导数的计算(教)新课教案.doc

导数的计算一、考点热点回顾教学目标:1使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数、的导数公式； 2掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数教学重点：四种常见函数、的导数公式；教学难点：四种常见函数、的导数公式几个常见函数的导数探究1函数的导数根据导数定义,因为所以函数导数表示函数图像（图3.21）上每一点处的切线的斜率都为0若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态探究2函数的导数因为所以函数导数表示函数图像（图3.22)上每一点处的切线的斜率都为1若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动探究3函数的导数因为所以函数导数表示函数图像(图3。23)上点处的切线的斜率都为，说明随着的变化，切线的斜率也在变化另一方面,从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当时，随着的增加，函数减少得越来越慢；当时，随着的增加，函数增加得越来越快若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做变速运动，它在时刻的瞬时速度为探究4函数的导数因为所以函数导数探究5函数的导数因为所以函数导数（2）推广:若，则函数导数函数导数二、典型例题1下列各式正确的是（）A. (sin )cos （为常数）B。 (cos x)sin xC. （sin x）cos xD。 （x5）x6【答案】C【解析】由导数运算法则易得,注意A选项中的为常数,所以（sin ）0。 选C2下列求导运算正确的是（ )A。 B。 C。 D。 【答案】C【解析】由题意结合导函数的运算法则和导数计算公式可得：，.本题选择C选项.3已知，则等于(）A. B。 C. D。 【答案】D【解析】由题意结合导数的运算法则有:.本题选择D选项.4函数的导函数为（ )A。 B. C。 D. 【答案】D【解析】因为,所以，应选答案D。5已知函数，则这两个函数的导函数分别为 （ ）A。 B。 C。 D。 【答案】C【解析】由导函数的运算法则可得若函数，则这两个函数的导函数分别为 .本题选择C选项.6已知函数f(x）x3的切线的斜率等于3，则切线有（)A1条B2条C3条 D不确定解析：选Bf（x）3x23,解得x1。切点有两个，即可得切线有2条7曲线yex在点A（0，1)处的切线斜率为(）A1 B2Ce D.解析：选A由条件得yex，根据导数的几何意义，可得kyx0e01。8已知f（x）3x，则f（2）（)A10 B5xC5 D10解析：选Df(x）5x，f（2）5210,故选D.9已知f（x)x，若f（1）2,则的值等于（)A2 B2C3 D3解析：选A 若2，则f（x)x2,f(x）2x，f（1）2(1）2适合条件故应选A。10. 曲线yx3在x1处切线的倾斜角为(）A1 BC。 D。解析:选Cyx2,y|x11，切线的倾斜角满足tan 1，0,。11求下列函数的导数：（1）yx8；（2)y4x;(3）ylog3x；（4)ysin；(5）ye2.解:（1)y（x8）8x818x7.(2）y（4x)4xln 4。(3)y（log3x）。（4）y(cos x)sin x.(5）y(e2）0.三、课堂练习1曲线yln x在点M（e，1)处的切线的斜率是_，切线方程为_解析:y（ln x)，yxe。切线方程为y1(xe)，即xey0。答案：xey02已知f（x)a2（a为常数），g(x)ln x，若2xf(x）1g（x）1，则x_。解析：因为f（x)0，g（x),所以2xf（x)1g（x)2x1.解得x1或x,因为x0，所以x1。答案：13设坐标平面上的抛物线C:yx2，过第一象限的点（a，a2）作抛物线C的切线l，则直线l与y轴的交点Q的坐标为_解析：显然点（a,a2）为抛物线C：yx2上的点,y2x,直线l的方程为ya22a(xa)令x0,得ya2，直线l与y轴的交点的坐标为(0,a2）答案：（0,a2)4已知P（1，1），Q（2，4)是曲线yx2上的两点，（1）求过点P，Q的曲线yx2的切线方程（2)求与直线PQ平行的曲线yx2的切线方程解：(1）因为y2x，P（1,1），Q（2，4)都是曲线yx2上的点过P点的切线的斜率k1yx12,过Q点的切线的斜率k2y|x24，过P点的切线方程:y12（x1）,即2xy10。过Q点的切线方程：y44(x2),即4xy40。（2)因为y2x，直线PQ的斜率k1,切线的斜率kyxx02x01,所以x0，所以切点M，与PQ平行的切线方程为:yx，即4x4y10。5质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s，则质点在t4时的速度为（）A。B。C。 D。解析：选Bst。当t4时，s .6直线yxb是曲线yln x（x0）的一条切线，则实数b的值为（)A2 Bln 21Cln 21 Dln 2解析：选Cyln x的导数y，令,得x2,切点为（2,ln 2）代入直线yxb,得bln 21。7在曲线f（x）上切线的倾斜角为的点的坐标为（）A(1,1) B(1,1）C（1，1） D（1,1）或（1,1）解析：选D因为f（x），所以f（x）,因为切线的倾斜角为,所以切线斜率为1，即f(x）1,所以x1，则当x1时,f（1）1；当x1时，f（1）1,则点坐标为（1，1）或（1，1）8设曲线yxn1（nN）在点（1,1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1x2xn的值为（）A。B。C。 D1解析：选B对yxn1（nN）求导得y（n1)xn. 令x1，得在点（1，1）处的切线的斜率kn1,在点(1，1)处的切线方程为y1（n1)（xn1)令y0,得xn，x1x2xn， 故选B.9与直线2xy40平行且与曲线yln x相切的直线方程是_解析：直线2xy40的斜率为k2，又y（ln x），2,解得x.切点的坐标为.故切线方程为yln 22.即2xy1ln 20。答案:2xy1ln 2010若曲线y在点P(a,)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是_解析:y,切线方程为y（xa）,令x0，得y，令y0,得xa，由题意知a2,a4。答案：411已知曲线方程为yf（x）x2,求过点B(3，5)且与曲线相切的直线方程解:设切点P的坐标为(x0，x）yx2,y2x，kf（x0）2x0,切线方程为yx2x0（xx0)将点B(3，5)代入上式，得5x2x0（3x0),即x6x050，（x01)（x05)0,x01或x05,切点坐标为(1,1）或(5,25），故所求切线方程为y12（x1）或y2510（x5)，即2xy10或10xy250.12求证:双曲线xya2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数证明：设P（x0,y0）为双曲线xya2上任一点y.过点P的切线方程为yy0（xx0）令x0,得y;令y0，得x2x0.则切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S2x02a2。即双曲线xya2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为常数2a2。导数的运算法则导数运算法则123（一）导数的加减法运算法则：123、导数的加法与减法法则1导数的加法与减法法则的推导令，所以(）即 说明：对推导方法有兴趣的同学来说，了解足够了，不要求掌握。2导数的加法与减法法则两个函数的和（差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差）,即，和（差）函数求导法则由两个可以推广到个.(二）导数的乘除法运算法则1；2 ;3；1导数的乘法、除法法则的推导:令，即同理可得:说明：对推导方法有兴趣的同学来说，了解足够了，不要求掌握。2导数的乘法、除法法则：两个函数积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数的和，即。若为常数,则.由以上两个法则可知：，为常数。两个函数商的导数，等于分子的导数与分母的积减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方。即二、典型例题1设则等于( ）A。 B。 C. D。 【答案】D【解析】由，得。故选D.2函数的导函数为（ ）A。 B. C. D。 【答案】D【解析】因为，所以，应选答案D。3若,则_【答案】【解析】结合函数的解析式和导函数的运算法则有：.4解下列导数问题：(）已知，求（)已知，求【答案】(1） （2）【解析】试题分析：（1）根据题干对函数求导将1代入导函数即可;(2）根据三角函数求导公式和分式型的求导公式计算即可。解析：（）因为,所以 ，所以（),根据导函数的计算公式可得5求下列函数的导数（1）;（2)【答案】(1）(2）【解析】（1）（2)因为，所以考点：求函数的导数6求下列函数的导数：（1）;（2)。【答案】（1）;（2)。【解析】试题分析：直接利用导数的乘除法则及基本初等函数的求导公式求解。试题解析：（1)（2）。三、 课后练习1已知函数f（x)ax2c，且f(1）2,则a的值为(）A1B。C1 D0解析：选Af(x)ax2c，f(x)2ax，又f（1）2a，2a2,a1.2函数y(x1)2（x1）在x1处的导数等于（)A1 B2C3 D4解析：选Dy（x1）2（x1）(x1)2(x1)2（x1）（x1）（x1）23x22x1,y|x14。3曲线f(x）xln x在点x1处的切线方程为()Ay2x2 By2x2Cyx1 Dyx1解析：选Cf（x)ln x1，f（1)1，又f（1）0，在点x1处曲线f(x)的切线方程为yx1.4。 已知物体的运动方程为st2（t是时间,s是位移），则物体在时刻t2时的速度为（）A。B。C。 D。解析:选Ds2t,s|t24.5设曲线yaxln（x1）在点（0，0）处的切线方程为y2x,则a(）A0 B1C2 D3解析：选Dya，由题意得yx02，即a12,所以a3。6曲线yx3x3在点(1，3）处的切线方程为_解析：y3x21，yx131212.切线方程为y32(x1），即2xy10。答案：2xy107已知曲线y12与y2x3x22x在xx0处切线的斜率的乘积为3，则x0_。解析：由题知y1，y23x22x2,所以两曲线在xx0处切线的斜率分别为，3x2x02，所以3，所以x01。答案：18已知函数f（x)fcos xsin x,则f的值为_解析：f(x）fsin xcos x,ff，得f1.f（x)（1）cos xsin x。f1.答案:19求下列函数的导数：(2）y；（3）y；解：（2)y 。（3）y。10偶函数f（x）ax4bx3cx2dxe的图象过点P（0，1),且在x1处的切线方程为yx2，求f（x）的解析式解：f(x）的图象过点P(0，1），e1.又f(x)为偶函数，f（x）f（x）故ax4bx3cx2dxeax4bx3cx2dxe。b0，d0.f（x）ax4cx21。函数f(x）在x1处的切线方程为yx2，切点为（1，1)ac11。f（x）x14a2c，4a2c1。a，c。函数f（x）的解析式为f（x）x4x21。1若函数f（x）ax4bx2c满足f（1）2,则f（1）等于()A1B2C2 D0解析：选Bf（x）4ax32bx为奇函数，f(1)f（1)2。2曲线yxex1在点（1,1）处切线的斜率等于（)A2e BeC2 D1解析:选C函数的导数为f(x）ex1xex1(1x)ex1，当x1时，f（1）2，即曲线yxex1在点（1，1）处切线的斜率kf(1）2,故选C。3已知函数f（x）的导函数为f(x），且满足f(x）2xf（e）ln x,则f（e）（)Ae1 B1Ce1 De解析：选Cf(x）2xf（e)ln x，f（x）2f（e），f(e)2f(e），解得f(e)，故选C。4若f(x)x22x4ln x,则f(x）0的解集为()A(0，） B（1,0）（2，）C（2,) D(1,0)解析：选Cf（x）x22x4ln x，f(x)2x20，整理得0，解得1x0或x2，又因为f（x)的定义域为（0,），所以x2.5已知直线y2x1与曲线yln(xa)相切，则a的值为_解析：yln（xa)，y，设切点为（x0，y0），则y02x01，y0ln（x0a），且2,解之得aln 2。答案:ln 26曲线y在点（1,1）处的切线为l,则l上的点到圆x2y24x30上的点的最近距离是_解析:y，则y1,切线方程为y1（x1），即xy20，圆心(2,0）到直线的距离d2,圆的半径r1，所求最近距离为21。答案：217已知曲线f（x)x3axb在点P(2,6）处的切线方程是13xy320。（1）求a，b的值；（2）如果曲线yf(x）的某一切线与直线l：yx3垂直，求切点坐标与切线的方程解：(1)f（x）x3axb的导数f（x）3x2a，由题意可得f(2)12a13，f（2）82ab6，解得a1，b16。（2）切线与直线yx3垂直，切线的斜率k4。设切点的坐标为（x0，y0）,则f(x0）3x14，x01。由f（x）x3x16，可得y0111614，或y0111618。则切线方程为y4(x1)14或y4（x1)18.即y4x18或y4x14。8设fn（x)xx2xn1，x0,nN，n2。(1)求fn(2);(2）证明：fn(x）在内有且仅有一个零点（记为an),且0an。解:（1)由题设fn(x)12xnxn1。所以fn（2）122(n1）2n2n2n1，则2fn（2)2222（n1）2n1n2n，得，fn（2）12222n1n2nn2n（1n）2n1，所以fn（2）(n1)2n1。(2)因为f（0）10，fn112n1220，因为x0,n2。所以fn（x)xx2xn1为增函数,所以fn(x)在内单调递增，因此fn（x）在内有且仅有一个零点an.由于fn（x)1，所以0fn(an）1,由此可得ana，故an.所以0anan1。12