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第五章 数列精品资料第五章 数列(时间：120分钟满分：150分)一、 选择题(每小题 5分 ，共60分)1. (2016湖南二校期中)设等差数列an前项和为Sn，若a2S34，a43，则公差为(D)A. 1 B. 1 C. 3 D. 2解析a2S34a24，a21，故d2，选D.2. 已知等比数列an中，若a410，a8，那么a6(B)A. 5 B. 5 C. 5 D. 25解析等比数列an中，a410，a8，解得或a6a1q5205或a6a1q5205.故选B.3. 已知等比数列an的前三项依次为a2，a2，a8，则an(C)A. 8 B. 8C. 8 D. 8解析(a2)2(a2)(a8)，a10，数列首项为8，公比为.an8，故选C. 4. (2015乌鲁木齐三诊)等差数列an的前n项和为Sn，且满足S4a255，则一定有(D)A. a6是常数 B. S7是常数C. a13是常数 D. S13是常数解析由S4a255(a124d)5a16d1a71，S1313a713.故选D.5. (2015浙江高考)已知数列an是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则(B)A. a1d0，dS40 B. a1d0，dS40，dS40 D. a1d0解析等差数列an的公差d0，a3，a4，a8成等比数列，(a13d)2(a12d)(a17d)a1d，S42(a1a4)2(a1a13d)d，a1dd20，dS4d20，故选B.6. 已知an是递增数列，且对任意nN*都有ann2n恒成立，则实数的取值范围是(D)A. B. (0，)C. 2，) D. (3，)解析an是递增数列，an1an.ann2n，即(n1)2(n1)n2n，2n1对于nN*恒成立，3.7. (2015福建高考)若a，b 是函数f(x)x2pxq(p0，q0) 的两个不同的零点，且a，b，2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则pq的值等于(D)A. 6 B. 7 C. 8 D. 9解析由根与系数的关系得abp，abq，则a0，b0，当a，b，2适当排序后成等比数列时，2必为等比中项，故abq4，b.当适当排序后成等差数列时，2必不是等差中项，当a是等差中项时，2a2，解得a1，b4；当是等差中项时，a2，解得a4，b1，综上所述，abp5，pq9，故选D.8. 已知等比数列an中，a21，则其前3项和S3的取值范围是(D)A. (，1 B. (，0)(1，) C. 3，) D. (，13，)解析等比数列an中，a21，S3a1a2a3a21q.当公比q0时，S31q123；当公比q0，则a2a30 B. 若a1a30，则a1a20C. 若0a1 D. 若a10解析先分析四个答案，A举一反例a12，a21，a34，a1a20，a2a30，A错误；B举同样反例a12，a21，a34，a1a30，B错误；下面针对C进行研究，an是等差数列，若0a10，设公差为d，则d0，数列各项均为正，由于aa1a3(a1 d)2a1(a12d)a2a1dd2a2a1dd20，则aa1a3a2.故选C.10. 在圆x2y210x内，过点(5，3)有n条长度成等差数列的弦，最短弦长为数列an的首项a1，最长弦长为an，若公差d，那么n的取值集合为(A)A. 4，5，6 B. 6，7，8，9 C. 3，4，5 D. 3，4，5，6解析圆x2y210x，(x5)2y225，圆心为(5，0)，半径为5.故最长弦长an10，最短弦长a18，108(n1)d(n2，nN*)，d，d，4n7，又nN*，n的取值为4，5，6，故选A.11. 设曲线y2 014xn1(nN*)在点(1，2 014)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令anlog2 014xn，则a1a2a2 013的值为(D)A. 2 014 B. 2 013 C. 1 D. 1解析y2 014(n1)xn，在点(1，2 014)处的切线方程是y2 0142 014(n1)(x1)，xn，a1a2a2 013log2 014(x1x2x2 013)log2 014log2 0141.12. 定义在(，0)(0，)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列an，f(an)仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”现有定义在(，0)(0，)上的如下函数： f(x)x2；f(x)2x；f(x)；f(x)ln|x|.其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为(C)A. B. C. D. 解析不妨设an2n，f(x)x2，f(an)a4n，满足； f(x)2x，f(an)2an22n，令bnf(an)，显然22n，不满足，排除A，D；f(x)ln|x|，f(an)ln|an|ln 2nnln 2，显然f(an)是等差数列，不满足，排除B，故选C.二、 填空题(每小题5分，共20分)13. (2015广东高考)在等差数列an中，若a3a4a5a6a725，则a2a8_10_解析an是等差数列，a3a7a4a6a2a82a5，a3a4a5a6a75a525，即a55，a2a82a510，故应填10.14. 若数列an满足d(nN*，d为常数)，则称数列an为调和数列已知数列为调和数列，且x1x2x20200，则x5x16_20_解析由题意，若an为调和数列，则为等差数列，为调和数列，数列xn为等差数列，由等差数列的性质可知，x5x16x1x20x2x19x10x1120.故填20.15. 在各项均为正数的等比数列an中，已知a3a411a2a4，且它的前2n项的和等于它的前2n项中偶数项之和的 11倍，则数列an的通项公式an_102n_解析设等比数列an的公比为q，前2n项和为S2n，前2n项中偶数项之和为Tn，由题意知q1，则S2n，Tn.由题意可知S2n11Tn，即，解得q.又a3a411a2a4，a1q2a1q311aq4，化简得 1q11a1q2，将q代入可得a110，故ana1qn1102n.16. 已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意实数a，bR满足：f(ab)af(b)bf(a), f(2)2，an(nN*)，bn(nN*)，下列结论：f(0)f(1)；f(x)为偶函数；数列bn为等差数列；数列an为等比数列其中正确的是_(填序号)解析f(0)f(00)0, f(1)f(11)2f(1)，f(1)0，正确；f(1)f(1)(1)2f(1)，f(1)0, f(2)f(12)f(2)2f(1)2f(2)，故f(x)不是偶函数，故错；f(2n)f(22n1)2f(2n1)2n1f(2)2f(2n1)2n，bn1，bnbn11，bn是等差数列，正确；又b11，bn1(n1)1n, f(2n)2nbnn2n，an2n，故数列an是等比数列，正确三、 解答题(共70分)17. (10分)(2016广东二校模拟)已知数列是等差数列，且a3，a24a7.(1)求数列an的通项公式；(2)若bnanan1(nN*)，求数列bn的前n项和Sn.解析(1)由于为等差数列，设其公差为d，8，2d8，d，解得2，d3，(4分)于是23(n1)，整理得an.(6分)(2)由(1)得bnanan1，(8分)Sn.(10分)18. (12分)(2016福建八县一中模拟)已知数列an与bn满足：a11，bn且anbn1an1bn1(2)n，nN*.(1)求a2，a3的值；(2)令cka2k1a2k1，kN，证明：ck是等比数列；解析(1)由bn，nN*，可得bn(1分)又anbn1an1bn1(2)n，a11，当n1时，a1b2a2b11，得a23，(3分)当n2时，a2b3a3b25，得a34.(5分)(2)anbn1an1bn1(2)n，nN*，令n2k1(kN)，则2a2k1a2k1(2)2k1, (7分)令n2k(kN)，则a2k2a2k11(2)2k，(9分)由得a2k1a2k1322k2，即ck322k2，因此4，cn是等比数列. (12分)19. (12分)(2015浙江六校联考)已知数列an的前n项和为Sn，Snann(nN*)(1)求证an1是等比数列，并求数列an的通项公式；(2)证明：.解析(1)对任意nN*，都有Snann(nN*)，且S1a1，a1S1a11，得a12.(2分)当n2且nN*时，有anSnSn1anan11，即an3an12，(4分)an13(an11)，由此表明an1是以a113为首项，3为公比的等比数列(6分)an133n13n，an3n1.故数列an的通项公式为an3n1.(8分)(2)，.(12分)20. (12分)(2016枣庄八中期中)已知数列an满足，an1an4n3(nN*)(1)若数列an是等差数列，求a1的值；(2)当a12时，求数列an的前n项和Sn.解析(1)若数列an是等差数列，则ana1(n1)d，an1a1nd.由an1an4n3，得(a1nd)a1(n1)d4n3，2d4，2a1d3，解得d2，a1.(4分)(2)由an1an4n3，得an2an14n1(nN*)两式相减，得an2an4.数列a2n1是首项为a1，公差为4的等差数列，数列a2n是首项为a2，公差为4的等差数列由a2a11，a12，得a21.an(8分)当n为奇数时，则an2n，an12n3.Sna1a2an(a1a2)(a3a4)(an2an1)an19(4n11)2n.(9分)当n为偶数时，Sna1a2an(a1a2)(a3a4)(an1an)19(4n7).Sn(12分)21. (12分)(2016河南中原名校联考)已知数列an的首项为a15，前n项和为Sn，且Sn12Snn5(nN*)(1)证明：数列an1是等比数列；(2)令f(x)a1xa2x2anxn, f (x)是函数f(x)的导函数，令bnf (1)，求数列bn的通项公式解析(1)Sn12Snn5，Sn2Sn1n4(n2)，两式相减得 an12an1，即an112(an1)(5分)当n1时，S2a1a22a16，a15，得a211，a116，a2112，a212(a11)，an10，从而当nN*时恒有2，即数列an1为等比数列(6分)(2)由(1)可知an32n1，f(x)a1xa2x2anxn，f (x)a12a2xnanxn1，则f (1)a12a2nan(321)2(3221)3(3231)n(32n1)3(12222323n2n)(123n)(8分)令S2222323n2n，则2S22223324n2n1，作差得S(n1)2n12，(10分)bnf (1)3(n1)2n16.(12分)22. (12分)数列an的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意nN*，总有an，Sn，a成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)设数列bn的前n项和为Tn ，且bn，求证：对任意实数x(1，e(e是常数，e2.718 28)和任意正整数n，总有Tn2；(3)正数数列cn中，an1(cn)n1(nN*)求数列cn中的最大项. 解析(1)由已知，对于任意nN*，总有2Snana，成立2Sn1an1a(n2)，得2ananaan1a，anan1(anan1)(anan1)，(2分)an，an1均为正数，anan11(n2)数列an是公差为1的等差数列又当n1时，2S1a1a，解得a11.ann(nN*)(4分)(2)对任意实数x(1，e和任意正整数n，总有bn，Tn11122.(8分)(3)an是正数数列，由a2c2得c1，由a3c3得c2，由a4c4得c3，由a5c5得c4，易得c1c2，c2c3c4，猜想：当n2 时，cn是递减数列令f(x)，则f(x).(10分)当x3时，ln x1，1ln x0，即f(x)0.在3，)上， f(x)为减函数由an1(cn)n1，知ln cn.当n2 时，ln cn是递减数列，即cn是递减数列又c1c2，数列cn中的最大项为c2. (12分)仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢9