统计学第七章、第八章课后题答案.doc
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1、统计学复习笔记第七章 参数估计一、 思考题1 解释估计量和估计值在参数估计中,用来估计总体参数的统计量称为估计量。估计量也是随机变量。如样本均值,样本比例、样本方差等.根据一个具体的样本计算出来的估计量的数值称为估计值.2 简述评价估计量好坏的标准(1)无偏性:是指估计量抽样分布的期望值等于被估计的总体参数。(2)有效性:是指估计量的方差尽可能小。对同一总体参数的两个无偏估计量,有更小方差的估计量更有效.(3)一致性:是指随着样本量的增大,点估计量的值越来越接近被估总体的参数。3 怎样理解置信区间在区间估计中,由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间.置信区间的论述是由区间和置信度两
2、部分组成。有些新闻媒体报道一些调查结果只给出百分比和误差(即置信区间),并不说明置信度,也不给出被调查的人数,这是不负责的表现.因为降低置信度可以使置信区间变窄(显得“精确”),有误导读者之嫌.在公布调查结果时给出被调查人数是负责任的表现。这样则可以由此推算出置信度(由后面给出的公式),反之亦然。4 解释95的置信区间的含义是什么置信区间95仅仅描述用来构造该区间上下界的统计量(是随机的)覆盖总体参数的概率。也就是说,无穷次重复抽样所得到的所有区间中有95%(的区间)包含参数。不要认为由某一样本数据得到总体参数的某一个95%置信区间,就以为该区间以0。95的概率覆盖总体参数。5 简述样本量与置
3、信水平、总体方差、估计误差的关系.1. 估计总体均值时样本量n为其中:2. 样本量n与置信水平1、总体方差、估计误差E之间的关系为 与置信水平成正比,在其他条件不变的情况下,置信水平越大,所需要的样本量越大; 与总体方差成正比,总体的差异越大,所要求的样本量也越大; 与与总体方差成正比,样本量与估计误差的平方成反比,即可以接受的估计误差的平方越大,所需的样本量越小。二、 练习题1 从一个标准差为5的总体中采用重复抽样方法抽出一个样本量为40的样本,样本均值为25.1) 样本均值的抽样标准差等于多少?2) 在95的置信水平下,估计误差是多少?解: 1) 已知 = 5,n = 40, = 25 =
4、 5 40 0。79 2) 已知 估计误差 E = 1。96540 1.552 某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额,在为期3周的时间里选取49名顾客组成了一个简单随机样本。1) 假定总体标准差为15元,求样本均值的抽样标准误差。2) 在95%的置信水平下,求估计误差。3) 如果样本均值为120元,求总体均值的95的置信区间。解:1)已知 = 15,n = 49 = 1549 = 2。14 2)已知 估计误差 E = 1。961549 4.23)已知 = 120 置信区间为 E 其置信区间 = 1204。23 从一个总体中随机抽取n =100的随机样本,得到 =104560,假定总体标准
5、差 = 85414,试构建总体均值的95%的置信区间。解: 已知n =100, =104560, = 85414,1a95% ,由于是正态总体,且总体标准差已知.总体均值m在1a置信水平下的置信区间为 104560 1。9685414100 = 104560 16741。1444 从总体中抽取一个n =100的简单随机样本,得到 =81,s=12.要求:1) 构建的90%的置信区间。2) 构建的95%的置信区间。3) 构建的99的置信区间。解:由于是正态总体,但总体标准差未知。总体均值m在1-a置信水平下的置信区间公式为 8112100 = 811.21)1a90,1。65 其置信区间为 81
6、 1。982)1-a95% , 其置信区间为 81 2.3523) 1-a99%,2。58 其置信区间为 81 3。0965 利用下面的信息,构建总体均值的置信区间。1) = 25, = 3.5,n =60,置信水平为952) =119,s =23。89,n =75,置信水平为983) =3.149,s =0。974,n =32,置信水平为90%解: 1) 1a95% , 其置信区间为:251.963.560 = 250。885 2) 1-a98% ,则a=0。02, a/2=0.01, 1-a/2=0。99,查标准正态分布表,可知: 2。33 其置信区间为: 1192.3323。8975 =
7、 1196.3453) 1a90,1.65 其置信区间为: 3。1491.650。97432 = 3.1490。2846 利用下面的信息,构建总体均值的置信区间:1) 总体服从正态分布,且已知 = 500,n = 15, =8900,置信水平为95%。解: N=15,为小样本正态分布,但已知。则1a95,。其置信区间公式为 置信区间为:89001.9650015=(8646.7 , 9153.2)2) 总体不服从正态分布,且已知 = 500,n = 35, =8900,置信水平为95.解:为大样本总体非正态分布,但已知。则1a95,。其置信区间公式为 置信区间为:89001。9650035=(
8、8733.9 9066。1)3) 总体不服从正态分布,未知,n = 35, =8900,s =500,置信水平为90%。解:为大样本总体非正态分布,且未知,1a90,1.65. 其置信区间为: 89001。6550035=(8761 9039)4) 总体不服从正态分布,未知,n = 35, =8900,s =500,置信水平为99%。解:为大样本总体非正态分布,且未知,1a99%,2.58。其置信区间为:89002。5850035=(8681。9 9118.1)7 某大学为了解学生每天上网的时间,在全校7500名学生中采取重复抽样方法随机抽取36人,调查他们每天上网的时间,得到下面的数据(单位
9、:小时)(略)。求该校大学生平均上网时间的置信区间,置信水平分别为90解: 先求样本均值: = 3。32 再求样本标准差: 置信区间公式:8 从一个正态总体中随机抽取样本量为8的样本,各样本值分别为:10,8,12,15,6,13,5,11.求总体均值的95%置信区间。解:本题为一个小样本正态分布,未知。先求样本均值: = 808=10再求样本标准差:= 84/7 = 3。4641于是 , 的置信水平为 的置信区间是 , 已知 ,n = 8,则 ,/2=0。025,查自由度为n-1 = 7的 分布表得临界值 2.45所以,置信区间为: 102.453.464179 某居民小区为研究职工上班从家
10、里到单位的距离,抽取了由16个人组成的一个随机样本,他们到单位的距离分别是:10,3,14,8,6,9,12,11,7,5,10,15,9,16,13,2。假设总体服从正态分布,求职工上班从家里到单位平均距离的95%的置信区间.解:小样本正态分布,未知.已知,n = 16,则 , /2=0.025,查自由度为n-1 = 15的 分布表得临界值 2。14样本均值=150/16=9。375再求样本标准差:= 253。75/15 4。11于是 , 的置信水平为 的置信区间是 , 9。3752.144.111610 从一批零件是随机抽取36个,测得其平均长度是149.5,标准差是1.93.1) 求确定
11、该种零件平均长度的95的置信区间。2) 在上面估计中,你使用了统计中的哪一个重要定理?请解释。解:1) 这是一个大样本分布。已知N=36, = 149。5,S =1.93,1=0.95,. 其置信区间为:149。51.961.93362)中心极限定理论证:如果总体变量存在有限的平均数和方差,那么,不论这个总体的分布如何,随着样本容量 的增加,样本均值的分布便趋近正态分布。在现实生活中,一个随机变量服从正态分布未必很多,但是多个随机变量和的分布趋于正态分布则是普遍存在的。样本均值也是一种随机变量和的分布,因此在样本容量 充分大的条件下,样本均值也趋近于正态分布,这为抽样误差的概率估计理论提供了理
12、论基础。11 某企业生产的袋装食品采用自动打包机包装,每袋标准重量为100克,现从某天生产的一批产品中按重复抽样随机抽取50包进行检查,测得每包重量如下:(略) 已知食品包重服从正态分布,要求:1) 确定该种食品平均重量的95%的置信区间。2) 如果规定食品重量低于100克属于不合格,确定该批食品合格率的95%的置信区间。解: 1)本题为一个大样本正态分布,未知。已知N=50, =100,1=0.95,。 每组组中值分别为97、99、101、103、105,即此50包样本平均值= (97+99+101+103+105)/5 = 101 样本标准差为: = (97101)2(99-101)3(1
13、01101)34(103101)7(105101)4(50-1) 1.666 其置信区间为:1011.961。66650 2) 不合格包数(100克)为2+3=5包,5/50 = 10%(不合格率),即P = 90%. 该批食品合格率的95%置信区间为: = 0.9 1.96(0.90。1)50= 0。9 1.960。04212 假设总体服从正态分布,利用下面的数据构建总体均值的99的置信区间。(略)解: 样本均值 样本标准差: 尽管总体服从正态分布,但是样本n=25是小样本,且总体标准差未知,应该用T统计量估计。1-=0。99,则=0。01, /2=0。005,查自由度为n-1 = 24的
14、分布表得临界值 2。8 的置信水平为 的置信区间是 , 13 一家研究机构想估计在网络公司工作的员工每周加班的平均时间,为此随机抽取了18个员工,得到他们每周加班的时间数据如下(单位:小时):(略)假定员工每周加班的时间服从正态分布,估计网络公司员工平均每周加班时间的90的置信区间.解: N = 18 30, 为小样本正态分布,未知。 样本均值= 244/18 = 13.56 样本标准差:= 1-= 90, = 0.1,/2= 0。05,则查自由度为n1 = 17的 分布表得临界值 1。74 的置信水平为 的置信区间是 , 14 利用下面的样本数据构建总体比例丌的置信区间:1) n =44,p
15、 = 0。51 ,置信水平为99%2) n =300,p = 0.82 ,置信水平为95%3) n =1150,p = 0。48,置信水平为90%解: 1) 1-= 99%, = 0。01,/2= 0。005,1-/2= 0。995,查标准正态分布表,则2。58 2)1a95%, 3)1-a90,1.65 分别代入15 在一项家电市场调查中,随机抽取了200个居民户,调查他们是否拥有某一品牌的电视机,其中拥有该品牌电视机的家庭占23。求总体比例的置信区间,置信水平分别为90%和95%.解: 1)置信水平90,1a90%,1。65,N = 200,P = 23。 代入 2)置信水平95,1a95
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