论文----浅谈微积分思想在几何中的应用.doc

毕 业 论 文
题 目: 浅谈微积分思想在几何
问题中的应用
学 院: 数学与统计学院
专 业： 数学与应用数学
毕业年限： 2013年
学生姓名： ＊**
学 号： **＊*＊**＊＊＊＊*
指导教师： ＊*
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指导教师

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预评成绩

年 月 日
答辩小组评审意见
答辩小组评定成绩

答辩
委员
会终
评意
见
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答辩小组组长（签字）:
年 月 日
答辩委员会主任（签章）：
年 月 日
说 明：1。 成绩评定均采用五级分制，即优、良、中、及格、不及格。
2. 评语内容包括：学术价值、实际意义、达到水平、学术观点及论证有无错误等。
目录
摘要……………………………………………………………………2
关键字…………………………………………………………………2
Abstract………………………………………………………………2
Keywords………………………………………………………………2
1微积分介绍…………………………………………………………3
1。1微积分的基本内容……………………………………………3
2微分在几何问题中的应用…………………………………………5
2.1一元微分的几何应用…………………………………………5
2.2多元微分的几何应用…………………………………………7
3积分在几何问题中的应用…………………………………………9
3。1定积分的几何应用……………………………………………9
3.2二重积分的几何应用…………………………………………16
3。3三重积分的几何应用…………………………………………17
结束语…………………………………………………………………20
参考文献………………………………………………………………21
浅谈微积分思想在几何问题中的应用
*＊＊
(西北师范大学数学与统计学院 甘肃 兰州 730070）
摘要：微积分思想在几何问题中的应用主要分为一元微分、多元微分、定积分、二重积分、三重积分分别在几何问题中的应用。一元微分可以求曲线的长；多元微分可以求曲线的切线、切平面、法线、法平面；定积分可以求曲线的长、图形的面积、立体的体积；二重积分可以求图形的面积、立体的体积；三重积分可以求立体的体积.
关键词：一元微分 多元微分 定积分 二重积分 三重积分 曲线的长 面积 体积
Application of differential calculus thought in geometric problems。
Lv Danqin
（College of mathematics and statistics, Northwest Normal University, Gansu Lanzhou 730070)
Abstract： Application of differential calculus thought in geometric problems consists of a differential， multiple differential， integral， double integral， integral respectively three applications in geometric problems。 A differential can find the length of the curve； tangent， multivariate differential can find the curve tangent plane， normal， normal plane； definite integral can be the length of the curve, the graph area, volume of solid; double integral can be graphics area， three-dimensional volume; three points can be obtained three-dimensional volume。
Keywords： A differential multiple differential ntegral double integral
three integral curve length area volume
1微积分介绍
1。1微积分的基本内容
1。1.1一元微分
定义：设有函数，若存在常数A,使得对于自变量的改变量，函数的改变量可以表示为：,则称在点处可微，并称为在点处的微分，记为或，即=或=。
几何意义：表示曲线在点处的切线上的点的纵坐标相应于的增量。
1。1.2多元微分
多元微分又叫全微分，是由两个自变量的偏导数相对应的一元微分的增量表示的。
定义：设有二元函数，若存在常数A，B使得对于自变量和的改变量和，函数的改变量可以表示为则称函数在点可微，并称为在点处的全微分，记为或,即或.
1。1.3定积分
定义：设函数在区间上有定义，用分点将区间分成n个小区间，小区间的长度为，记,在每个小区间上任取一点,作乘积和式成为积分和,当（即n无限增大）时积分和的极限如果存在,且此极限与的分法及的取法无关，则称函数在区间上是可积的,并称此极限为函数在区间上的定积分，记作。
其中符号“”称为积分符号，称为被积函数，称为积分变量，区间称为积分区间，称为积分下线,称为积分上限。
1.1。4二重积分
定义：设是定义在平面有界闭区域上的有界函数对区域的任意划分以及任意属于的点，作和式（其中表示的面积）。当时（为的直径），如果不论对怎样划分，点怎样选取，上述和式都趋于同一常数,则称函数在区域上是可积的，并称该常数为函数在区域D上的二重积分,记作，即.
其中叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做面积元素，和叫做积分变量，叫做积分区域。
1。1。5三重积分
定义：设是定义在空间有界闭区域上的有界函数。对区域的任意划分以及任意取法，作和式（其中表示的体积）。当（为的直径），如果不论对怎样划分，点怎样选取,上述和式都趋于同一常数，则称函数在区域上是可积的,并称该常数为函数在区域上的三重积分，记为，即。
其中叫做被积函数，叫做体积元素，叫做积分变量，叫做积分区域。
2微分在几何问题中的应用
2。1一元微分的几何应用
2.1.1求平面曲线的切线
若函数在包含的区间上可导，则曲线在点有切线，切线方程为。
例1、写出过点而与曲线相切的直线的方程。
解:将曲线方程写成函数形式.设所求直线与曲线相切于点，则直线斜率为。根据直线斜率意义可得
。
将和代入上式得到关于u的方程
.
整理后得二次方程，解得或，
即切点可能是或;
所以满足要求条件的切线有两条，用两点式直线方程写出
整理后分别为：和
如图一
图一
2。1。2求参数方程曲线的切线
设曲线由下列参数方程表示，，函数和都在区间上可导，则对于任意，当时，对应的上的点处有切线,其方程为。这里。也就是说，是曲线在处切线的方向向量。
例2、设曲线的参数方程为，求曲线上对应于的点处的切线方程.
解：计算得
故曲线上对应于处的切线的方向向量为
结合，可得点处的切线方程为，
整理得
2.2多元微分的几何应用
2。2。1空间曲线的切线与法平面
设曲线的参数方程为，并假设参数方程中三个函数的导数均存在，且在的某一个确定值处，三个导数不同时为零。设取参数时，对应曲线上的点为则有直线的两点式得割线方程为。向量为割线的方向向量，向量同样是割线的方向向量，所以割线方程可表示为.
当时,点沿曲线趋于点,因为不同时为零,所以非零向量为曲线在点处的切线方向向量，切线的方程为。
向量又称为曲线在点处的切向量，显然向量s又是曲线上的点处的法平面的法向量，所以曲线在点处的法平面方程为。
例3、求柱面螺旋线在处的切线方程与法平面方程。
解:因为，，
.
故当时,对应点为
所以在点处的切线方程为
法平面方程为，或.
例4、求曲线在点（1，1,1)处切线方程。
解：对方程两边同时对自变量求导数并移项，得
的条件下,由克拉默法则，得
，，
所以,。
所以曲线在点（1,1,1)处的切向量为,
故曲线在点（1，1，1）处的切线方程为，
即.
2。2。2曲面的切平面与法线
设曲面的方程为,曲面上一点,设函数在点处具有连续的偏导数(即在点处连续）,且不同时为零（不全为零）。设曲面上过点的任意一条曲线的参数方程为，设时,对应于曲面上的点,且存在但不完全为零.向量垂直于曲面上过点的任意曲线在该点处的切线。这就是说，过点M0的的所有曲面曲线在点处的切线都在过点且垂直于向量的平面上,所以平面为曲面在点处的切平面，向量即为切平面的法向量。曲面在点处的切平面方程为.又因为曲面在点处的的法向量,所以曲面在点处的法线方程为。
例5、设曲面 上点处有，求曲面在此点处的切平面方程及法线方程。
解：由题意知曲面在给定点处的法向量
切平面方程为，
即。
法线方程为.
3积分在几何问题中的应用
3。1定积分的几何应用
3。1.1求平面曲线的弧长
设平面曲线方程具有连续导数，则其弧长微分为,从而曲线位于区间[a,b］中的弧长为。
例6、计算曲线的弧长(图二）
图二
解：由于，故由弧长公式知
即曲线的弧长约为。
例7、设为心脏线的下半部，求的弧长.
解:心脏线下半部分的极坐标方程为，所以。故
3。1。2求平面曲线的全长
例8、计算星形线的全长。
解：因为，.
星形线是对称曲线，得
3。1。3求曲线包围的面积
由曲线，直线所围成的底边在轴上的曲边梯形的面积为。
由曲线，直线所围成的底边在轴上的曲边梯形的面积为.
由曲线，直线及轴所围成的平面图形的面积为。
由曲线，直线及轴所围成的平面图形的面积为。
例9、求由曲线所围成的图形面积.
解：所围成的图形如图三，记为
图三
求曲线的交点，解得.
所以在区间[0,1]，.
在区间，。
故所围成图形的面积为。
例10、计算包围在双纽线内部及圆外部图形的面积.
解：易见双纽线函数的周期为，且根据双纽线函数的定义区间和余弦函数性质知在即部分没有图形，由周期性知在也没有图形。且其图形对称于极轴，从而其图形分布在及之间。
设所求图形面积为，则有对称性知应为第一象限部分面积的四倍。下图阴影部分是位于第一象限中的情形。
图四（图中q即为θ)
先求出两曲线交点：得交点为。从而
3.1。4求旋转体的表面积
按照定积分的元素法,对于分点，因为,所以可以将弦绕x轴形成的侧面积来代替曲线弧形成的侧面积,从而当函数可导时，（以切线长带弦）对于曲线绕y轴旋转的情况，可得，，。
例11、求的曲线绕x轴旋转所成图形的表面积.
解：由得
3.1.5求立体的体积
3.1。5.1旋转体体积
由连续曲线在区间上围成的曲边梯形绕轴旋转一周形成的旋转体的体积为。
由曲线，直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转而成的旋转体的体积为。
例12、求,,及围成的图形围绕轴旋转所得的旋转体的体积.
解：易见所求旋转体体积等于（即)在区间上围绕轴形成的旋转体与(即）在区间上围绕轴形成的旋转体的体积之差。由图五可知，在区间上，
图五
所以
3.1。5。2已知平行截面表达式的立体体积
设所给立体垂直于轴的截面面积为，区间上连续，则对应于小区间的体积元素为，因此所求立体体积为.
例13、设有一几何体，其底面为xy平面上的圆，而用任何位于区间而垂直于轴的平面去截该几何体，截面都是正三角形.求其体积。
解：过轴上区间任意点作垂直于轴的平面与几何体相交，得截面为正三角形，因而其面积为
从而知该几何体体积为
3.2二重积分的几何应用
3.2。1求曲线围成的面积
3。2。1.1在直角坐标系下
当所求区域为型区域时，有；
当所求区域为型区域时,则有。
例14、用二重积分求曲线及轴在第一象限所围成的区域的面积。
解：记所求区域为，其面积为,则
3.2.1.2在极坐标系下
如果，则在极坐标系下有
例15、计算心脏线所围成的平面区域的面积。
解：因为对任意，,所以心脏线所围区域可表示为，故其面积为
3.2。2求立体的体积
体积,其中为曲顶柱体的曲顶.
例16、计算由三个平面所围成的柱体被平面及截得的立体的体积。
解:所求立体是一个曲顶柱体，曲顶方程是:.区域，所以
3.3三重积分的几何应用（求立体的体积）
3.3.1在空间直角坐标系下
设积分区域由集合所确定，这里在平面上的投影区域是一个型区域，它对于平行于轴且通过内点的直线与的边界至多交于两点。现设在上连续，在上连续，在［a,b]上连续，则有
同样的，当把区域投影到平面或平面上时,也可写出相应的累次积分。
例17、计算，其中为由平面与所围的区域.
解：在平面上的投影区域是型区域，这里,所以有
3.3。2在柱面坐标下
柱面坐标系与直角坐标系变量间的关系：
，由于变换的函数行列式
，所以，三重积分的柱面坐标换元公式为，这里为在柱面坐标变换下的原象.
例18、计算，其中是由曲面与为界面的区域。
解：在平面上的投影区域D为.按柱面坐标变换,区域可表示为所以有
。
3.3.3在球面坐标下
球面坐标系与直角坐标系变量间的关系:
，由于变换的函数行列式
，当在上取值时，所以，三重积分的柱面坐标换元公式为，这里为在球面坐标变换下的原象。
例19、求由圆锥体和球体所确定的立体体积，其中和为常数。
解：在球坐标变换下，球面方程可表示成，锥面方程可表示成。因此
求得的体积为
.
结束语
微积分思想在几何问题中的应用主要分为一元微分、多元微分、定积分、二重积分、三重积分分别在几何中的应用，这些应用主要包括求曲线的长、求图形的面积、求立体的体积。也许还有其他应用,这就需要我们去探索研究.
参考文献
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