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《管理运筹学》第四版 第4章 线性规划在工商管理中的应用 课后习题解析

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《管理运筹学》第四版课后习题解析
第4章线性规划在工商管理中的应用
1．解：
为了用最少的原材料得到10台锅炉，需要混合使用14种下料方案。
设14种方案下料时得到的原材料根数分别为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11，x12，x13，x14，如表4-1所示。
表4-1 各种下料方式
下料方式
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2 640 mm
2
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1 770 mm
0
1
0
0
3
2
2
1
1
1
0
0
0
0
1 650 mm
0
0
1
0
0
1
0
2
1
0
3
2
1
0
1 440 mm
0
0
0
1
0
0
1
0
1
2
0
1
2
3
min f=x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8＋x9＋x10＋x11＋x12＋x13＋x14
s.t.  2x1＋x2＋x3＋x4≥80
x2＋3x5＋2x6＋2x7＋x8＋x9＋x10≥350
x3＋x6＋2x8＋x9＋3x11＋2x12＋x13≥420
x4＋x7＋x9＋2x10＋x12＋2x13＋3x14≥10
x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11，x12，x13，x14≥0
通过管理运筹学软件，我们可以求得此问题的解为：
x1=40，x2=0，x3=0，x4=0，x5=116.667，x6=0，x7=0，x8=0，x9=0，x10=0，x11=140，x12=0，x13=0，x14=3.333
最优值为300。

2．解：
（1）将上午11时至下午10时分成11个班次，设xi表示第i班次新上岗的临时工人数，建立如下模型。
min f=16(x1＋x 2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8＋x9＋x10＋x11)
s.t．x1＋1≥9
x1＋x2＋1≥9
x1＋x2＋x3＋2≥9
x1＋x2＋x3＋x4＋2≥3
x2＋x3＋x4＋x5＋1≥3
x3＋x4＋x5＋x6＋2≥3
x4＋x5＋x6＋x7＋1≥6
x5＋x6＋x7＋x8＋2≥12
x6＋x7＋x8＋x9＋2≥12
x7＋x8＋x9＋x10＋1≥7
x8＋x9＋x10＋x11＋1≥7
x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11≥0
通过管理运筹学软件，我们可以求得此问题的解如下：
x1=8，x2=0，x3=1，x4=1，x5=0，x6=4，x7=0，x8=6，x9=0，x10=0，x11=0，最优值为320。
在满足对职工需求的条件下，在11时安排8个临时工，13时新安排1个临时工，14时新安排1个临时工，16时新安排4个临时工，18时新安排6个临时工可使临时工的总成本最小。
（2）这时付给临时工的工资总额为320，一共需要安排20个临时工的班次。
约束松弛/剩余变量对偶价格
------ ------------ ------------
1 0 −4
2 0 0
3 2 0
4 9 0
5 0 −4
6 5 0
7 0 0
8 0 0
9 0 −4
10 0 0
11 0 0
根据剩余变量的数字分析可知，可以让11时安排的8个人工做3小时，13时安排的1个人工作3小时，可使得总成本更小。
（3）设xi表示第i班上班4小时临时工人数，yj表示第j班上班3小时临时工人数。
min f=16(x1＋x 2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8)＋12(y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋y6＋y7＋y8＋y9)
s.t．x1＋y1＋1≥9
x1＋x2＋y1＋y2＋1≥9
x1＋x2＋x3＋y1＋y2＋y3＋2≥9
x1＋x2＋x3＋x4＋y2＋y3＋y4＋2≥3
x2＋x3＋x4＋x5＋y3＋y4＋y5＋1≥3
x3＋x4＋x5＋x6＋y4＋y5＋y6＋2≥3
x4＋x5＋x6＋x7＋y5＋y6＋y7＋1≥6
x5＋x6＋x7＋x8＋y6＋y7＋y8＋2≥12
x6＋x7＋x8＋y7＋y8＋y9＋2≥12
x7＋x8＋y8＋y9＋1≥7
x8＋y9＋1≥7
x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，y1，y2，y3，y4，y5，y6，y7，y8，y9≥0
用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下：
x1=0，x2=0，x3=0，x4=0，x5=0，x6=0，x7=0，x8=6，
y1=8，y2=0，y3=1，y4=0，y5=1，y6=0，y7=4，y8=0，y9=0。
最优值为264。
具体安排如下。
在11：00－12：00安排8个3小时的班，在13：00－14：00安排1个3小时的班，在 15：00－16：00安排1个3小时的班，在17：00－18：00安排4个3小时的班，在18：00－19：00安排6个4小时的班。
总成本最小为264元，能比第一问节省320−264=56元。

3．解：
设xij，xij’分别为该工厂第i种产品的第j个月在正常时间和加班时间内的生产量；yij为i种产品在第j月的销售量，wij为第i种产品第j月末的库存量，根据题意，可以建立如下模型：

s.t.

4.解：
（1）设生产A、B、C三种产品的数量分别为x1，x2，x3，则可建立下面的数学模型。
maxz＝10 x1＋12x2＋14x3
s.t.x1＋1.5x2＋4x3≤2 000
2x1＋1.2x2＋x3≤1 000
x1≤200
x2≤250
x3 ≤100
x1，x2，x3≥0
用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下：x1=200，x2=250，x3=100，最优值为6 400。即在资源数量及市场容量允许的条件下，生产A 200件，B 250件，C 100件，可使生产获利最多。
（2）A、B、C的市场容量的对偶价格分别为10元，12元，14元。材料、台时的对偶价格均为0。说明A的市场容量增加一件就可使总利润增加10元，B的市场容量增加一件就可使总利润增加12元，C的市场容量增加一件就可使总利润增加14元。但增加一千克的材料或增加一个台时数都不能使总利润增加。如果要开拓市场应当首先开拓C产品的市场，如果要增加资源，则应在0价位上增加材料数量和机器台时数。

5．解：
（1）设白天调查的有孩子的家庭的户数为x11，白天调查的无孩子的家庭的户数为x12，晚上调查的有孩子的家庭的户数为x21，晚上调查的无孩子的家庭的户数为x22，则可建立下面的数学模型。
min f =25x11＋20x12＋30x21＋24x22
s.t．x11＋x12＋x21＋x22≥2 000
x11＋x12 =x21＋x22
x11＋x21≥700
x12＋x22≥450
x11, x12, x21, x22≥0
用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下。
x11＝700，x12＝300，x21＝0，x22＝1 000，最优值为47 500。
白天调查的有孩子的家庭的户数为700户，白天调查的无孩子的家庭的户数为300户，晚上调查的有孩子的家庭的户数为0，晚上调查的无孩子的家庭的户数为1 000户，可使总调查费用最小。
（2）白天调查的有孩子的家庭的费用在20～26元之间，总调查方案不会变化；白天调查的无孩子的家庭的费用在19～25元之间，总调查方案不会变化；晚上调查的有孩子的家庭的费用在29到正无穷之间，总调查方案不会变化；晚上调查的无孩子的家庭的费用在-20～25元之间，总调查方案不会变化。
（3）发调查的总户数在1 400到正无穷之间，对偶价格不会变化；有孩子家庭的最少调查数在0到1 000之间，对偶价格不会变化；无孩子家庭的最少调查数在负无穷到1 300之间，对偶价格不会变化。
管理运筹学软件求解结果如下：

6．解：
设空调机、洗衣机的月供应量分别是x,y台，总利润是P，则P=6x+8y，可建立约束条件如下：
30x+20y≤300;
5x+10y≤110;
x≥0
y≥0
x,y均为整数。
使用管理运筹学软件可求得，x=4,y=9,最大利润值为9600；

7. 解：
1、该问题的决策目标是公司总的利润最大化，总利润为：
0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3
决策的限制条件：
8x1+ 4x2+ 6x3≤500 铣床限制条件
4x1+ 3x2 ≤350 车床限制条件
3x1 + x3≤150 磨床限制条件
即总绩效测试（目标函数）为：
max z= 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3
2、本问题的线性规划数学模型
max z= 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3
S．T． 8x1+ 4x2+ 6x3≤500
4x1+ 3x2 ≤350
3x1 + x3≤150
x1≥0、x2≥0、x3≥0
最优解（50，25，0），最优值：30元。
3、若产品Ⅲ最少销售18件，修改后的的数学模型是：
max z= 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3
S．T． 8x1+ 4x2+ 6x3≤500
4x1+ 3x2 ≤350
3x1 + x3≤150
x3≥18
x1≥0、x2≥0、x3≥0
这是一个混合型的线性规划问题。
代入求解模板得结果如下：
最优解（44，10，18），最优值：28.5元。

8．解：
设第i个月签订的合同打算租用j个月的面积为xij，则需要建立下面的数学模型：
min f=2 800x11＋4 500x12＋6 000x13＋7 300x14＋2 800x21＋4 500x22＋6 000x23＋2 800x31＋4 500x32＋2 800x41
s.t．x11≥15
x12＋x21≥10
x13＋x22＋x31≥20
x14＋x23＋x32＋x41≥12
xij≥0，i，j=1，2，3，4
用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下。
x11=15，x12=0，x13=0，x14=0，x21=10，x22=0，x23=0，x31=20，x32=0，x41=12，
最优值为159 600，即在一月份租用1 500平方米一个月，在二月份租用1 000平方米一个月，在三月份租用2 000平方米一个月，四月份租用1 200平方米一个月，可使所付的租借费最小。

9. 解：
设xi为每月买进的种子担数，yi为每月卖出的种子担数，则线性规划模型为；
Max Z=3.1y1+3.25y2+2.95y3-2.85x1-3.05x2-2.9x3
s.t. y1≤1000
y2≤1000- y1+ x1
y3≤1000- y1+ x1- y2+ x2
1000- y1+ x1≤5000
1000- y1+ x1- y2+ x2≤5000
x1≤（20000+3.1 y1）/ 2.85
x2≤（20000+3.1 y1-2.85x1+3.25y2）/ 3.05
x3≤（20000+3.1 y1-2.85x1+3.25y2-3.05x2+2.95y3）/ 2.9
1000-y1+x1-y2+ x2-y3 +x3=2000
xi≥0yi≥0 (i=1,2,3)

10．解：
设xij表示第i种类型的鸡饲料需要第j种原料的量，可建立下面的数学模型。
max z=9(x11＋x12＋x13)＋7(x21＋x22＋x23)+8(x31＋x32＋x33)−5.5(x11＋x21＋x31)−4(x12＋x22＋x32)−5(x13＋x23＋x33)
s.t． x11≥0.5(x11＋x12＋x13)
x12≤0.2(x11＋x12＋x13)
x21≥0.3(x21＋x22＋x23)
x23≤0.3(x21＋x22＋x23)
x33≥0.5(x31＋x32＋x33)
x11＋x21＋x31+ x12＋x22＋x32+ x13＋x23＋x33≤30
 x11＋x12＋x13≤5
x21＋x22＋x23≤18
x31＋x32＋x33≤10
xij≥0，i，j=1，2，3
用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下。
x11=2.5，x12=1，x13=1.5，x21=4.5，x22=10.5，x23=0，x31=0，x32=5，x33=5，最优值为93..

11. 解：
设X为第i个月生产的产品Ⅰ数量，Y为第i个月生产的产品Ⅱ数量，Z，W分别为第i个月末产品Ⅰ、Ⅱ库存数，S，S分别为用于第（i+1）个月库存的自有及租借的仓库容积（立方米），则可以建立如下模型。
minz =
s.t X1−10 000=Z1
X2+Z1−10 000=Z2
X3+Z2−10 000=Z3
X4+Z3−10 000=Z4
X5+Z4−30 000=Z5
X6+Z5−30 000=Z6
X7+Z6−30 000=Z7
X8+Z7−30 000=Z8
X9+Z8−30 000=Z9
X10+Z9−100 000=Z10
X11+Z10−100 000=Z11
X12+Z11−100 000=Z12
Y1−50 000=W1
Y2+W1−50 000=W2
Y3+W2−15 000=W3
Y4+W3−15 000=W4
Y5+W4−15 000=W5
Y6+W5−15 000=W6
Y7+W6−15 000=W7
Y8+W7−15 000=W8
Y9+W8−15 000=W9
Y10+W9−50 000=W10
Y11+W10−50 000=W11
Y12+W11−50 000=W12
S1i≤15 000 1≤i≤12
Xi+Yi≤120 000 1≤i≤12
0.2Zi+0.4Wi 1≤i≤12
X≥0,,Z
用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下。

最优值为4 910 500。
X1=10 000, X2=10 000, X3=10 000, X4=10 000, X5=30 000, X6=30 000, X7=30 000,
X8=45 000, X9=105 000, X10=70 000, X11=70 000, X12=70 000;
Y1=50 000, Y2=50 000, Y3=15 000, Y4=15 000, Y5=15 000
Y6=15 000, Y7=15 000, Y8=15 000, Y9=15 000, Y10=50 000, Y11=50 000, Y12=50 000;
Z8=15 000, Z9=90 000, Z10=60 000, Z11=30 000;
S18=3 000, S19=15 000, S110=12 000, S111=6 000, S29=3 000;
其余变量都等于0。

12.解：
为了以最低的成本生产足以满足市场需求的两种汽油，将这个问题写成线性规划问题进行求解，令，
x1=生产标准汽油所需的X100原油的桶数
x2=生产经济汽油所需的X100原油的桶数
x3=生产标准汽油所需的X220原油的桶数
x4=生产经济汽油所需的X220原油的桶数
则，min Z=30 x1+30 x2+34.8 x3+34.8 x4
s.t. x1+ x3≥25000
x2+ x4≥32000
0.35 x1+ 0.6x3≥0.45（x1+ x3）
0.55 x2+ 0.25x4≤0.5（x2+ x4）
通过管理运筹学软件，可得x1=15000，x2=26666.67，x3=10000，x4=5333.33
总成本为1783600美元。

13．解：
（1）设第i个车间生产第j种型号产品的数量为xij, 可以建立如下数学模型。
max z=25(x11+x21+11
s.t

4

xj=1,2,3,4

用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下。
**********************最优解如下*************************
目标函数最优值为：279 400
变量最优解相差值
--------------------------
x11 0 11
x21 0 26.4
x31 1 400 0
x41 0 16.5
x51 0 5.28
x12 0 15.4
x32 800 0
x42 0 11
x52 0 10.56
x13 1 000 0
x23 5 000 0
x43 0 8.8
x53 2 000 0
x14 2 400 0
x24 0 2.2
x44 6 000 0
即x31=1400，x32=800，x13=1000，x23=5000，x53=2000，x14=2400， x44=6000，其余均为0，得到最优值为279 400。

(2) 对四种产品利润和5个车间的可用生产时间做灵敏度分析;
约束松弛/剩余变量对偶价格
------------------ ----------
1 0 25
2 500 0
3 0 20
4 0 3.8
5 7 700 0
6 0 2.2
7 0 4.4
8 6 000 0
9 0 5.5
10 0 2.64

目标函数系数范围 :
变量下限当前值上限
------- ------- ------- -------
x11无下限 25 36
x21无下限 25 51.4
x31 19.72 25 无上限
x41无下限 25 41.5
x51无下限 25 30.28
x12无下限 20 35.4
x32 9.44 20 无上限
x42无下限 20 31
x52无下限 20 30.56
x13 13.2  17 19.2
x23 14.8  17 无上限
x43无下限 17 25.8
x53 3.8  17 无上限
x14 9.167  11 14.167
x24无下限 11 13.2
x44 6.6  11 无上限

常数项数范围：
约束下限当前值上限
------- -------   -------  -------
1 0 1 400  2 900
2 无下限 300 800
3 300 800 2 800
4 7 000 8 000 10 000
5 无下限 700 8 400
6 6 000  18 000 无上限
7 9 000  15 000 18 000
8 8 000  14 000 无上限
9 0 12 000 无上限
 10   0 10 000 15 000
可以按照以上管理运筹学软件的计算结果自行进行。

14．解：设第一个月正常生产x1，加班生产x2，库存x3；第二个月正常生产x4，加班生产x5，库存x6；第三个月正常生产x7，加班生产x8，库存x9；第四个月正常生产x10，加班生产x11，可以建立下面的数学模型。
minf=200(x1+ x4+ x7+ x10)+300(x2+ x5+ x8+ x11)+60(x3+ x6+ x9)
s.t x1≤4 000
x4≤4 000
x7≤4 000
x10≤4 000
x3≤1000
x6≤1 000
x9≤1 000
x2≤1 000
x5≤1 000
x8≤1 000
x11≤1 000

用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下。
最优值为f =3 710 000元。
x1=4 000吨，x2 =500吨，x3=0吨，x4=4 000吨，x5=0吨，
x6=1 000吨，x7=4 000吨，x8=500吨，x9=0吨，x10=3500吨，x11=1000吨。

管理运筹学软件求解结果如下：

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