论文----浅谈微积分思想在几何中的应用.doc
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1、毕 业 论 文题 目: 浅谈微积分思想在几何 问题中的应用 学 院: 数学与统计学院 专 业: 数学与应用数学 毕业年限: 2013年 学生姓名: * 学 号: * 指导教师: * 指导教师预评评语指导教师职称预评成绩 年 月 日答辩小组评审意见答辩小组评定成绩答辩委员会终评意见答辩委员会终评成绩答辩小组组长(签字):年 月 日答辩委员会主任(签章):年 月 日说 明:1。 成绩评定均采用五级分制,即优、良、中、及格、不及格。2. 评语内容包括:学术价值、实际意义、达到水平、学术观点及论证有无错误等。目录摘要2关键字2Abstract2Keywords21微积分介绍3 1。1微积分的基本内容3
2、2微分在几何问题中的应用5 2.1一元微分的几何应用5 2.2多元微分的几何应用73积分在几何问题中的应用9 3。1定积分的几何应用9 3.2二重积分的几何应用16 3。3三重积分的几何应用17结束语20参考文献21浅谈微积分思想在几何问题中的应用*(西北师范大学数学与统计学院 甘肃 兰州 730070)摘要:微积分思想在几何问题中的应用主要分为一元微分、多元微分、定积分、二重积分、三重积分分别在几何问题中的应用。一元微分可以求曲线的长;多元微分可以求曲线的切线、切平面、法线、法平面;定积分可以求曲线的长、图形的面积、立体的体积;二重积分可以求图形的面积、立体的体积;三重积分可以求立体的体积.
3、关键词:一元微分 多元微分 定积分 二重积分 三重积分 曲线的长 面积 体积Application of differential calculus thought in geometric problems。Lv Danqin(College of mathematics and statistics, Northwest Normal University, Gansu Lanzhou 730070)Abstract: Application of differential calculus thought in geometric problems consists of a diffe
4、rential, multiple differential, integral, double integral, integral respectively three applications in geometric problems。 A differential can find the length of the curve; tangent, multivariate differential can find the curve tangent plane, normal, normal plane; definite integral can be the length o
5、f the curve, the graph area, volume of solid; double integral can be graphics area, three-dimensional volume; three points can be obtained three-dimensional volume。 Keywords: A differential multiple differential ntegral double integral three integral curve length area volume1微积分介绍1。1微积分的基本内容1。1.1一元微
6、分定义:设有函数,若存在常数A,使得对于自变量的改变量,函数的改变量可以表示为:,则称在点处可微,并称为在点处的微分,记为或,即=或=。几何意义:表示曲线在点处的切线上的点的纵坐标相应于的增量。1。1.2多元微分 多元微分又叫全微分,是由两个自变量的偏导数相对应的一元微分的增量表示的。定义:设有二元函数,若存在常数A,B使得对于自变量和的改变量和,函数的改变量可以表示为则称函数在点可微,并称为在点处的全微分,记为或,即或.1。1.3定积分定义:设函数在区间上有定义,用分点将区间分成n个小区间,小区间的长度为,记,在每个小区间上任取一点,作乘积和式成为积分和,当(即n无限增大)时积分和的极限如果
7、存在,且此极限与的分法及的取法无关,则称函数在区间上是可积的,并称此极限为函数在区间上的定积分,记作。其中符号“”称为积分符号,称为被积函数,称为积分变量,区间称为积分区间,称为积分下线,称为积分上限。1.1。4二重积分定义:设是定义在平面有界闭区域上的有界函数对区域的任意划分以及任意属于的点,作和式(其中表示的面积)。当时(为的直径),如果不论对怎样划分,点怎样选取,上述和式都趋于同一常数,则称函数在区域上是可积的,并称该常数为函数在区域D上的二重积分,记作,即. 其中叫做被积函数,叫做被积表达式,叫做面积元素,和叫做积分变量,叫做积分区域。1。1。5三重积分定义:设是定义在空间有界闭区域上
8、的有界函数。对区域的任意划分以及任意取法,作和式(其中表示的体积)。当(为的直径),如果不论对怎样划分,点怎样选取,上述和式都趋于同一常数,则称函数在区域上是可积的,并称该常数为函数在区域上的三重积分,记为,即。 其中叫做被积函数,叫做体积元素,叫做积分变量,叫做积分区域。2微分在几何问题中的应用2。1一元微分的几何应用2.1.1求平面曲线的切线 若函数在包含的区间上可导,则曲线在点有切线,切线方程为。例1、写出过点而与曲线相切的直线的方程。解:将曲线方程写成函数形式.设所求直线与曲线相切于点,则直线斜率为。根据直线斜率意义可得 。 将和代入上式得到关于u的方程 . 整理后得二次方程,解得或,
9、 即切点可能是或; 所以满足要求条件的切线有两条,用两点式直线方程写出 整理后分别为:和如图一图一2。1。2求参数方程曲线的切线 设曲线由下列参数方程表示,函数和都在区间上可导,则对于任意,当时,对应的上的点处有切线,其方程为。这里。也就是说,是曲线在处切线的方向向量。例2、设曲线的参数方程为,求曲线上对应于的点处的切线方程.解:计算得 故曲线上对应于处的切线的方向向量为结合,可得点处的切线方程为, 整理得2.2多元微分的几何应用2。2。1空间曲线的切线与法平面设曲线的参数方程为,并假设参数方程中三个函数的导数均存在,且在的某一个确定值处,三个导数不同时为零。设取参数时,对应曲线上的点为则有直
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