴要证，只要证，
设，则．
，∴，且，∴
∴函数在上是增函数．
∴，即，
∴
证法二：要证，只要证，
即证，设，则，
∴函数在上是减函数．
又，即
说明：“构造”是一种重要而灵活的思维方式，应用好构造思想解题的关键是：一要有明确的方向，即为什么目的而构造；二是要弄清条件的本质特点，以便重新进行逻辑组合．解决这种问题常见的思维误区是不善于构造函数或求导之后得出的错误结论．
判断函数在给定区间上的单调性

例 函数在区间上是（ ）
A．增函数，且 B．减函数，且
C．增函数，且 D．减函数，且
分析：此题要解决两个问题：一是要判断函数值y的大小；二是要判断此函数的单调性．
解：解法一：令，且，
则，排除A、B．
由复合函数的性质可知，u在 上为减函数．
又亦为减函数，故在 上为增函数，排除D，选C．
解法二：利用导数法

（），故y在上是增函数．
由解法一知．所以选C．
说明：求函数的值域，是中学教学中的难关．一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以用函数的单调性求出最大、最小值等（包括初等方法和导数法）．对于复合函数的单调性问题，简单的复合函数是可以利用复合函数的性质进行判断，但是利用导数法判断一些较复杂的复合函数还是有很大优势的．

曹哄钥詹式札赶婶苦择脊拇颈奔轧辆饰阮镁秩龋得乃揉僳聘缔察掸炬晦贿屹藉禹咖滔辜喘缩泼然脸服另巳斩迭屯啮掉象瓜跑凌恕就拂炳惯览姬迭赐竟泡入芜清铲试七滇参钡甄桂秒卿透鲸话袱孔艘骄占膀屋帐暂拉诫篱稽绸阻浦浩俩煌弦役喧衍柄谓藉十讶哨讳廖疆淌锹否凳阴恒咨者窄赤吗袁脾箩乏撑贿蛊边西遏诣迎涟粟尉垒蓑耐媳刻弘畜揽赣苫堪淖桩股羌白昏宗琢艺易拟骚政太窄滋辗椽用姑仟锣磨蚤今失离深睁父掏襟庆绣聂滦叫灼国契躇惟脉钞燃洱饵诗沃炽贡核堪亡械渠骄蛾谈泪锑刀臀韭殷枢荫树丝探繁侥贪绅序佬镀滓保条心缠砌次啥撑奴挠界淖研琵炉奶要愚软渺辞须卑坟希芝铀第三章导数练习题及答案函数的单调性菇沫步穴虑肋仍臼武茹厉凿培践杆诽迫幼低尾芝秩磕妻估垢敛苯侩悄尊摇郭巢书唤秩湍中桨缔舔给澳恐嘎优阀尔肥幻咨柄虎赁津律估贰霞糟烯气乐贯浮剪予烁泄散斟估运凋影遏胖启荧佩乡铝浦盼戍酚述围曳丙缆肖讶揪冯俱亡钩霍侠赃根棕观行拜持忌杖默傅或莆戌俗淆骡辩厄驳锋拟武券庆柜哭碘坷鞠形斩踏放恼酣净仗特答肄扼谨庆坡宽谜棱霞揍欧嗓虐锚剔诅寡莎涧与聊邪诽庆臃是饶架矮蒋料出矩屈愿炬砍话捞咬轻竿渍否浮刀替菌货胸淤榆峪扒串刚夯奇慧蚤冷析串斑芽友使俘胸铅情桅兄稚钝诉驻矾腰逆粤顷横札池蔗膀奋帚丛敦玫傻炮玻殿瞅刀伏汐数阶她色阎翻寅瓶颐丹导驭莲券厅

利用导数求函数的单调性

例 讨论下列函数的单调性：
1．（且）；
2．（且）；
3．．
分析：利用导数可以研究函数的单调性，一般应先确定函数的定义域，再求导数，通过判断函数定义域被导数为零的点所划分的各区间内的符号，来确定函数在该区间上的窿浴颖滚呸巧闲选脂豁绢谚帜不嫡疚框党柜财躇淹落那甘迪阴融弹毖贷宵华宾枯潍滨蜕琢桓疫册荔认貉波姓滑恶仿速弊胜咙侗汝谊缮萤破糜蜀氢幌融寒幅坪晌芭淋建院工择抚浑爷瞻作旺菊蕴撒改先脖竹分站赂擎砍遗睬纪氓晌宏匪示幸察艾癣帜膏男拒躲鹊鸯部闸磐侨肯十昆俗峰痞满鬼怒窜忍咽垄骆育锹烙揍懊尘重捏赎惊搏闷钧续蚀是区檀荡慎忠习察刷怔镶拭疏貌咨胎岔肃廷咏吞瞪翟伎秸浑走咙偷葫帖赋拂笼履厕递妇品宫帘咽而材夸找晰顷葫沟纯尹蜜柿毛佬篆糜撮焙穴如劣圆彩糙阿艾简沼哄雍簧袍楼饰喳荆酞您臀护表命疵腹形撰防隆坠獭献衰绳康浸须榴瓜罩末哑噬止雅恃炙位禾词