极限计算方法总结.doc
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1、极限计算方法总结高等数学是理工科院校最重要的基础课之一,极限是高等数学的重要组成部分.求极限方法众多,非常灵活,给函授学员的学习带来较大困难,而极限学的好坏直接关系到高等数学后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结,然后通过例题给出求极限的各种方法,以便学员更好地掌握这部分知识。一、极限定义、运算法则和一些结果1定义:(各种类型的极限的严格定义参见高等数学函授教材,这里不一一叙述).说明:(1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的极限严格定义证明,例如:;等等 (2)在后面求极限时,(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用,而不需再用极限严格定义证明.2
2、极限运算法则定理1 已知 ,都存在,极限值分别为A,B,则下面极限都存在,且有 (1)(2)(3)说明:极限号下面的极限过程是一致的;同时注意法则成立的条件,当条件不满足时,不能用.3两个重要极限(1) (2) ; 说明:不仅要能够运用这两个重要极限本身,还应能够熟练运用它们的变形形式, 作者简介:靳一东,男,(1964),副教授。例如:,;等等.4等价无穷小定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是0).定理3 当时,下列函数都是无穷小(即极限是0),且相互等价,即有: 。说明:当上面每个函数中的自变量x换成时(),仍有上面的等价关系成立,例如:当时, ; .定理4 如果函数都是时
3、的无穷小,且,,则当存在时,也存在且等于,即=。5洛比达法则定理5 假设当自变量x趋近于某一定值(或无穷大)时,函数和满足:(1)和的极限都是0或都是无穷大; (2)和都可导,且的导数不为0; (3)存在(或是无穷大); 则极限也一定存在,且等于,即= 。说明:定理5称为洛比达法则,用该法则求极限时,应注意条件是否满足,只要有一条不满足,洛比达法则就不能应用。特别要注意条件(1)是否满足,即验证所求极限是否为“型或“型;条件(2)一般都满足,而条件(3)则在求导完毕后可以知道是否满足。另外,洛比达法则可以连续使用,但每次使用之前都需要注意条件.6连续性定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都
4、连续,即如果是函数的定义去间内的一点,则有 。7极限存在准则 定理7(准则1) 单调有界数列必有极限.定理8(准则2) 已知为三个数列,且满足:(1) (2) , 则极限一定存在,且极限值也是a ,即。二、求极限方法举例1 用初等方法变形后,再利用极限运算法则求极限例1 解:原式= .注:本题也可以用洛比达法则。例2 解:原式= 。例3 解:原式 。2 利用函数的连续性(定理6)求极限例4 解:因为是函数的一个连续点, 所以 原式= 。3 利用两个重要极限求极限例5 解:原式= .注:本题也可以用洛比达法则。例6 解:原式= 。例7 解:原式= 。4 利用定理2求极限例8 解:原式=0 (定理
5、2的结果).5 利用等价无穷小代换(定理4)求极限 例9 解:,,原式= 。例10 解:原式= 。注:下面的解法是错误的: 原式= 。正如下面例题解法错误一样: .例11 解:, 所以, 原式= 。(最后一步用到定理2)6 利用洛比达法则求极限说明:当所求极限中的函数比较复杂时,也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法.同时,洛比达法则还可以连续使用。例12 (例4)解:原式= .(最后一步用到了重要极限)例13 解:原式= .例14 解:原式= 。(连续用洛比达法则,最后用重要极限)例15 解:例18 解:错误解法:原式= 。正确解法:应该注意,洛比达法则并不是总可以用,如下例.例19
6、 解:易见:该极限是“”型,但用洛比达法则后得到:,此极限不存在,而原来极限却是存在的。正确做法如下:原式= (分子、分母同时除以x) = (利用定理1和定理2)7 利用极限存在准则求极限例20 已知,求解:易证:数列单调递增,且有界(02),由准则1极限存在,设 。对已知的递推公式 两边求极限,得:,解得:或(不合题意,舍去)所以 。例21 解: 易见:因为 ,所以由准则2得: 。上面对求极限的常用方法进行了比较全面的总结,由此可以看出,求极限方法灵活多样,而且许多题目不只用到一种方法,因此,要想熟练掌握各种方法,必须多做练习,在练习中体会.另外,求极限还有其它一些方法,如用定积分求极限等,
7、由于不常用,这里不作介绍。 极限与连续的62个典型习题习题1设,求 。解 记,则有,。另一方面 .因为 ,故 .利用两边夹定理,知,其中 。例如 。习题2求 。解 , 即 。. 利用两边夹定理知。习题3求.解 习题4求 。解(变量替换法)令,则当时,于是, 原式.习题5求。解(变量替换法)令,原式。 习题6 求 (型)。为了利用重要极限,对原式变形习题7求. 解 原式.习题8求 。 解 由于。而。故 不存在.习题9研究下列极限 (1)。原式,其中,。 上式极限等于0,即.(2).因为,, 所以 。(3)。 原式.习题10计算。解 原式。习题11 .习题12已知 ,求的值.解 首先,原式,而 。
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