大学微积分l知识点总结(二).doc

【第五部分】不定积分
1。书本知识(包含一些补充知识）
（1）原函数：F’（x)=f（x），x∈I,则称F（x）是f(x)的一个“原函数"。
（2）若F（x）是f(x）在区间上的一个原函数，则f（x）在区间上的全体函数为F（x）+c(其中c为常数）
(3）基本积分表
（α≠1,α为常数）
(4)零函数的所有原函数都是c
（5)C代表所有的常数函数
数乘运算
（6）运算法则
线性运算
加减运算

（7）
（8）

(9)连续函数一定有原函数，但是有原函数的函数不一定连续，没有原函数的函数一定不连续。
（10）不定积分的计算方法
①凑微分法(第一换元法），利用复合函数的求导法则
②变量代换法（第二换元法），利用一阶微分形式不变性
③分部积分法：
【解释:一阶微分形式不变性】
释义：函数
对应：y=f(u)
说明：
（11） 分段函数的积分
例题说明：
（12） 在做不定积分问题时,若遇到求三角函数奇次方的积分，最好的方法是将其中的一
(16）隐函数求不定积分
例题说明：
(17）三角有理函数积分的万能变换公式
（18）某些无理函数的不定积分
②欧拉变换
（19） 其他形式的不定积分
2.补充知识(课外补充）
☆【例谈不定积分的计算方法】☆
1、不定积分的定义及一般积分方法
2、特殊类型不定积分求解方法汇总
1、不定积分的定义及一般积分方法
(1）定义:若函数f(x）在区间I上连续,则f（x）在区间I上存在原函数.其中Φ（x）=F(x）+c0，(c0为某个常数)，则Φ（x)=F(x)+c0属于函数族F（x）+c
（2）一般积分方法
值得注意的问题:
第一，一般积分方法并不一定是最简便的方法，要注意综合使用各种积分方法，简便计算；第二，初等函数的原函数并不一定是初等函数,因此不一定都能够积出。
不能用普通方法积出的积分：
2、特殊类型不定积分求解方法汇总
(1）多次分部积分的规律
（3）简单无理函数的积分
被积函数为简单式的有理式，可以通过根式代换化为有理函数的积分
小结：几分钟含有根号,应当考虑采用合适的方法去掉根号再进行计算。
【第六部分】定积分
1。书本知识(包含一些补充知识）
（1）定义
（12） 几种简化定积分的计算方法
①关于原点对称区间上的函数的定积分
当f(x)为偶函数
当f(x)为奇函数

设f（x）是周期为T的周期函数，且连续。则:
（n为奇数）
（n为偶数）

分的值无关，依然可以正常去求。
（14） 极坐标与直角坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x,y）,它的极坐标是（ρ,0)。则：
θ
x
ρ
y
(15) 定积分中容易混淆的x与t的关系的问题
对于定积分，被积表达式中的无所谓t还是x，最后都会被积分上下限所替代.所以在变限函数积分的上下限中含x的时候，被积表达式用t表示以示区别。当然如果此时被积表达式中含x和t,在二者都有的情况下,则把x看成常数提到外面或者换元换走x。
例证:
定积分证明问题中关于x与t化简后的计算方法:
2. 补充知识(课外补充)
☆【积分中值定理及其应用】☆
积分中值定理是积分学的一个重要性质。它建立了定积分与被积函数之间的关系，从而使我们可以通过被积函数的性质研究积分的性质,有较高的理论价值以及广泛的应用.
一、积分中值定理的内容
定理①：积分第一中值定理
定理②：推广的积分第一中值定理
二、积分中值定理的应用
由于该定理可以使积分符号去掉，从而使问题简化，对于证明包含函数积分和某个函数之间的等式或不等式,常可以考虑使用积分中值定理
在应用积分中值定理时应注意以下几点:
①在应用中应注意被积函数在区间［a，b］上这一连续条件，否则结论不一定会成立
②在定理中的g（x)在[a,b］上面不能变号，这个条件也不能去掉。
③定理中所指出的ξ并不一定是唯一的，也不一定必须是［a，b]内的点
下面就其应用进行讨论
（1）估计定积分的值
（2)求含有定积分的极限
说明：解决此类问题的关键是用积分中值定理去掉积分符号。在应用该定理时，要注意中值ξ不仅依赖于积分区间,而且依赖于限式中n的趋近方式。
（3)证明中值ξ的存在性命题
说明:在证明有关题设中含有抽象函数的定积分等式时，一般应用积分中值定理。
（4）证明积分不等式
说明：由于积分有许多特殊的运算性质，故积分不等式的证明往往具有很强的技巧性.在证明含有定积分的不等式时,也常考虑使用积分中值定理,以便去掉积分符号。若被积函数是两个函数之积时,可考虑使用广义积分中值定理。
（5）证明函数的单调性
三、积分中值定理的拓展
(1)第二积分中值定理
如果函数f（x）在闭区间［a，b]上可积,而g（x）在区间（a，b)上单调，则在[a，b］上至少存在一点ξ，使得:
特别地，g（x）在［a,b］上单调递增，则：
（2)特殊积分中值定理
若函数f(x）在区间［a，b］上连续,g(x）在［a，b］上可积且不变号，则在［a,b］上必存在一点ξ，使得：
（3）第二积分中值定理和特殊积分中值定理统称为“广义积分中值定理"。
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