特殊曲面及其方程--柱面、锥面、旋转面知识讲解.doc
《特殊曲面及其方程--柱面、锥面、旋转面知识讲解.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《特殊曲面及其方程--柱面、锥面、旋转面知识讲解.doc(24页珍藏版)》请在咨信网上搜索。
1、特殊曲面及其方程-柱面、锥面、旋转面精品文档引言 空间解析几何所研究的曲面主要是二次曲面。但是也可以研究一些非二次特殊曲面。本论文中将利用直线或曲线适合某几何特征来建立一些曲面的方程。主要讨论由直线产生的柱面和锥面,曲线产生的旋转曲面这三大类。1.柱面图1定义1:一直线平行于一个定方向且与一条定曲线相交而移动时所产生的曲面叫做柱面(图1),曲线作叫做准线。构成柱面的每一条直线叫做母线。显然,柱面的准线不是唯一的,任何一条与柱面所有母线都相交的曲线都可以取做柱面的准线,通常取一条平面曲线作为准线。特别地,若取准线为一条直线,则柱面为一平面,可见平面是柱面的特例。下面分几种情形讨论柱面的方程。1.
2、1 母线平行于坐标轴的柱面方程选取合适的坐标系,研究对象的方程可以大为化简。设柱面的母线平行于轴,准线为面上的一条曲线,其方程为: 图2又设为柱面上一动点(图2),则过点与轴平行的直线是柱面的一条母线,该母线与准线的交点记为,因点在准线上,故其坐标应满足准线方程,这表明柱面上任一点的坐标满足方程 反过来,若一点的坐标满足方程,过作轴的平行线交面于点,则点的坐标满足准线的方程,这表明点在准线上,因此直线是柱面的母线 (因为直线的方向向量为),所以点在柱面上。综上所述,我们有如下结论:母线平行上于轴,且与面的交线为的柱面方程为: (1)它表示一个无限柱面。若加上限制条件,变得它的一平截段面。同理,
3、母线平行于轴,且与面的交线为的柱面方程为;母线平行于轴,且与面的交线为的柱面方程为。定理1:凡三元方程不含坐标中任何一个时必表示一个柱面,它的母线平行于方程中不含那个坐标的坐标轴。应该注意,如果母线不平行于坐标,柱面方程就要包含所有的坐标。例1:以面上的椭圆,双曲线和抛物线为准线,母线平行于轴的柱面方程分别为 图3它们分别叫做椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面,由于它们的准线是二次曲线,故又统称为二次柱面,其图形见(图3)。例2:证明,若柱面的准线为母线方向为,则柱面方程为 (2)证:设为准线上一点,则过此点的柱面母线的参数方程为: (为叁数) 当点遍历准线上的所有点,那么母线就推出柱面,消去参数,
4、由式中最后一个式子得,代入其余两个式子,有因点在准线上,代入,即得(2)式若柱面的准线为 母线方向为 则柱面方程为: (3)若柱面的准线为: 母线方向为 则柱面方程为 (4)1.2 柱面的一般方程设柱面的准线是一条空间曲线,其方程为母线方向为,在准线上任取一点,则过点的母线方程是: (为叁数)这里是母线上点的流动坐标。因点的坐标应满足:从上面这两组式子中消去参数,最后得一个三元方程 (5)这就是以为准线,母线的方向数为的柱面方程。 例3:柱面的准线是球面与平面的交线,母线方向是,求柱面的方向。解:设是准线上任一点,则过这点的母线方程为由此得 代入准线方程,得 消去参数,得 展开,化简后得 这就
5、是所求的柱面方程。1.3 柱面的参数方程设柱面的准线的参数方程为: :母线方向为又设是准线上的一点,则过的母线方程为 (为参数)令在准线上移动,即让取所有可能的值,并让取所有可能的值,则由上式决定的点的轨迹就是所求的柱面。因此,柱面的参数方程是: (6)例4:设柱面的准线为: 母线方向为,求柱面的方程。解:由(6)式,柱面得参数方程为: 从上式中消去参数和,得住面的一般方程 1.4 由生成规律给出柱面的方程有时不给出柱面的准线,只给出生成规律下面举一例。 图4例5:求以直线为轴,半径为的圆柱面方程,其中直线通过点,方向向量为。解:设为所求柱面上的一点(图4),按题意到的距离为,设,按向量的定义
6、有两端平方即得所求柱面的向量是方程: 写成坐标式,即 若利用公式 则式又可写成 或= 特别地,若取直线为轴,令,则比时柱面方程为 。1.5 曲线的射影柱面图5定义2:设是一条空间曲线,为一平面,经过上每一点作平面的垂线,由这些垂线构成的柱面叫做从到的射影柱面(图5)显然,在上的射影就是从到的射影柱面与的交线。通常我们将平面取为坐标平面。给定空间曲线 那么怎样求曲线到平面上的射影柱面方程?因为这个柱面的母线平行于轴,因此它的方程中不应含变量,这样只要消去即从的某一个方程中解出来,把它代入另一个方程中,就得到从向面的射影柱面方程: 同理,曲线在另外两个坐标平面上的射影柱面方程分别为:因为射影柱面方
7、程比一般三元方程简单,所以常用两个射影柱面方程来表示空间曲线。具体做法是:从曲线的方程中轮流消去变量与,就分别得到它在面,面和面上的射影柱面方程,然后于这三个柱面方程中选取两个形式简单的联立起来,那么就得到了原曲线的形式较简单的方程且便于作图。例6:求曲线在面上的射影。解:欲求曲线在面上的射影,需先求出曲线到面上的射影柱面,这又须从曲线方程消去,由的第一个方程减去第二个方程并化简得 或 将代入曲线的方程中的任何一个,得曲线到面的射影柱面:故两球面交线在面的射影曲线方程是 这是一椭圆.2. 锥面图6定义3:通过一定点且与一条曲线相交的一切直线所构成的曲面叫做锥面(图6),定点叫做锥面的顶点,定曲
8、线叫做锥面的准线,构成锥面的直线叫做锥面的母线。由定义3,可见,锥面有个显著的特点:顶点与曲面上任意其它点的联线全在曲面上。显然,锥面的准线不是唯一的,任何一条与所有母线相交的曲线都可以作为锥面的准线。通常取一条平面曲线作为准线。下面分几种 情形讨论锥面的方程:2.1 顶点在原点,准线为平面曲线的锥面方程设锥面的准线在平面上,其方程为 图7又设为锥面上一动点(图7),为准线上一点,且、三点共线,则或即,于是。由于应满足,可见应满足方程: 反过来,若一点的坐标满足方程(1),则将上式逆推可知,点在过点与的直线上,因而在锥面的母线上,即点是锥面上的点。因此,以原点为锥顶,准线为或的锥面方程分别为:
9、 例7:采用上式易知,以原点为锥顶,准线为椭圆 双曲线 和抛物线 的锥面方程分别是: 和 即 和 。图8这三个二次方程都是关于、的二次齐次方程,因此统称为二次锥面(图8)。2.2 锥面的一般方程设锥面的准线为一空间曲线: 顶点的坐标为。又设为准线上一点,则过点的母线方程为:因为在准线上,故应有 (7)从以上一组方程中消去可得 这就是以为准线为顶点的锥面方程。例8:锥面的顶点在原点,且准线为 求锥面的方程。解:设为准线上的任意点,那么过的母线为 且有 由、得 代入得所求的锥面方程为 这个锥面叫做二次锥面。定理2:关于的齐次方程表示以坐标原点为顶点的锥面。证:设是关于的次齐次方程,点是方程所表示的
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 特殊 曲面 及其 方程 柱面 锥面 旋转 知识 讲解
1、咨信平台为文档C2C交易模式,即用户上传的文档直接被用户下载,收益归上传人(含作者)所有;本站仅是提供信息存储空间和展示预览,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容不做任何修改或编辑。所展示的作品文档包括内容和图片全部来源于网络用户和作者上传投稿,我们不确定上传用户享有完全著作权,根据《信息网络传播权保护条例》,如果侵犯了您的版权、权益或隐私,请联系我们,核实后会尽快下架及时删除,并可随时和客服了解处理情况,尊重保护知识产权我们共同努力。
2、文档的总页数、文档格式和文档大小以系统显示为准(内容中显示的页数不一定正确),网站客服只以系统显示的页数、文件格式、文档大小作为仲裁依据,平台无法对文档的真实性、完整性、权威性、准确性、专业性及其观点立场做任何保证或承诺,下载前须认真查看,确认无误后再购买,务必慎重购买;若有违法违纪将进行移交司法处理,若涉侵权平台将进行基本处罚并下架。
3、本站所有内容均由用户上传,付费前请自行鉴别,如您付费,意味着您已接受本站规则且自行承担风险,本站不进行额外附加服务,虚拟产品一经售出概不退款(未进行购买下载可退充值款),文档一经付费(服务费)、不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
4、如你看到网页展示的文档有www.zixin.com.cn水印,是因预览和防盗链等技术需要对页面进行转换压缩成图而已,我们并不对上传的文档进行任何编辑或修改,文档下载后都不会有水印标识(原文档上传前个别存留的除外),下载后原文更清晰;试题试卷类文档,如果标题没有明确说明有答案则都视为没有答案,请知晓;PPT和DOC文档可被视为“模板”,允许上传人保留章节、目录结构的情况下删减部份的内容;PDF文档不管是原文档转换或图片扫描而得,本站不作要求视为允许,下载前自行私信或留言给上传者【快乐****生活】。
5、本文档所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权,请谨慎使用;网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽--等)目的在于配合国家政策宣传,仅限个人学习分享使用,禁止用于任何广告和商用目的。
6、文档遇到问题,请及时私信或留言给本站上传会员【快乐****生活】,需本站解决可联系【 微信客服】、【 QQ客服】,若有其他问题请点击或扫码反馈【 服务填表】;文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“【 版权申诉】”(推荐),意见反馈和侵权处理邮箱:1219186828@qq.com;也可以拔打客服电话:4008-655-100;投诉/维权电话:4009-655-100。