2021-2022学年高二人教A版选修1-2学案:2.1.1-合情推理-Word版含答案.docx
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1、2.1合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理归纳推理提出问题如图(甲)是第七届国际数学训练大会(简称ICME7)的会徽图案,会徽的主体图案是由如图(乙)的一连串直角三角形演化而成的,其中OA1A1A2A2A3A7A81,假如把图(乙)中的直角三角形依此规律连续作下去,记OA1,OA2,OAn的长度构成数列an,问题1:试计算a1,a2,a3,a4的值提示:由图知:a1OA11,a2OA2,a3OA3,a4OA42.问题2:由问题1中的结果,你能猜想出数列an的通项公式an吗?提示:能猜想出an(nN*)问题3:直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180,你能猜想出什么结论?提示:全部
2、三角形的内角和都是180.问题4:以上两个推理有什么共同特点?提示:都是由个别事实推出一般结论导入新知1归纳推理的定义由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理2归纳推理的特征归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理化解疑难归纳推理的特点(1)由归纳推理得到的结论具有猜想的性质,结论是否正确,还需经过规律证明和实践检验,因此,归纳推理不能作为数学证明的工具;(2)一般地,假如归纳的个别对象越多,越具有代表性,那么推广的一般性结论也就越牢靠.类比推理提出问题问题1:在三角形中,任意两边之和大于第三边,那么,在四
3、周体中,各个面的面积之间有什么关系?提示:四周体中任意三个面的面积之和大于第四个面的面积问题2:三角形的面积等于底边与高乘积的,那么在四周体中,如何表示四周体的体积?提示:四周体的体积等于底面积与高乘积的.问题3:以上两个推理有什么共同特点?提示:依据三角形的特征,推出四周体的特征问题4:以上两个推理是归纳推理吗?提示:不是归纳推理是从特殊到一般的推理,而以上两个推理是从特殊到特殊的推理导入新知1类比推理的定义由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理,称为类比推理2类比推理的特征类比推理是由特殊到特殊的推理化解疑难对类比推理的定义的理解(1)类
4、比推理是两类对象特征之间的推理(2)对象的各共性质之间并不是孤立存在的,而是相互联系和相互制约的,假如两个对象有些性质相像或相同,那么它们另一些性质也可能相像或相同(3)在数学中,我们可以由已经解决的问题和已经获得的学问动身,通过类比提出新问题和获得新发觉数、式中的归纳推理例1已知数列an的前n项和为Sn,a1,且Sn2an(n2),计算S1,S2,S3,S4,并猜想Sn的表达式解当n1时,S1a1;当n2时,2S1,所以S2;当n3时,2S2,所以S3;当n4时,2S3,所以S4.猜想:Sn,nN*.类题通法归纳推理的一般步骤归纳推理的思维过程大致是:试验、观看概括、推广猜想一般性结论该过程
5、包括两个步骤:(1)通过观看个别对象发觉某些相同性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)活学活用将全体正整数排成一个三角形数阵:12345678910依据以上排列的规律,求第n行(n3)从左向右数第3个数解:前(n1)行共有正整数12(n1)个,即个,因此第n行第3个数是全体正整数中第个,即为.图形中的归纳推理例2(1)有两种花色的正六边形地面砖,按下图的规律拼成若干个图案,则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是()A26B31C32 D36(2)把1,3,6,10,15,21,这些数叫做三角形数,这是由于个数等于这些数目的点可以分别排成一个正三角形(如图),试求第
6、七个三角形数是_解析(1)选B法一:有菱形纹的正六边形个数如下表:图案123个数61116由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项,以5为公差的等差数列,所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是65(61)31.法二:由图案的排列规律可知,除第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕(图案1)外,每增加一块无纹正六边形,只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形),故第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为:65(61)31.故选B.(2)第七个三角形数为123456728.答案(1)B(2)28类题通法解决图形中归纳推理的方法解决与
7、图形有关的归纳推理问题常从以下两个方面着手:(1)从图形的数量规律入手,找到数值变化与数量的关系(2)从图形的结构变化规律入手,找到图形的结构每发生一次变化后,与上一次比较,数值发生了怎样的变化活学活用如图,第n个图形是由正n2边形“扩展”而来(n1,2,3,),则第n个图形中的顶点个数为()A(n1)(n2)B(n2)(n3)Cn2 Dn解析:选B第一个图形共有1234个顶点,其次个图形共有2045个顶点,第三个图形共有3056个顶点,第四个图形共有4267个顶点,故第n个图形共有(n2)(n3)个顶点.类比推理例3设等差数列an的前n项和为Sn,则S4,S8S4,S12S8,S16S12成
8、等差数列,类比以上结论有:设等比数列bn的前n项积为Tn,则T4,_,_,成等比数列解析由于等差数列与等比数列具有类比性,且等差数列与和差有关,等比数列与积商有关,因此当等差数列依次每4项之和仍成等差数列时,类比等比数列为依次每4项的积的商成等比数列下面证明该结论的正确性:设等比数列bn的公比为q,首项为b1,则T4bq6,T8bq127bq28,T12bq1211bq66,T16bq1215bq120,bq22,bq38,bq54,即2T4,2,故T4,成等比数列答案类题通法类比推理的一般步骤类比推理的思维过程大致是:观看、比较联想、类推猜想新的结论该过程包括两个步骤:(1)找出两类对象之间
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