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用分离变量法解常微分方程

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用分离变量法解常微分方程

.

１ 直接可分离变量的微分方程
1.1形如
= (1.1)
的方程，称为变量分离方程，这里，分别是的连续函数.

如果(y)≠0，我们可将（1.1）改写成
= ,
这样，变量就“分离”开来了.两边积分，得到
　　　　　 通解：= + c. 　　 　　　　 　　(1.2)
其中，c表示该常数，，分别理解为，的原函数.常数c的取值必须保证（1.2）有意义.使的是方程(1.1)的解.
例1 求解方程的通解.
解：(1)变形且分离变量：

(2)两边积分：
，
得
.
可以验证也是原方程的解，若视和是平等的，则也是原方程的解.
我们可以用这个方法来解决中学常见的一些几何问题.
例2 曲线上的点处的法线与轴的交点为，且线段被轴平分.求曲线的方程.
分析:这是一个利用几何条件来建立微分方程的例子.先建立法线的方程，用大写的表示法线上的动点，用小写的表示曲线上的点，为过点的法线的斜率.
解：由题意得
.
从而法线的方程为
.
又被轴平分，与轴交点的坐标为，代入上式，得
.
整理后，得
，

图1
分离变量，解得
，
其中c为任意正数，如图1.

２ 变量可替换的微分方程

通过上面的介绍，我们已经知道了什么方程是变量分离方程.下面，我们再介绍几种可化为变量分离方程的类型:

2.1齐次方程
形如 (1.3)
的微分方程，称为齐次微分方程.这里是的连续函数.
对方程(1.3)做变量变换
， (1.4)
即，于是
. (1.5)
将(1.4),(1.5)代入（1.3），则原方程变为
，
整理后，得到
. (1.6)
方程（1.6）是一个变量分离方程.可按前面(1.1)的方法求解，然后代回原来的变量，便得到（1.3）的解.
例3 求微分方程的通解.
解：原方程化为
，
即
，
于是，令，即，将代入该方程，得
，
整理，即有
，
分离变量，得
，
两边积分，得
，
将代回来，得
，
，
即
，其中为任意常数.
另,即也是原方程的解，但此解课包含于通解之中.故,方程的通解为.

2.2形如
(1.7)
的方程，这里均为常数. 此方程经变量变换可化为变量分离方程.

我们分三种情形来讨论：
2.2.1 的情形.
这时方程化为

有通解
，
其中.

2.2.2 的情形.
令，这时有

是变量分离方程.

2.2.3 的情形.
如果方程中不全为零，方程右端分子、分母都是的一次多项式，因此
，
. （1.8）
代表平面上两条相交直线，设交点.若令

，
.
则（2.2）化为
，
.
从而（2.1）变为
. (1.9)
因此，求解上述变量分离方程，最后代回原变量即可得原方程（2.1）的解.
如果方程（2.1）中可不必求解（2.2），直接取变换即可.
上述解题的方法也适用于比方程（2.1）更一般的方程类型
.
例4 求解方程
（2.0）
解： 解方程组 ,
,
得.
于是，令
,
,
代入方程（2.4），则有
.
再令,即 ，则化为
，
两边积分，得
，
因此
，
代回原变量，得
，
即
.
因此，方程（2.3）的通解为
，
其中，为任意常数.
通过上述的求解，我们发现以上的方法是非常的准确的，但是对于像例5这种形式的的方程，我们发现还可以用另一种方法——凑微分进行求解.

凑微分
当方程

满足：
（2.2）
时，方程会有更简便的求解方法（全微分的知识的运用）.
即：将代入方程中，
有

即

展开，得
（2.3）

有条件（2.6）可知，
（2.4）
将（2.8）代入（2.7）中，得
.
很显然，这是一个全微分方程，从而原方程的通解为
，其中为任意常数.
例5 求解方程.
解法一：该方程属于（2.2.2）的情形.于是，令.则
所以，原方程可化为
.
这是一个分离变量方程.整理可得
.
将代入，可得

即，通解为
.其中c为任意常数.
观察例6可以发现，方程也满足条件(2.6)，于是用凑微分的方法同样可以求解.

解法二：原方程变形为
.
整理得
.
所以
.
两边积分，得原方程的通解为=C，其中C为任意常数.
以上的两种方法都是求解微分方程的常用方法,下面再介绍几种比较常见的课分离变量的方程.

2.3形如 的方程也可以经变量变换化为变量分离方程，这里的均为常数.

做变量变换
，
这时有
，
即
.
是变量分离方程.而当时，为其特殊形式.
例7 求解方程.
解：因为
， (2.5)
可以化为
.
于是，令
. (2.6)
则
, (2.7)
将(2.9)代入(2.11)可以知道，这是一个分离变量方程.
即
.
两边同时积分，得
. (2.8)
再将(2.10)代入(2.12)，得
.
所以

整理得，
，其中C为任意常数.

2.4其他几种变量能分离的方程类型

2.4.1形如
, (2.9)
的方程同样可已经变量替换化为变量分离方程.
将(2.13)变形为
(3.0)
做变量替换
.
这时有
， (3.1)
将(2.15)代入(2.14)中，得
.
是变量分离方程.

2.4.2形如
， (3.2)
的方程是变量分离方程.

做变量替换
，
则
， (3.3)
代入原方程，得
.
是变量分离方程.

2.4.3形如
， (3.4)
的方程是变量分离方程.

做变量替换
，
则，有
， (3.5)
将(2.19)代入(2.18)中，得
，
所以，原方程同样是变量可替换方程.

2.4.4形如
(3.6)
（其中、满足）的方程.

可令，方程(2.20)化为齐次方程
，
事实上，
，
由于
，
所以
，
即
，
再，设，可化为变量分离变量.
除此之外，还有一些一般形式，如可以通过变量替换化为变量分离方程求解；形如（其中M、N为齐次函数，次数可以不相同）也可通过变量替换化为变量分离方程求解.变量代换是求解一阶微分方程的一种重要方法，在一阶微分方程的初等解法中具有重要的作用.

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