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材料力学答案

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材料力学第五版孙训方版课后习题答案

[习题2-2]一打入基地内的木桩如图所示，杆轴单位长度的摩擦力f=kx**2，试做木桩的后力图。
解：由题意可得：

[习题2-3] 石砌桥墩的墩身高，其横截面面尺寸如图所示。荷载，材料的密度，试求墩身底部横截面上的压应力。
解：墩身底面的轴力为：
2-3图

墩身底面积：
因为墩为轴向压缩构件，所以其底面上的正应力均匀分布。

[习题2-7] 图示圆锥形杆受轴向拉力作用，试求杆的伸长。

2-7图
解：取长度为截离体（微元体）。则微元体的伸长量为：
，
，，
，
，
因此，

[习题2-10] 受轴向拉力F作用的箱形薄壁杆如图所示。已知该材料的弹性常数为，试求C与D两点间的距离改变量。
解：
式中，，故：
，
，

[习题2-11] 图示结构中，AB为水平放置的刚性杆，杆1，2，3材料相同，其弹性模量，已知，，，。试求C点的水平位移和铅垂位移。
变形协调图
受力图

2-11图
解：（1）求各杆的轴力
以AB杆为研究对象，其受力图如图所示。
因为AB平衡，所以
，，
由对称性可知，，
（2）求C点的水平位移与铅垂位移。
A点的铅垂位移：
B点的铅垂位移：
1、2、3杆的变形协（谐）调的情况如图所示。由1、2、3杆的变形协（谐）调条件，并且考虑到AB为刚性杆，可以得到
C点的水平位移：
C点的铅垂位移：
[习题2-12] 图示实心圆杆AB和AC在A点以铰相连接，在A点作用有铅垂向下的力。已知杆AB和AC的直径分别为和，钢的弹性模量。试求A点在铅垂方向的位移。
解：（1）求AB、AC杆的轴力
以节点A为研究对象，其受力图如图所示。
由平衡条件得出：
：
………………………(a)
：
………………(b)
(a) (b)联立解得：
；
（2）由变形能原理求A点的铅垂方向的位移

式中，；
；
故：
[习题2-13] 图示A和B两点之间原有水平方向的一根直径的钢丝，在钢丝的中点C加一竖向荷载F。已知钢丝产生的线应变为，其材料的弹性模量，
钢丝的自重不计。试求：
（1）钢丝横截面上的应力（假设钢丝经过冷拉，在断裂前可认为符合胡克定律）；
（2）钢丝在C点下降的距离；
（3）荷载F的值。
解：（1）求钢丝横截面上的应力

（2）求钢丝在C点下降的距离
。其中，AC和BC各。

（3）求荷载F的值
以C结点为研究对象，由其平稀衡条件可得：
：

[习题2-15]水平刚性杆AB由三根BC,BD和ED支撑，如图，在杆的A端承受铅垂荷载F=20KN,三根钢杆的横截面积分别为A1=12平方毫米，A2=6平方毫米，A,3=9平方毫米，杆的弹性模量E=210Gpa，求：
（1） 端点A的水平和铅垂位移。
（2） 应用功能原理求端点A的铅垂位移。
解：（1）

（2）

[习题2-17] 简单桁架及其受力如图所示，水平杆BC的长度保持不变，斜杆AB的长度可随夹角的变化而改变。两杆由同一种材料制造，且材料的许用拉应力和许用压应力相等。要求两杆内的应力同时达到许用应力，且结构的总重量为最小时，试求：
（1）两杆的夹角；
（2）两杆横截面面积的比值。
解：（1）求轴力
取节点B为研究对象，由其平衡条件得：

2-17
（2）求工作应力

（3）求杆系的总重量
。是重力密度（简称重度，单位：）。

（4）代入题设条件求两杆的夹角
条件①： ，
，
条件⑵：的总重量为最小。

从的表达式可知，是角的一元函数。当的一阶导数等于零时，取得最小值。

，
，
（5）求两杆横截面面积的比值
，

因为： ，，
，
所以：
[习题2-18] 一桁架如图所示。各杆都由两个等边角钢组成。已知材料的许用应力，试选择AC和CD的角钢型号。
解：（1）求支座反力
由对称性可知，

（2）求AC杆和CD杆的轴力
以A节点为研究对象，由其平
衡条件得：
2-18

以C节点为研究对象，由其平衡条件得：

（3）由强度条件确定AC、CD杆的角钢型号
AC杆：

选用2∟（面积）。
CD杆：

选用2∟（面积）。
[习题2-19] 一结构受力如图所示，杆件AB、CD、EF、GH都由两根不等边角钢组成。已知材料的许用应力，材料的弹性模量，杆AC及EG可视为刚性的。试选择各杆的角钢型号，并分别求点D、C、A处的铅垂位移、、。
解：（1）求各杆的轴力

2-19

（2）由强度条件确定AC、CD杆的角钢型号
AB杆：

选用2∟（面积）。
CD杆：

选用2∟（面积）。
EF杆：

选用2∟（面积）。
GH杆：

选用2∟（面积）。
（3）求点D、C、A处的铅垂位移、、

EG杆的变形协调图如图所示。

[习题2-21] （1）刚性梁AB用两根钢杆AC、BD悬挂着，其受力如图所示。已知钢杆AC和BD的直径分别为和，钢的许用应力，弹性模量。试校核钢杆的强度，并计算钢杆的变形、及A、B两点的竖向位移、。
解：（1）校核钢杆的强度
① 求轴力

② 计算工作应力

2-21

③ 因为以上二杆的工作应力均未超过许用应力170MPa，即；，所以AC及BD杆的强度足够，不会发生破坏。
（2）计算、

（3）计算A、B两点的竖向位移、
，
[习题3-2] 实心圆轴的直径，长，其两端所受外力偶矩，材料的切变模量。试求：
（1）最大切应力及两端面间的相对转角；
（2）图示截面上A、B、C三点处切应力的数值及方向；
（3）C点处的切应变。
解：（1）计算最大切应力及两端面间的相对转角
。
式中，。 3-2
故：
，式中，。故：

（2）求图示截面上A、B、C三点处切应力的数值及方向
， 由横截面上切应力分布规律可知：
， A、B、C三点的切应力方向如图所示。
（3）计算C点处的切应变

[习题3-3] 空心钢轴的外径，内径。已知间距为的两横截面的相对扭转角，材料的切变模量。试求：
（1）轴内的最大切应力；
（2）当轴以的速度旋转时，轴所传递的功率。
解；（1）计算轴内的最大切应力
。

式中，。
，

（2）当轴以的速度旋转时，轴所传递的功率

[习题3-5] 图示绞车由两人同时操作，若每人在手柄上沿着旋转的切向作用力F均为0.2kN，已知轴材料的许用切应力，试求：
（1）AB轴的直径；
（2）绞车所能吊起的最大重量。
解：（1）计算AB轴的直径
AB轴上带一个主动轮。两个手柄所施加的外力偶
矩相等：

扭矩图如图所示。 3-5
由AB轴的强度条件得：

（2）计算绞车所能吊起的最大重量
主动轮与从动轮之间的啮合力相等：
，
由卷扬机转筒的平衡条件得：
，
[习题3-6] 已知钻探机钻杆（参看题3-2图）的外径，内径，功率，转速，钻杆入土深度，钻杆材料的，许用切应力。假设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的，试求：
（1）单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度；
（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核；
（3）两端截面的相对扭转角。
解：（1）求单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度

设钻杆轴为轴，则：，，

（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核
①作钻杆扭矩图
。
；
扭矩图如图所示。
②强度校核，
式中，

因为，，即，所以轴的强度足够，不会发生破坏。
（3）计算两端截面的相对扭转角

式中，

[习题3-8] 直径的等直圆杆，在自由端截面上承受外力偶，而在圆杆表面上的A点将移动到A1点，如图所示。已知，圆杆材料的弹性模量，试求泊松比（提示：各向同性材料的三个弹性常数E、G、间存在如下关系：。
解：整根轴的扭矩均等于外力偶矩：。设两截面之间的相对对转角为，则，， 式 中， 3-8

由得：
[习题3-10] 长度相等的两根受扭圆轴，一为空心圆轴，一为实心圆轴，两者的材料相同，受力情况也一样。实心轴直径为d；空心轴的外径为D，内径为d0，且。试求当空心轴与实心轴的最大切应力均达到材料的许用切应力（），扭矩T相等时的重量比和刚度比。
解：（1）求空心圆轴的最大切应力，并求D。

式中，，故：

3-10
（1）求实心圆轴的最大切应力
，式中， ，故：
，，
（3）求空心圆轴与实心圆轴的重量比

（4）求空心圆轴与实心圆轴的刚度比
，

[习题3-11] 全长为，两端面直径分别为的圆台形杆，在两端各承受一外力偶矩
，如图所示。试求杆两端面间的相对扭转角。
解：如图所示，取微元体，则其两端面之间的扭转角为：

式中，

，
故：

=
[习题3-12] 已知实心圆轴的转速，传递的功率，轴材料的许用切应力，切变模量。若要求在2m长度的相对扭转角不超过，试求该轴的直径。
解：
式中，；。故：
，

取。
[习题3-16] 一端固定的圆截面杆AB，承受集度为的均布外力偶作用，如图所示。试求杆内积蓄的应变能。已矩材料的切变模量为G。
解：
3-16
[习题3-18] 一圆锥形密圈螺旋弹簧承受轴向拉力F如图，簧丝直径，材料的许用切应力，切变模量为G，弹簧的有效圈数为。试求：
（1）弹簧的许可切应力；
（2）证明弹簧的伸长。
解：（1）求弹簧的许可应力
用截面法，以以簧杆的任意截面取出上面部分为截离体。由平衡条件可知，在簧杆横截面上：
剪力扭矩
最大扭矩：
，

因为，所以上式中小括号里的第二项，即由Q所产生的剪应力可以忽略不计。此时
（2）证明弹簧的伸长
外力功： ，

，

[习题3-19] 图示矩形截面钢杆承受一对外力偶。已知材料的切变模量，试求：
（1） 杆内最大切应力的大小、位置和方向；
（2） 横截面短边中点处的切应力；
（3） 杆的单位长度扭转角。
解：（1）求杆内最大切应力的大小、位置和方向
， ， ， 由表得，    

    ，   

长边中点处的切应力，在上面，由外指向里
（2）计算横截面短边中点处的切应力

短边中点处的切应力，在前面由上往上
（3）求单位长度的转角

单位长度的转角
[习题3-23] 图示为薄壁杆的的两种不同形状的横截面，其壁厚及管壁中线的周长均相同。两杆的长度和材料也相同，当在两端承受相同的一对扭转外力偶矩时，试求：
（1） 最大切应力之比；
（2） 相对扭转角之比。
解：（1）求最大切应力之比
开口：
依题意：，故：

闭口：，
（3） 求相对扭转角之比
开口：，
闭口：

4-1试求图示各梁中指定截面上的剪力和弯矩
a（5）=h（4）

b（5）=f（4）

4-2试写出下列各梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图
a（5）=a（4）

b（5）=b（4）

f（5）=f（4）

4-3试利用载荷集度，剪力和弯矩间的微分关系做下列各梁的弯矩图和剪力e和f题）

（e） （f） （h）

4-4试做下列具有中间铰的梁的剪力图和弯矩图。

4-4 （b） 4-5 （b）
4-5．根据弯矩、剪力与荷载集度之间的关系指出下列玩具和剪力图的错误之处，并改正。
4-6．已知简支梁的剪力图如图所示，试做梁的弯矩图和荷载图，梁上五集中力偶作用。

4-6（a） 4-7（a）
4-7．根据图示梁的弯矩图做出剪力图和荷载图。
4-8用叠加法做梁的弯矩图。

4-8（b） 4-8（c）
4-9．选择合适的方法，做弯矩图和剪力图。

4-9（b） 4-9（c）
4-10
4-14．长度l=2m的均匀圆木，欲锯做Fa=0.6m的一段，为使锯口处两端面开裂最小，硬是锯口处弯矩为零，现将圆木放在两只锯木架上，一只锯木架放在圆木一段，试求另一只锯木架应放位置。
x=0.4615m
4-18

4-19M=30KN
4-21

4-23

4-25

4-28

4-29

4-33

4-36

4-35

5-2

5-3

5-7

5-15

5-22

5-23 选22a工字钢
5-24

6-4

6-12

7-3-55mpa。-55mpa
7-4[习题7-3] 一拉杆由两段沿面胶合而成。由于实用的原因，图中的角限于范围内。作为“假定计算”，对胶合缝作强度计算时，可以把其上的正应力和切应力分别与相应的许用应力比较。现设胶合缝的许用切应力为许用拉应力的，且这一拉杆的强度由胶合缝强度控制。为了使杆能承受最大的荷载F，试问角的值应取多大？
解：；；

，
，

，，
（）
0.9
10
20
30
36.8833
40
50
60
（）
1.000
1.031
1.132
1.333
1.563
1.704
2.420
4.000
（）
47.754
4.386
2.334
1.732
1.562
1.523
1.523
1.732

由以上曲线可知，两曲线交点以左，由正应力强度条件控制最大荷载；交点以右，由切应力强度条件控制最大荷载。由图中可以看出，当时，杆能承受最大荷载，该荷载为：

7-6[习题7-7] 试用应力圆的几何关系求图示悬臂梁距离自由端为的截面上，在顶面以下的一点处的最大及最小主应力，并求最大主应力与轴之间的夹角。

解：（1）求计算点的正应力与切应力

（2）写出坐标面应力
X（10.55，-0.88）
Y（0，0.88）
(3) 作应力圆求最大与最小主应力，
并求最大主应力与轴的夹角
作应力圆如图所示。从图中按
比例尺量得：

7-7[习题7-8] 各单元体面上的应力如图所示。试利用应力圆的几何关系求：
（1）指定截面上的应力；
（2）主应力的数值；
（3）在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向。

[习题7-8（a）]
解：坐标面应力：X（20，0）；Y（-40，0）。根据以上数据作出如图所示的应
力圆。图中比例尺为代表。按比例尺量得斜面的应力为：
， ；，；。

单元体图
应力圆（O.Mohr圆）
主单元体图

[习题7-8（b）]
解：坐标面应力：X（0，30）；Y（0，-30）。根据以上数据作出如图所示的应力圆。图中比例尺为代表。按比例尺量得斜面的应力为：
，；，； 。

单元体图
应力圆（O.Mohr圆）
主单元体图

[习题7-8（c）]
解：坐标面应力：X（-50，0）；Y（-50，0）。根据以上数据作出如图所示的应力圆。图中比例尺为代表。按比例尺量得斜面的应力为：
，；，。

单元体图
应力圆（O.Mohr圆）
主单元体图
[习题7-8（d）]
解：坐标面应力：X（0，-50）；Y（-20，50）。根据以上数据作出如图所示的应力圆。图中比例尺为代表。按比例尺量得斜面的应力为：
，；,，；。

单元体图
应力圆（O.Mohr圆）
主单元体图
[习题7-10] 已知平面应力状态下某点处的两个截面的的应力如图所示。试利用应力圆求该点处的主应力值和主平面方位，并求出两截面间的夹角值。

平面应力状态下的两斜面应力
应力圆

解：两斜面上的坐标面应力为：
A（38，28），B（114，-48）
由以上上两点作出的直线AB是应力圆上的一条弦，
如图所示。作AB的垂直平分线交水平坐标轴于C
点，则C为应力圆的圆心。设圆心坐标为C（）
则根据垂直平线上任一点到线段段两端的距离相等
性质，可列以下方程：

解以上方程得：。即圆心坐标为C（86，0）
应力圆的半径：

主应力为：

（2）主方向角

（上斜面A与中间主应力平面之间的夹角）
（上斜面A与最大主应力平面之间的夹角）
（3）两截面间夹角：

[习题7-14] 单元体各面上的应力如图所示。试用应力圆的几何关系求主应力及最大切应力。[习题7-15（a）]
解：坐标面应力：X（70，-40），Y（30，-40），Z（50，0）

单元体图
应力圆

由XY平面内应力值作a、b点，连接a、b交 轴得圆心C（50，0）
  应力圆半径：

[习题7-15（b）]
解：坐标面应力：X（60，40），Y（50，0），Z（0，-40）

单元体图
应力圆

由XZ平面内应力作a、b点，连接a、b交 轴于C点，OC=30，故应力圆圆心C（30，0）
应力圆半径：

[习题7-15（c）]
解：坐标面应力：X（-80，0），Y（0，-50），Z（0，50）

单元体图
应力圆

由YZ平面内应力值作a、b点，圆心为O，半径为50，作应力圆得

[习题7-19] D=120mm，d=80mm的空心圆轴，两端承受一对扭转力偶矩 ，如图所示。在轴的中部表面A点处，测得与其母线成 方向的线应变为 。已知材料的弹性常数 ， ，试求扭转力偶矩 。

解：
方向如图

[习题7-20] 在受集中力偶作用矩形截面简支梁中，测得中性层上 k点处沿方向的线应变为。已知材料的弹性常数和梁的横截面及长度尺寸。试求集中力偶矩。

解：支座反力：
（↑）； （↓）
K截面的弯矩与剪力：
；
K点的正应力与切应力：
；
故坐标面应力为：X（，0），Y（0，-）

（最大正应力的方向与正向的夹角），故

[习题7-22] 已知图示单元体材料的弹性常数，。试求该单元体的形状改变能密度。
解：坐标面应力：X（70，-40），Y（30，40），Z（50，0）
在XY面内，求出最大与最小应力：

故，，，。
单元体的形状改变能密度：

[习题7-25] 一简支钢板梁承受荷载如图a所示，其截面尺寸见图b。已知钢材的许用应力为， 。试校核梁内的最大正应力和最大切应力。并按第四强度理论校核危险截面上的a点的强度。注：通常在计算a点处的应力时，近似地按点的位置计算。

解： 左支座为A，右支座为B，左集中力作用点为C，右集中力作用点为D。
支座反力： （↑）

 =

（1）梁内最大正应力发生在跨中截面的上、下边缘

超过 的5.3%，在工程上是允许的。
  （2）梁内最大剪应力发生在支承截面的中性轴处

（3）在集中力作用处偏外侧横截面上校核点a的强度

超过 的3.53%，在工程上是允许的。
[习题7-27] 用Q235钢制成的实心圆截面杆，受轴向拉力F及扭转力偶矩共同作用，且。今测得圆杆表面k点处沿图示方向的线应变。已知杆直径，材料的弹性常数，。试求荷载F和。若其许用应力，试按第四强度理论校核杆的强度。

解：计算F和的大小：
在k点处产生的切应力为：

F在k点处产生的正应力为：

即：X（，），Y （0，）
广义虎克定律：

（F以N为单位，d以mm为单位，下同。）

按第四强度理论校核杆件的强度：

符合第四强度理论所提出的强度条件，即安全。

[习题8-1] 14号工字钢悬臂梁受力情况如图所示。已知，，，试求危险截面上的最大正应力。

解：危险截面在固定端，拉断的危险点在前上角点，压断的危险点在后下角，因钢材的拉压性能相同，故只计算最大拉应力：

式中，，由14号工字钢，查型钢表得到，。故

[习题8-2]  受集度为 的均布荷载作用的矩形截面简支梁，其荷载作用面与梁的纵向对称面间的夹角为 ，如图所示。已知该梁材料的弹性模量 ；梁的尺寸为，，；许用应力；许用挠度。试校核梁的强度和刚度。

解：（1）强度校核
（正y方向↓）
（负z方向←）
出现在跨中截面
出现在跨中截面

最大拉应力出现在左下角点上：

因为 ，，即：
所以 满足正应力强度条件，即不会拉断或压断，亦即强度上是安全的。
（2）刚度校核

=
。即符合刚度条件，亦即刚度安全。
[习题8-10] 图示一浆砌块石挡土墙，墙高，已知墙背承受的土压力，并且与铅垂线成夹角，浆砌石的密度为，其他尺寸如图所示。试取长的墙体作为计算对象，试计算作用在截面AB上A点和B点处的正应力。又砌体的许用压应力为，许用拉应力为，试作强度校核。
解：沿墙长方向取作为计算单元。分块计算砌
体的重量：

竖向力分量为：

各力对AB截面形心之矩为：
AB之中点离A点为：，的偏心距为
的偏心距为
的偏心距为
的力臂为

砌体墙为压弯构件

因为 ，，所以砌体强度足够。
[习题8-11] 试确定图示各截面的截面核心边界。

[习题8-11（a）]
解：惯性矩与惯性半径的计算

截面核心边界点坐标的计算(习题8-13)

截面核心边界点坐标的计算
中性轴编号

①
②
③
④
中性轴的截距

400
∞
-400
∞

∞
-400
∞
400
对应的核心边界上的点

1
2
3
4
核心边界上点

72882
-182
0
182
0
的坐标值（m)

72882

0
182
0
-182

[习题8-11（b）]

解：计算惯性矩与惯性半径

截面核心边界点坐标的计算(习题8-14b)
中性轴编号

①
②
③
④
中性轴的截距

50
∞
-50
∞

∞
-100
∞
100
对应的核心边界上的点

1
2
3
4
核心边界上点

1042
-21
0
21
0
的坐标值（m)

4167

0
42
0
-42

[习题8-11（c）]
解：（1）计算惯性矩与惯性半径
半圆的形心在Z轴上，

半圆的面积：

半圆形截面对其底边的惯性矩是，用平行轴定理得截面对形心轴 的惯性矩：

（2）列表计算截面核心边缘坐标
截面核心边界点坐标的计算(习题8-14b)
中性轴编号

①
②
③
④
中性轴的截距

100
∞
-100
∞

∞
-85
∞
115
对应的核心边界上的点

1
1
2
3
核心边界上点

10000
-100
0
100
0
的坐标值（m)

2788

0
33
0
-24

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