第十三章-压杆稳定知识讲解.doc

第十三章 压杆稳定1 基本概念及知识要点1.1 基本概念理想受压直杆、理想受压直杆稳定性 、屈曲、 临界压力。1.2 临界压力细长压杆（大柔度杆）用欧拉公式计算临界压力（或应力）；中柔度杆用经验公式计算临界压力（或应力）；小柔度杆发生强度破坏。1.3 稳定计算为了保证受压构件不发生稳定失效，需要建立如下稳定条件，进行稳定计算： 稳定条件2 重点与难点及解析方法2.1临界压力临界压力与压杆的材料、截面尺寸、约束、长度有关，即和压杆的柔度有关。因此，计算临界压力之前应首先确定构件的柔度，由柔度值确定是用欧拉公式、经验公式还是强度公式计算临界压力。2.2稳定计算压杆的稳定计算是材料力学中的重要内容，是本课程学习的重点。利用稳定条件可进行稳定校核，设计压杆截面尺寸，确定许用外载荷。稳定计算要求掌握安全系数法。解析方法：稳定计算一般涉及两方面计算，即压杆临界压力计算和工作压力计算。临界压力根据柔度由相应的公式计算，工作压力根据压杆受力分析，应用平衡方程获得。3典型问题解析3.1 临界压力例题13.1材料、受力和约束相同，截面形式不同的四压杆如图图131所示，面积均为3.2103mm2，截面尺寸分别为(1)、b=40mm、(2)、a=56.5mm、(3)、d=63.8mm 、(4)、D=89.3mm,d=62.5mm。若已知材料的E=200GPa，s=235MPa，cr=3041.12，p=100，s=61.4，试计算各杆的临界荷载。3mF2bbad0.7dD图131解压杆的临界压力，取决于压杆的柔度。应根据各压杆的柔度，由相应的公式计算压杆的临界压力。(1)、两端固定的矩形截面压杆，当b=40mm时 P 此压杆为大柔度杆，用欧拉公式计算其临界应力(2)、两端固定的正方形截面压杆，当a=56.5mm时所以sP 此压杆为中柔度杆，用经验公式计算其临界应力cr2=304-1.122=304-1.1292=200.9MPa(3)、两端固定的实心圆形截面压杆，当d=63.8mm时sP 此压杆为中柔度杆，用经验公式计算其临界应力(4)、两端固定的空心圆形截面压杆，当D=89.3mm，d=62.5mm时s 此压杆为短粗杆，压杆首先发生强度破坏，其临界应力解题指导：1计算压杆的临界压力时，需要综合考虑压杆的材料、约束、长度、惯性半径，即需要首先计算压杆的柔度，根据柔度值，代入相应的公式计算压杆的临界压力。当 P 时 压杆为大柔度杆，用欧拉公式计算其临界应力；sP时 压杆为中柔度杆，用经验公式计算其临界应力；s 时 压杆为短粗杆，压杆将首先发生强度破坏。2由此例题可见，惯性半径越大,柔度越小,承载能力越强。例题13.2矩形截面杆如图132所示，杆两端用销钉连接，在正视图中，连接处允许压杆绕销钉在铅垂面转动，两端约束可简化为两端铰支。在俯视图中，连接处不允许压杆在水平面内发生转动，两端约束视为两端固定。已知杆长L=2.3m 截面尺寸b=40mm h=60mm 材料的E=205GPa P=132 s=61，试求此杆的临界压力Fcr。FPFPFPFP图132解1若在正视图内失稳（铅垂方向）：1 , 2若在俯视图内失稳（水平面内）：0.5 , 所以，压杆在正视图失稳。3计算压杆的临界压力Fcr 用欧拉公式计算其临界应力解题指导：对于这类问题，需首先计算两个方向的柔度，判断压杆首先沿哪个方向失稳。例题13.3图13-3所示立柱长L=6m，由两根10号槽钢组成，试问a多大时立柱的临界荷载Fcr最大，并求其值。已知: 材料E=200GPa，P=200MPa。zyy0az0FP图133解1惯性矩查型钢表可知，由两根10号槽钢组成的组合截面对形心主惯性轴的惯性矩分别为:当a值较小时，Iyz，压杆失稳时，以y轴为中性轴弯曲；当a值较大时，Iz y，压杆失稳时，以z轴为中性轴弯曲；2当立柱的临界荷载最高，压杆对z轴和y轴应有相等的稳定性。即：即3最大临界荷载Fcr 压杆的柔度iy=iz =i由于所以，P 压杆为大柔度杆用欧拉公式计算临界压力例题13.4所示工字钢直杆在温度t1 = 20时安装，此时杆不受力，已知杆长l = 6m，材料的P=132 , E = 200GPa，线膨胀系数=12.510-6 /。试问当温度升高到多少度时杆将失稳。FBFA图13-4解随着温度的升高，直杆在杆端受到压力FAFB，当两端压力达到压杆的临界压力即：FAFBFcr时，压杆将失稳。1. 杆的工作压力由静不定结构的变形协调条件2压杆的临界压力P 压杆为大柔度杆。用欧拉公式计算临界压力3压杆失稳时，需要升高的温度值由 FAFBFcr3.2 稳定计算例题135： 钢杆AB如图135所示，已知的杆的长度lAB=80cm, ，经验公式，nst=2，试校核AB杆。图135解1杆AB的工作压力：分析梁CBD的受力，据其平衡方程可得FAB=159kN2杆AB的临界压力：压杆的柔度 用经验公式计算压杆的临界应力： 压杆的临界压力Fcr=crA=270kN3计算压杆的工作安全系数，进行稳定校核由压杆的稳定条件 所以，AB杆不安全。解题指导：请读者思考：若校核整个结构，如何求解？ 若由AB杆确定整个结构的许用外载荷，如何求解？例题13.6：材料相同的钢杆AB、AC，直径均为d=80cm, ，经验公式，nst=5，E=210GPa，试求许用外载荷FP。图136FP解1确定杆AB、AC的工作压力：由节点A的受力及平衡方程可得FAB=0.5 FP FAC=0.866 FP2计算由AB杆稳定条件确定的许用外载荷：AB杆的柔度 用欧拉公式计算压杆的临界应力：由压杆稳定条件 则许用外载荷FP139.2kN3计算由AC杆稳定条件确定的许用外载荷AB杆的柔度 用欧拉公式计算压杆的临界应力：由压杆稳定条件则许用外载荷FP240.6kN4确定整个结构的许用载荷由稳定计算结果可知，结构的许用载荷为FP=139.2kN解题指导：对于这类题目，所确定的载荷要确保整个结构所有受压杆件匀不失稳。由于杆AB、AC所受压力和柔度均不相同，需要首先分别求出由两杆确定的各自许用外荷载，然后取其中较小的一个，做为整个结构的许用外载荷。例题13.7：两端为球铰的压杆，由两根等边角钢铆接而成，型钢的外形尺如图137所示。已知铆钉孔直径为23mm，压杆长度l=2.4m，所受外力FP800kN ，nst=1.48， ，经验公式，材料的许用应力=160MPa，试校核压杆是否安全。FPl图137解图137所示压杆有两种可能的失效形式：失稳：整个压杆由直线形式的平衡变为曲线形式的平衡，局部截面尺寸变化对弯曲变形影响很小，个别截面上铆钉开孔对整个压杆的稳定性影响可忽略不计。因此，在压杆稳定计算中，采用未开铆钉孔时的压杆横截面尺寸（相应的面积称为“毛面积”，用A表示）；强度失效，在铆钉开孔截面，截面尺寸的削弱，会导致截面上的正应力增大，超过材料的许用应力。因此需要校核铆钉开孔处横截面上的正应力强度。在计算中要用开孔后的截面尺寸（其面积称为“净面积”，用A0表示）。综上所述，需要首先分别校核压杆的整体稳定和铆钉开孔处正应力强度，才能判断出压杆是否安全。1稳定校核 压杆失稳时，二等边角钢将作为一整体发生屈曲，并绕组合截面惯性矩最小的形心主轴（z轴）转动其中Iz1、iz1和A1分别为单根角钢对z轴的惯性矩、惯性半径和横截面面积，可由型钢表中查得。 所以，用经验公式计算压杆的临界应力：代入稳定条件，进行稳定校核所以压杆稳定。2强度校核：组合截面在铆钉孔处因开孔而削弱，削弱后的净面积为：A0=228.910-420.0230.012=5.2810-3m2该截面上的正应力压杆强度安全3由上述稳定计算和强度计算可知，压杆安全。解题指导：1压杆稳定计算用毛面积，强度计算用净面积。2请读者思考：如果两根槽钢只在两端连接，这时上述稳定计算和强度计算会不会发生变化? 例题13.8 图138所示正方形桁架结构，由五根圆截面钢杆组成，连接处均为铰链，各杆直径均为d40 mm，a1 m。材料的p=110，s=60，E200 GPa，经验公式为 ，nst1.8。试求结构的许可载荷。 图138解1计算各杆的受力值分别以节点A、B为研究对象，应用平面汇交力系平衡方程，同时考虑结构的对称性，可计算和确定出各杆的受力分别为FDB = FP（拉）由上述计算结果可知，杆AB、AD、BC、CD为压杆，应考虑的失效形式为失稳，需要进行稳定计算；杆BD为拉杆，应考虑的失效形式为强度失效，需进行强度计算。2稳定计算对于AB等压杆 用经验公式计算压杆的临界应力：由稳定条件3. 强度计算对于拉杆BD，FN = FDB = FP，由强度条件可得4结构的许可载荷由上述稳定计算和强度计算结果可知，结构的许用载荷为（a）例题13.9材料相同的梁及柱如图13-9（a）所示，竖杆为两根63635等边角钢（连结成一整体），承受均布载荷q = 24 kN/m，材料的许用应力=160MPa，E = 200 GPa，P=132, ，经验公式 ，nst2.8。试校核该结构。FRCFRCFAFBxAEDCBxMCMDME（b）（c）A图1391由C点的变形协调条件，计算多余未知力原结构为一次静不定，取如图139（b）所示静定基和相当系统。由变形协调条件其中得2梁的强度校核梁的受力如图139(c)所示，由平衡方程， 得梁的支反力 梁的弯矩图如图139(c)所示。C截面弯矩 D或E处剪力Fs=0，由得D截面位置为x = 0.75 m所以，D或E截面梁弯矩值：所以，梁上最大弯矩值为梁的最大正应力为：梁安全。3柱的稳定计算柱的柔度 用经验公式计算压杆的临界应力：临界压力工作安全系数柱也安全。4由上述梁的强度计算和柱的稳定计算结果可知，整个结构安全。例题13.10 一直径为d的圆截面平面曲拐ABC（ABBC，位于xz平面），与直径为d0的圆截面杆CD铰接于C点，如图1310所示。今有一重为W的物体，由高度为H处自由落下冲击于曲拐B点，已知材料的力学性能分别为：p = 200MPa，E = 200GPa，G = 80GPa，=0.3；结构尺寸：d = 50mm，d0 = 10mm， l = 1m，载荷W = 200N，高度H = 20mm；强度安全系数n = 2，稳定安全系数 nw = 1.5。试校核CD杆的安全。l2llABCDzxyHW图1310解1计算多余未知力在此空间结构B点上作用静载荷W，该一次静不定结构在C点的变形协调条件为：平面曲拐在点的位移等于CD杆的压缩量，即设杆CD承受压力为F，则代入，解出2冲击动荷系数静载荷W作用于原空间结构B点时，用叠加法可求得冲击点相应的静位移为：代入自由落体时的动荷系数表达式，得：3CD杆承受的动荷4校核CD杆由于CD杆为压杆，应进行稳定计算CD杆的柔度 而 故CD为大柔度杆， 用欧拉公式计算压杆的临界应力：工作安全系数所以CD杆不安全的。例题13.11：承压立柱由两根32a槽钢组成，若柱的总长为 l=8m，两端球铰约束，中间由间距为a 的缀条用铆钉连接，如图1311所示。铆钉直径d=17mm， 材料的s=235MPa， ns=1.47 nst=1.58 1=132 2=60 经验公式cr=235-6.810-32，试求：1为使立柱承受最大载荷，b的合理取值；2求立柱承载最大时的许用载荷；3在许用载荷作用下a的取值。解1为使立柱承受最大载荷，立柱在y、z方向应具有相同的稳定性，则y=z，即：Iy=Iz 查型钢表计算得：b=289.6mm2最大许用载荷：1）由稳定条件 查型钢表计算可知 i=124.9mm 整个组合压杆的柔度为图1311 用经验公式计算压杆的临界应力：由稳定条件得立柱的许用载荷2）考虑铆钉处的截面削弱，由强度条件：得立柱的许用载荷F1548kN由上述稳定计算和强度计算可知，压杆的最大许用载荷为F1276kN3确定a的取值:为保证整体和局部具有同样的稳定性，同时失稳，要求由上式可得a=1603mm4 自我测试图13121正三角形截面压杆，如图1312所示，其两端为球铰链约束，加载方向通过压杆轴线。当载荷超过临界值，压杆发生屈曲时，横截面将绕哪一根轴转动？现有四种答案，请判断哪一种是正确的。（A） 绕y轴；（B） 绕通过形心C的任意轴；（C） 绕z轴；（D） 绕y轴或z轴。 正确答案是 2 两端为球铰的细长压杆，有面积相同的四种截面可供选择，如图1313所示，由稳定性考虑：图1313(A)空心圆截面一定最好；(B)圆截面最不好；(C)正方形截面一定比矩形、圆形好；(D)矩形截面一定比圆形截面好。正确答案是： 3两个压杆材料和细长比均相同，则：(A)两杆的临界力与临界应力均相等；(B)两杆的临界应力不等，但临界力相等；(C)两杆的临界应力相等，但临界力不一定相等；(D)两杆的临界力与临界应力均不一定相等。正确答案是： 4圆截面压杆(a)、(b)如图1314所示，材料相同，横截面积，杆长，约束情况如图示。两杆的柔度以、表示，临界载荷以和表示，则：图1314(A)，； (B) ，；(C) ，； (D) ，。正确答案是： 5图1315所示压杆(a)、(b)均为细长杆，两杆的材料、杆长、截面形状和尺寸均相同，h = 2b ，临界载荷分别为和，则：图1315（A）； （B）；（C）； （D）。正确答案是： 6 图1316所示(a)、(b)、(c)三种截面，尺寸如图1316所示。研究抗失稳能力时，需计算各自的惯性半径i。若三种截面的惯性半径分别为ia，ib，ic，则：（A）； （B）；（C）； （D）。图1316正确答案是： 7 图1316中四杆均为圆截面直杆，杆长相同，且均为轴向加载，关于四杆临界压力的大小，有四种解答，试判断哪一种是正确的（设其中弹簧的刚度较大）。（A） Fcr（a）Fcr（b）Fcr（c）Fcr（b）Fcr（c）Fcr（d）；（C） Fcr（b）Fcr（c）Fcr（d）Fcr（a）；图1316（D） Fcr（b）Fcr（a）Fcr（c）Fcr（d）。 正确答案是： 8 图1317所示结构，梁和杆的材料相同，AB梁为N016工字钢,BC为直径d=60mm的圆形截面杆，已知:材料的E=205GPa,s=275MPa，强度安全系数n=2，p=90，s=50，稳定安全系数nst=3，经验公式cr=338-1.12，试求: F。FABC1m1m1m图13179 平面结构如图1318所示，重物Q10kN，从距离梁40mm的高度自由下落至AB梁中点C，梁AB为工字形截面，Iz=15760108m4，杆BD两端为球形铰支座，采用b=5cm , h=12cm的矩形截面。梁与杆的材料相同，E200GPa，p=200MPa，s=235MPa，a =304MPa ，b=1.12MPa ，nst = 3，问杆BD是否安全。图1318自我测试答案1正确答案是B。过正多边形截面形心的任意轴均为形心主轴，且惯性矩相等。 2正确答案是：A3正确答案是：C4正确答案是：B5正确答案是：D6正确答案是：D7正确答案是D。图（b）上端有弹性支承，故其临界力比图(a)大；图(c)下端不如图(a)刚性好，故图(c)临界力比图(a)小；图(d)下端弹簧不如图(c)下端刚性好，故图(d)临界力比图(c)小。8解:1求多余未知力取图1319所示静定基和相当系统ABCFFBFB图1319变形协调方程:2BC杆的稳定计算:(ls l nst=3结构安全