球的体积教案.doc

球的体积教案
　　教学目的
　　通过“球的体积"的教学,不仅要求学生熟记球的体积公式，更要培养学生观察、估算、猜想、构造和论证能力．并注意完善学生的认知结构．
　　［若只要求学生记住有关公式,剩下的就是反复练习——解几个一元方程；已知半径求体积；已知体积求半径，……;这是降低教学要求．]
　　教学过程
　　师：(板书)已知球的半径为R,求V球=?(出示小黑板——图1．）
　　［思维从问题开始．]
　　师:为了计算半径为R的球的体积,可以先计算半球的体积V半球．观察图1，你一定能在V圆柱、V半球、V圆锥这三个量之间正确地写上不等符号（学生完成），得
V圆柱＞V半球＞V圆锥．
　　［提供类比，让学生目测大小,温故而知新,用以强化认识过程．]
　　[向“量化”过渡．］
　　你能猜测V半球=？
　　[引诱学生猜想．猜想是发现的开始！］
　　生:……
　　师：可以大胆一些，准许猜错．
　　（此答案不一定出自成绩最好的学生，而是胆大者，思维活跃者．）
　　［既鼓励,又提出更高要求，使学生仍处于激奋境地．］
　　（用行动支持敢于大胆猜想的学生．)
　　师：我们不妨做一个试验，用以验证这个猜想．
　　[理、化有实验，数学也可以有实验．美国盛行“数学实验数学法”,这对激发学生学习兴趣，培养学习能力都十分有利．］
　　（取一个半径为R的半球面,再取半径和高都是R的圆桶和圆锥各一个,都是铁皮制成的容器．将圆锥放入圆桶内(图2)，再将半球容器装满细沙，然后把半球内的细沙倒入圆桶内,发现圆桶恰好被装满．）
　　师：你能将实验结果用一个等式表达出来吗？
　　[鼓励学生将实验结果“量化”（构造一个等式）是十分重要的数学方法．]
　　生甲：（板书．)
V圆柱－V圆锥=V半球．
　　生乙：（板书．）
V半球=V圆柱－V圆锥
　　师:于是得（板书）
　　且 V圆柱∶V半球∶V圆锥=3∶2∶1．
　　师：中学数学是建立在推理的基础上的,实验结果是否可靠，还要进行论证才行．
　　［中学理、化是建立在实验基础上的．用数学工具去证明实验结果，学生兴趣盎然．］
　　师：我们现在的任务是证明这个实验结果．或者说，是要证明图2右边充满细沙的几何体与左边充满细沙的半球是等积形．而右边几何体的体积是已知的．(板书．)
　　如果再能证明它又符合祖暅原理中的“条件"，我们就可以将它作为半球的参照体了．
　　(为了运用祖暅原理，所引入的几何体必须符合两个条件：一是它的计算公式是已知的;二是它符合祖暅原理的条件，即该几何体与原几何体要夹在两个平行平面之间，且用平行于这两个平面的任意一个平面去截时,截得的截面面积总相等，符合以上两个条件的几何体可叫做原几何体的参照体．在前面推导柱、锥的体积的多次教学中应该引用这个术语，让学生熟悉祖暅原理与该术语的关系．)
　　该几何体与半球同高(R），这说明它与半球可以夹在两个平行平面之间，剩下的问题是要证明它与半球的等距截面的面积相等．
　　用与底面平行的任一平面去截图2的两个几何体(图3），截面分别是圆面和圆环
R，小圆半径为l,因此
　　S圆=πr2=π（R2－l2)，
　　S圆环=πR2－πl2=π（R2－l2)，
　　所以S圆=S环．
　　根据祖暅原理，这两个几何体的体积相等,即
　　由此,“猜想"得到证明,可以写成定理形式：
　　［从猜想到证明是“质”的升华！是学习数学的最重要的素质．]
　　定理：如果球的半径是R，那么它的体积是
　　师：你准备怎样记忆这个结论呢？
　　[不管是意义识记或是机械识记,在这里都是有效的，都是可行的．根据各个学生的学习习惯，不必强求一律．]
　　生甲：根据“细沙实验”，
　　生乙：我只要记住
　　V圆柱∶V半球∶V圆锥=3∶2∶1就行了．
　　师：还有其他的记忆方法吗?例如，把球体视为拟柱体，采用拟柱体的体积公式试试看．
　　[数学教师要不要培养学生的记忆能力，这是有争议的．看来，数学教师有可能，也有必要去培养学生的记忆能力．］
　　生:(板演）
　　(随时复习与应用拟柱体体积公式．)
　　师：这能作为球体积公式的证明吗？
　　生:球体不是拟柱体,不能作为证明，但可以作为一种记忆方法．
　　师:还有其他的记忆方法吗?例如，将球体分割成许多小的锥体，球心是这些小锥体的顶点,锥的底面不是平面,而是球面的一小部分(是曲面）请看图4．
　　[是重要的数学思想．］
　　于是，V球=许多小锥体之和，而这许多小锥体的高可视为球半径R．又因为所有小锥体的底面之和=球面积=4πR2，所以
　　[发展学生的空间想象能力．]
　　同样，这也不能作为球体积公式的证明．但是，使人感到兴趣的是,拟柱体、小锥体与球体的这种“默契”，这种内部的一致，给人们以合谐的感觉，它不仅帮助人们记忆，还给人以和谐美的感受！
　　[升华了！]
　　师:现在再请大家自己解答一个问题:（板书．)
　　［不十分困难的例题由学生自己解答，然后再对照课本并进行议论，有时比教师直接讲解要收效大些,不妨一试．]
　　有一种空心钢球，重142 g，测得外径等于5。0 cm，求它的内径（钢比重是7。9g/cm3)．
　　师：这是课本的例题，解完后自行对照课本．
　　（学生议论，同时由一位学生板演．）
　　师：今天这堂课的关键是构造一个球的参照体,而“细沙实验"帮助我们解决了这个问题．你能离开实验，经过分析直接构造这个参照体吗？
　　(代替小结，将课内效果引向课外——直接构造参照体．）
　　教案说明
　　这份教案显然是写给别人看的，如果只是为了自己教学,我想，只要记下教学过程就行了：
　　(1)提出问题：V球=?
　　（2）自测圆柱、半球、圆锥这三者之间的大小关系(图1）．
　　(4)细沙实验-—验证“猜想”．
　　（5）构造参照体，证明“猜想”．
　　（6）得定理、谈记忆．
　　(7)例题、小结、作业．
　　我为什么要采取上面这几个环节？理由如下：
　　目前的数学教材是从少数公理和原理出发，通过演绎，将知识展开．于是，过程(1)～(4)都可以省略．并且,“参照体”也是由教材直接给出的(不需要构造)．师生的
和方法用定论的形式直接呈现在学生面前，新、旧知识的衔接点直接给出，内化任务很快就完成．因此，这种做法的优点是直截了当，节约时间;缺点是学生缺乏一个完整的认识过程,把知识或方法不是作为“过程”而是作为“结果”直接抛给学生．长此以往,越“抛”越多，学生头脑中很难形成一个有效的认知结构，结果成绩分化,出现大量差生．
　　反之,插入环节(1)～(4),则环节（5）的“构造参照体"（这是全课的关键)就十分自然．从“目测"到“猜想"，这是“发现”;从“猜想”到“实验”，这是强化“发现”，而环节（5)则是内化．这种先发现后内化的过程又是在教师指导下进行的，教师的主导作用和学生的学习积极性十分融洽．
　　“目测”、“大胆猜想”、“实验”等环节，所有差生都有发言权,优生也不乏味；从“实验"到“构造参照体”,随流而下,直闯关键(出现参照体)，终达彼岸(得定理)．最后“谈记忆”,生动活泼，乃至升华;“小结提问"，余味不尽．
　　数学教学的实质是思维过程的教学,“直截了当”则掩盖了“思维过程”，把知识和方法不是作为思维过程暴露在学生面前，而是作为结果抛给学生，这种“奉送”的做法势必回避了数学思想的培养．长此以往,学生的数学素质很难得到提高．
　　最后,还要说明一点，“构造参照体”是本课的难点,本教案采用了“细沙实验”，也就回避了“构造性困难"，因此本教案是为普通班设计的．而“好班”就不应该回避构造困难，何况“构造参照体”是运用祖暅原理的关键，也是学习这一段教材（从柱体开始）的关键所在．因此，建议根据学生情况补充下述内容:
　　参照体与祖暅原理
　　为了利用祖暅原理计算某个几何体的体积,常要构造另一个几何体,此几何体必须符合两个条件：（1）它的计算公式是已知的;（2)它符合祖暅原理的条件，即该几何体与原几何体能夹在两个平行平面之间,且用平行于这两个平面的任意一个平面去截它们时，截得的截面面积总相等．为了下面的叙述方便起见,把符合这两个条件的几何体叫做原几何体的参照体,或简称参照体．
　　用祖暅原理求几何体的体积,关键在于构造参照体．

轴，求该旋转体的体积．
　　解 将此旋转体放在平面α上(图5），用与平面α平行且相距h的平面去截，得
　　这说明参照体的截面可以是一个矩形，其一边长π,另一边长为变量h．于是得
　　［例2］ 求半径为R的半球的体积．
　　［例3］ 汽车内胎或游泳时用的救生圈是旋转体（图6），它的母线是半径为r的圆，圆心与旋转轴MN的距离等于d（d＞r)，能否用构造参照体的思想方法去寻求它的体积公式？
　　解 取环体的上半部研究，它的下底面是圆环(图6,外半径=d+r,内半径=d－r),上底是半径为d的圆周（面积为零)，半环体的高为r．用平行于底面的平面去截，设截面距底面h（h＜r），则截面是另一个圆环(图7）．
　　(变量)，据此，可构造一个参照体如下:取一个半径为r的圆为底面，高为4πd的圆柱的1/4，并将此1/4圆柱横卧（图8),此参照体的体积为圆柱的1/4,由祖暅原理
　　此结论与直觉是一致的：将环体沿断面（图6中的小圆)切开后，拉直成一个圆柱,
　　[培养学生的直觉思维能力．]