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平面向量坐标运算

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平面向量坐标运算
【教材分析】：本课是在平面向量坐标运算、内积定义基础上学习的，主要知识是平面向量内积的坐标运算与平面内两点间的距离公式，是后面学习曲线方程的重要公式和推导依据，是进一步学习相关数学知识的重要基础。
【教学目标】
1. 掌握平面向量内积的坐标表示，会应用平面向量内积的知识解决平面内有关长度、两向量的夹角和垂直的问题．
2. 能够根据平面向量的坐标，判断两向量是否垂直，求两向量的夹角等。
3. 通过学习平面向量的坐标表示，使学生进一步了解数学知识的相同性，培养学生辩证思维能力．提高学生数学知识的应用能力。
【教学重点】：平面向量内积的坐标公式式，平面向量垂直的充要条件，平面内两点间距离公式的应用．
【教学难点】：平面向量内积的坐标公式的推导和应用。
【教学方法】 本节课采用问题启发式教学和讲练结合的教学方法．
【教学过程】
环节
教学内容
师生互动
设计意图
复
习
导
入
前面我们学习了平面向量的平面直角坐标及其运算下面一起来回忆下这些知识：1.在平面直角坐标系中，是基向量，他们的坐标如何表示？任意向量的坐标如何表示？的坐标如何表示？
2.上节课我们学习了向量的内积，是怎么定义的呢？
· =
=
3． 有哪些重要性质？
·= =
Û 　　　　　　；
| |=
∣·∣≤
4.满足哪些运算律
(1)交换律：· =·
(2)结合律：(λ)·＝λ(·)＝·(λ)；
(3)分配律：(＋)·＝·＋·
5.那么如何用坐标来表示·呢？
教师提出问题．
学生回忆解答．师生共同回忆旧知识．

师：对平面向量的内积的研究不能仅仅停留在几何角度，还要寻求其坐标表示．引出探究问题．

为知识迁移做准备．

新
课
知
识
讲
解

例
题
讲
解

练
习
巩
固

例
题
讲
解

练
习
巩
固

新
课

已知， 是直角坐标平面上的基向量，如果＝(a1，a2)，
＝(b1，b2)，你能推导出· 的坐标公式吗？
探究过程
·＝(a1＋a2)·(b1＋b2)
＝a1b1·＋a1b2·＋a2b1·＋a2b2·，
又因为
·＝1，·＝1，·＝0，
所以
·＝a1b1＋a2b2．
定理 在直角坐标平面xoy中，如果＝(a1，a2)，＝(b1，b2)则
·＝a1b1＋a2b2．
即：两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积的和．
因此可以推出两向量垂直的充要条件为
⊥Û a1 b1＋a2 b2＝0；
问题：(1)若已知=(a1，a2) ，你能用上面的定理求出| | 吗？
解 因为
| |2=·=(a1，a2)·(a1，a2)
＝a12＋a22，
所以| |=．
这就是根据向量的坐标求向量长度的计算公式．
因此可推出两非零向量夹角余弦值公式为
cos‹，›＝．

例1 设＝(3，－1)，＝(1，－2)，求：
(1) ·； (2) | |；
(3) | |； (4)‹ ，›．
解 (1) ·＝3×1＋(－1)×(－2)＝3＋2＝5；
(2) | |＝＝；
(3) ||＝＝；
(4) 因为
cos‹，›＝＝＝，
因为0≤‹，›≤所以‹，›＝．
配套学生练习：
已知＝(0，2)，＝(-2，2)，求：
(1) ·； (2) | |；
(3) | |； (4)‹ ，›．
问题
(2)若已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何求|| ？
解 因为A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以
＝(x2－x1，y2－y1)．
所以||＝，
这就是根据两点的坐标求两点之间的距离公式．
例2 已知A(2，－4)，B(－2，3)，求||．
解 因为A(2，－4)，B(－2，3)，所以
＝(－2，3) －(2，－4)
＝(－4，7)，
所以||＝＝．

学生练习： 已知A(2，1)，B(6，3)，C(5，0)，求：△ABC三边的长，并判别△ABC是否为等腰三角形．

例3已知A(1，2)，B(2，3)，C(－2，5)，求证：^．
证明 因为
＝(2－1，3－2)＝(1，1)，
＝(－2－1，5－2)＝(－3，3)，
可得
·＝(1，1)·(－3，3)＝0．
所以 ^ ．

练习
快速判别上面的练习中的△ABC是否为等腰直角三角形？
学生讨论并回答，教师再提出的下列问题：
（1）(a1＋a2)·(b1＋b2))是怎样进行运算的？
（2）·，· ，·的内积是怎样计算的？
教师给出向量内积的直角坐标运算公式．并引导学生用文字叙述．

在教师的引导下学生讨论得出．
教师提出问题，稍加点拨．
学生讨论解答．
教师总结得出这就是根据向量的坐标求向量长度的计算公式．
教师例题分析讲解
学生边学边用

学生练习巩固所学知识

教师提出问题．

学生讨论解答．
教师总结得出这就是根据两点的坐标求两点之间的距离公式．

学生尝试解答．教师针对学生的回答进行点评．

学生练习，巩固所学知识

教师点拨，学生解答．
教师针对学生的回答进行点评．

问题为复习向量的线性运算和向量的内积而设计．通过学生的探究给出结论，比直接给出更符合学生的特点，容易被学生接受．通过结论的探究，让学生初步感受到无论是向量的线性运算还是向量的内积运算，最终都归结为直角坐标运算．
从而归纳总结出公式及数学规律

通过例1可让学生加深对向量内积的直角坐标运算公式及向量的长度公式的理解和记忆．

使刚刚学过的知识及时得到应用．让学生在边学边用中巩固知识，形成技能．

采用问题诱导式让学生更易理解和接受

通过例2可让学生加深对平面内两点间距离公式的理解和记忆．

学习新知后紧跟练习，有利于帮助学生更好的梳理和总结本节所学内容．有利于教师检验学生的掌握情况．
小
结
本节课我们主要学习了平面向量内积的坐标运算与距离公式，常见的题型主要有：
(1)直接用两向量的坐标计算平面向量的内积；
(2)根据向量的坐标求该向量的模（长度）；
(3)根据两点坐标求这两点间的距离；
(4)运用平面向量的性质判定平面内两向量是否垂直？
学生阅读课本,畅谈本节课的收获，老师引导梳理，总结本节课主要的知识点．
梳理总结也可针对学生薄弱或易错处进行强调和总结．
作
业
教材 P56 练习A 组第 1 题；
教材 P57 练习 B 组第1题(选做)．

巩固拓展．

【设计理念】
数学学习是一个知识理解、迁移、转化的过程，因此要实现教学的有效性，必须知识点的迁移、转化，引导学生充分利用自己已有的知识与经验，通过对问题的探究与解决，实现数学知识的转化，从而实现数学知识的归纳和应用，达成教学目标。

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