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圆的方程公开课教学设计

精品文档

§2.1圆的标准方程
教学目标
(一)知识与能力
1.了解确定圆的条件;
2.理解圆的标准方程的推导过程及方程形式,逐步理解用代数方法研究几何问题;
3.会用圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标,能根据条件写出圆的标准方程,能选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题.
(二)过程与方法
1.由确定圆的条件推导出圆的标准方程;
2.明确求圆的标准方程的一般步骤.
(三)情感态度与价值观
1.渗透数形结合的思想方法;
2.培养学生的思维品质和提高学生的思维能力.
3.培养学生合作交流的意识,培养勤于思考、探究问题的精神.
教学重点
1.已知圆心为,半径为的圆的标准方程的求法;
2.在求圆的标准方程的过程中,加强对坐标法的理解.
教学难点
根据已知条件,利用待定系数法确定圆的三个参数,从而求出圆的标准方程.
教具准备
制作多媒体,辅助教学.
教学方法
引导、合作、讨论、探究法.
设计思想
设计的根本出发点是促进学生的发展。教师以合作者的身份参与，课堂上建立平等、互助、融洽的关系，师生共同研究，在教学过程中，教师遵循数学发展规律，并依据建构主义教育理论，创设一系列数学实验环境，在情境中让学生观察、类比、猜想、尝试、探索、归纳并引导加以证明，强调主动建构，从深层次加强学生对知识的感知度，使学生能更好地理解和掌握圆的标准方程。
教学过程
(一)课题引入
1.圆的定义①:平面内绕着线段的一个端点旋转一周所组成的图形.
(描述性定义)
[探究] 圆的几何特征(学生讨论)
教师总结:圆的几何特征是圆上任意一点到定点的距离等于定长.
说明:(1)定点叫圆心,定长称为半径;
[探究]:确定圆的条件(学生讨论)
教师总结:一个圆的圆心位置和半径一旦给定,那么这个圆就被确定下来了,所以确定圆的条件是圆心和半径.
说明:在确定圆的条件中,圆心和半径缺一不可,其中:
①圆心确定圆的位置,②半径确定圆的大小.
2.圆的定义②:平面内到一个定点的距离等于定长的点的轨迹(集合).
(运动变化的思想)
说明:(1)其中定点叫做圆的圆心,定长叫做圆的半径.
(2)设圆心为,半径为()的圆上的点就是集合
3.曲线方程的一般求解步骤:(1)写出适合条件的点的集合;
(2)用坐标表示集合;
(3)化方程为最简形式.
(二)圆的标准方程
圆的标准方程的推导过程:(圆心为,半径为()的圆)
设是圆上的任意一点,根据圆的定义,点到圆心的距离为,即,由两点间的距离公式,得 ①
把①式两边平方,得圆的标准方程为:
[说明]:
(1)圆的标准方程中有两个基本要素:圆心和半径,即只要三个参数(),确定了,圆的标准方程就确定了,这也是用待定系数法求圆的标准方程的思想方法;
(2)特别地,当(即圆心在坐标原点),时,圆的标准方程为: ;又当时,圆的标准方程为(单位圆);
(3)点与圆的位置关系:点在圆上,点在圆内,点在圆外.
[及时反馈]
口答1:下列说法正确吗?
(1) 圆的圆心坐标为,半径为;
(2) 圆的圆心坐标为,半径为;
(3) 圆的圆心坐标为,半径为;
口答2:下列方程分别表示什么图形?
(1); (2) ;
(3); (4) ;

口答3:已知圆的方程为,判断下列点与圆的位置关系:
(1); (2); (3)C
口答4:写出满足下列条件的圆的标准方程.
(1) 以为圆心,半径等于
(2) 以为圆心,半径等于
(三)例题解析
例.已知两点,求以为直径的圆的标准方程.
解:方法一(待定系数法).
设圆心为,半径为()
则

故所求圆的标准方程为

变式1.已知圆的圆心在直线上,且过点,求此圆的标准方程.
解: 线段的中垂线方程为,
即圆心坐标为,
又,
故所求圆的标准方程为
变式2.已知三个顶点的坐标为,求此三角形外接圆的标准方程.
解: 线段的中垂线方程为,线段的中垂线方程为
由 即得圆心C的坐标为
又 故所求圆的标准方程为
[总结]用待定系数法求圆的标准方程的一般步骤:
(1)根据题意,设所求圆的标准方程为 ;
(2)根据已知条件,利用几何或代数关系求出;
(3)将所得的的值代回所设的圆的方程中,即得圆的标准方程.
(四)测试反馈
1. 课本练习
2. 求满足下列条件的圆的标准方程:
(1)经过点,圆心为点;
(2)如图,圆经过两点,圆心在轴上.
解(1)方法一:,∴圆的标准方程为
方法二:设圆的标准方程为,∵点在圆上,
∴,∴,∴圆的标准方程为
(2)方法一:设圆心为,∵圆心在在轴上,∴,
设圆的标准方程为,因为该圆过两点,所以有 ,所以圆的标准方程为
方法二:线段的中垂线方程为:,即,令,得, 又, 所以圆的标准方程为
3.求以为圆心,并且和直线相切的圆的标准方程.
解:以题意,圆的半径,
所以圆的标准方程为:

(五)课时小结
(1)确定圆的条件;
(2)圆的标准方程的形式和求法.
(六)布置作业
(1) 习题A组 1 (1),(2),(3)
(2)问题延伸,课外探究:
(ⅰ)已知圆的方程为,试求过圆上一点的切线方程.
(ⅱ)已知圆的方程为,试求过圆上一点的
切线方程.
(七)板书设计

§2.1圆的标准方程
(一)课题引入 (三)例题解析 (四)课堂演练
1.初中对圆的定义 例1

2.高中对圆的定义 变式1

(二)圆的标准方程 变式2

例2 (五)课时小结

[说明] 例3

(八)课后反思
本节在给出圆的标准方程的过程中，运用简单、特殊的到复杂、一般的数学思想，使用了观察、猜测、经验归纳等方法进行合情地推理，同时引导学生对照圆的几何形状，观察和欣赏圆的方程，体会数学中的美——对称、简洁。圆的标准方程的应用是本节的难点。为了突破难点，设计三个例题。充分利用多媒体的动感演示，刺激学生的感官，引起更强的注意，从而使学生理解理论来源于实践，充分调动学生学习数学的热情，激发学生自主探究问题的兴趣，增强应用意识；同时培养学生勇于探索、坚忍不拔的意志品质。最后设计了“问题延伸”，让学生带着问题走进课堂，又带着问题走出课堂，激发学生不断求知、不断探索的欲望。
在整个教学过程中，主要着眼于“引”，启发学生“探”，把“引”和“探”有机的结合起来，教师的每项措施都是为了力求给学生创造一种思维情境，一种动手、动脑、动口并且主动参与学习的机会，激发学生求知的欲望，促使学生掌握知识，解决问题。

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