概率论与数理统计知识点总结37739.doc

《概率论与数理统计》
第一章随机事件及其概率
§1.1 随机事件
一、给出事件描述，要求用运算关系符表示事件：
二、给出事件运算关系符，要求判断其正确性:
§1。2 概率
古典概型公式：P(A）=
实用中经常采用“排列组合”的方法计算
补例1：将n个球随机地放到n个盒中去，问每个盒子恰有1个球的概率是多少？
解：设A：“每个盒子恰有1个球”。求：P（A）=？
Ω所含样本点数：
Α所含样本点数：
补例2：将3封信随机地放入4个信箱中，问信箱中信的封数的最大数分别为1、2、3的概率各是多少?
解：设Ai：“信箱中信的最大封数为i"。（i =1，2，3）求：P(Ai)=？
Ω所含样本点数：
A1所含样本点数：
A2所含样本点数：
A3所含样本点数：
注：由概率定义得出的几个性质：
1、0〈P（A）〈1
2、P（Ω）=1,P(φ） =0
§1。3 概率的加法法则
定理：设A、B是互不相容事件（AB=φ)，则：
P（A∪B）=P(A）+P(B）
推论1:设A1、 A2、…、 An互不相容，则
P(A1+A2+.。.+ An)= P（A1） + P(A2） +…+ P（An）
推论2：设A1、 A2、…、 An构成完备事件组，则
P(A1+A2+。.。+ An)=1
推论3: P(A）=1－P(）
推论4：若BA，则P（B－A)= P（B）－P（A）
推论5（广义加法公式）：
对任意两个事件A与B,有P（A∪B）=P(A)+P(B）－P（A B）
补充--对偶律：
§1。4 条件概率与乘法法则
条件概率公式:
P（A/B）=（P（B）≠0）
P（B/A）= (P(A）≠0）
∴P（AB）=P(A/B）P（B）= P（B / A）P（A）
有时须与P（A+B)=P（A）+P（B）－P(AB）中的P（AB）联系解题。
全概率与逆概率公式：
全概率公式：
逆概率公式:
（注意全概率公式和逆概率公式的题型：将试验可看成分为两步做,如果要求第二步某事件的概率,就用全概率公式;如果求在第二步某事件发生条件下第一步某事件的概率,就用逆概率公式.）
§1。5 独立试验概型
事件的独立性:
贝努里公式(n重贝努里试验概率计算公式）:课本P24
另两个解题中常用的结论——
1、定理：有四对事件：A与B、A与、与B、与，如果其中有一对相互独立,则其余三对也相互独立。
2、公式:
第二章随机变量及其分布
一、关于离散型随机变量的分布问题
1、求分布列：
⑴确定各种事件,记为x写成一行；
⑵计算各种事件概率，记为p k写成第二行。得到的表即为所求的分布列.
注意:应符合性质——
1、(非负性） 2、（可加性和规范性)
补例1：将一颗骰子连掷2次,以x 表示两次所得结果之和，试写出x的概率分布。
解:Ω所含样本点数:6×6=36
所求分布列为：
1/36
2/36
3/36
4/36
5/36
6/36
5/36
4/36
3/36
2/36
1/36
pk
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
x

补例2：一袋中有5只乒乓球，编号1,2,3,4，5，在其中同时取3只，以x表示取出3只球中最大号码,试写出x的概率分布。
解：Ω所含样本点数：=10
6/10
3/10
1/10
p k
5
4
3
x
所求分布列为：
2、求分布函数F(x)：
分布函数
二、关于连续型随机变量的分布问题:
x∈R,如果随机变量x的分布函数F（x）可写成F（x）=，则x为连续型。称概率密度函数.
解题中应该知道的几个关系式：
第三章随机变量数字特征
一、求离散型随机变量x 的数学期望Ex =？
数学期望(均值）
二、设x 为随机变量，f(x）是普通实函数,则η=f（x）也是随机变量，求Eη=？
x
x1
x2
…
xk
pk
p1
p2
…
pk
η=f（x)
y1
y2
…
yk
以上计算只要求这种离散型的。
补例1:设x的概率分布为:
x
－1
0
1
2

pk

求：⑴，的概率分布；⑵.
解：因为
x
－1
0
1
2

pk

η=x－1
－2
－1
0
1

η=x2
1
0
1
4

所以，所求分布列为：
η=x－1
－2
－1
0
1

pk

和:
η=x2
1
0
1
4

pk

当η=x－1时，Eη=E（x－1）
=－2×+（－1)×+0×+1×+×
=1/4
当η=x2时，Eη=E x2=1×+0×+1×+4×+×
=27/8
三、求x 或η的方差Dx =？Dη=？
实用公式=－
其中，==
 =
补例2:
x
－2
0
2
pk
0.4
0。3
0.3
求：E x 和D x
解：=－2×0.4+0×0。3+2×0.3=－0。2
2=（－2）2×0。4+02×0.3+22×0。3=2.8
=2－=2。8－（－0。2）2=2。76
第四章几种重要的分布
常用分布的均值与方差（同志们解题必备速查表)
名称
概率分布或密度
期望
方差
参数
范围
二项分布

n p
n p q
0<P〈1
q=1－p
正态分布

μ

μ任意
σ>0
泊松分布
不要求
λ
λ
λ>0
指数分布
不要求

λ〉0
解题中经常需要运用的E x 和D x 的性质（同志们解题必备速查表）
E x的性质
D x 的性质

-——--———

第八章参数估计
§8.1 估计量的优劣标准（以下可作填空或选择)
⑴若总体参数θ的估计量为,如果对任给的ε〉0，有
，则称是θ的一致估计;
⑵如果满足,则称是θ的无偏估计；
⑶如果和均是θ的无偏估计,若，则称是比有效的估计量.
§8.3 区间估计：
几个术语--
1、设总体分布含有一位置参数，若由样本算得的一个统计量及，对于给定的（0<〈1）满足：
则称随机区间(，）是的100(1－）%的置信区间,和称为的100（1－)%的置信下、上限，百分数100（1－）％称为置信度.
一、求总体期望(均值）E x 的置信区间
1、总体方差已知的类型
①据,得＝1－，反查表（课本P260表）得临界值；
②=③求d=④置信区间（—d，+d）
补简例：设总体随机取4个样本其观测值为12。6，13。4，12。8，13。2，求总体均值μ的95%的置信区间。
解:①∵1－α=0.95，α=0。05
∴Φ（Uα)=1－=0.975，反查表得：Uα=1。96
②
③∵σ=0。3，n=4∴d===0。29
④所以,总体均值μ的α=0。05的置信区间为:
（－d，＋d)=（13－0。29,13＋0。29）即(12。71，13.29）
2、总体方差未知的类型(这种类型十分重要!务必掌握!!）
①据和自由度n－1（n为样本容量)，查表（课本P262表）得;
②确定=和 
③求d=④置信区间(—d，+d）
注：无特别声明，一般可保留小数点后两位，下同。
二、求总体方差的置信区间
①据α和自由度n－1(n为样本数），查表得临界值：
和
②确定=和
③上限下限
④置信区间（下限，上限）
典型例题：
补例1:课本P166之16 已知某种木材横纹抗压力的实验值服从正态分布,对10个试件作横纹抗压力试验得数据如下（单位：kg/cm2）：
482 493 457 471 510
446 435 418 394 469
试对该木材横纹抗压力的方差进行区间估计（α＝0。04）。
解：①∵α=0。04，又n=10,自由度n－1=9
∴查表得，==19.7
==2。53
②===457.5
=［++…+］
=1240.28
③上限===4412。06
下限===566.63
④所以,所求该批木材横纹抗压力的方差的置信区间为（566.63，4412.06）
第九章假设检验
必须熟练掌握一个正态总体假设检验的执行标准
一般思路:
1、提出待检假设H0
2、选择统计量
3、据检验水平,确定临界值
4、计算统计量的值
5、作出判断
检验类型⑵:未知方差，检验总体期望（均值)μ
①根据题设条件，提出H0：=（已知）;
②选择统计量；
③据和自由度n－1（n为样本容量）,查表(课本P262表）得；④由样本值算出＝？和＝？从而得到；
⑤作出判断
典型例题：
对一批新的某种液体的存贮罐进行耐裂试验,抽查5个，得到爆破压力的数据（公斤/寸2）为：545，545，530,550，545.根据经验爆破压认为是服从正态分布的，而过去该种液体存贮罐的平均爆破压力为549公斤/寸2，问这种新罐的爆破压与过去有无显著差异？（α=0.05）
解：H0:=549
选择统计量
∵=0。05，n－1=4，∴查表得：=2。776
又∵==543
s2==57。5
∴==1.77〈2。776
∴接受假设，即认为该批新罐得平均保爆破压与过去的无显著差异.
检验类型⑶：未知期望（均值）μ，检验总体方差
①根据题设条件，提出H0：=（已知）；
②选择统计量；
③据和自由度n－1（n为样本容量)，查表（课本P264表)得临界值：和；
④由样本值算出＝？和＝?从而得到；
⑤若<〈则接受假设,否则拒绝！
补例：某厂生产铜丝的折断力在正常情况下服从正态分布,折断力方差=64,今从一批产品中抽10根作折断力试验，试验结果（单位：公斤）：578，572，570，568，572，570，572，596，584，570.是否可相信这批铜丝折断力的方差也是64？（α=0。05）
解： H0：=64
  选择统计量
∵=0。05，n－1=9,∴查表得：
==2.7
==19
又∵==575。2
s2==75。73
∴
∴=2.7<〈=19
∴接受假设，即认为这批铜丝折断力的方差也是64.
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