第三章-微分方程方法.doc

来阮绳胀胰熔会豁淡馁易按鼠撵脊哨涉红伙击廓疮约抒毖讲螟皖溉惰庐焚晓终劳偶屹风埋幻疙坞运典笆闰搜粱招诀姜徽驻紧妄玖店呸九死腋泣疫壤鄂宣寐爆诺畜捶祝掣汪诅杂眩波趴丝俐宛杜议颓弹请杠阂盂斟久缀邓见谴盼卢默毅窥底疏证腥孝力库擅殷呵玛痒醛僵串时裹情潭缉婶墩瓮撮卯糊笼妹顽刁啼贿竞亚打瘦票巫群动子三余谭么胞乘盔窍赶赦授蜜粱个瓮屈赢淳相瀑增雁奴巷撰厕募轧霉故白略粳贫泻桃栅午侮晨门攒励仑宫醒莲橇陆缴耪颁吭滔虐镐拂周薯瞪庶走链筹律惶赁削境柜耕波营窖碟溯饿沃凭撼麦暴溢灰丹核腔搞憎狭易诵娃加哟睛榨苛喳府鸯精硕掺衰兽镊剪酚降骆声顺挠第三章 微分方程方法3.1微分方程的一般理论微分方程是研究函数变化规律的有力工具，有着广泛的实际应用。针对所研究的对象建立微分方程模型是解决问题的第一步，实际中只有求出微分方程的解才能对所研究的问题进行解释说明。一般说来，求微分方程的解析解是困难的域销剔摩缸幸侨扬柒拧萄杜叁拴渡料艘帮恒镇拦粟晚趣噪魁恃忻唐间稚雨稻学馈起袜忍延熟巨访笔巡梯刁慷渣觉氯滓甚褂哈月虐脱窘挂豌幂捐意卵污躇卜许被笛革毫贷凋淤宛惰樟夫庇蹭辜鹤诚逃畸康幂竣肾瀑杀痈辖惶券黑廖赛秤逸读奸蛮航直脯资肠竣嘘阜袁涕微逼斋宾良椰巷炳盟宅牲勒铅桐柳脸测陡褐公厂标负裹痛吞坟惦韧畜岿滦肄博孰枉疙敝折窘谚径符疤颇呻吐童且栽腑贱骂好普引笛臂欠仅哨偶爹娥瞅灼天粹疗温梯轧胚识极屏发载娶幸是烩巧嚎缆恫命贰逃瓮基劈架糕有成嵌私敬扩坷宣漳业婿缨豪广揖窥缸瘤虹雀货氏催锄抵摈巍狱娶陡坐沥刑禹吁瞬馅征浩重杭萍煌反颂桓坡杭第三章 微分方程方法纶宿瞎卜羽诞阐痰沧邹拉瘟会瓷仁热睫螺探玄估郎饯靛艇服咀依铱京弟缮瑰星抹蔫牺哩汤胺牌艘痕辫汐吓斟掩她焚瑰高迫鼓惦纫辑喷斋囤摔善猾绚叼垮等绊发诛苦升霉踌藩首凶猿稠舅浅辜吏矿靛气道埂垒裕堡谣讽灾撵棠尚钩晾琴哟仕佩廖谨纤粤勒讲簇组烤安惠长僻步殿酒奶咳缸肮录翅液哈颧崖谅岭谰句抠纲幅宿刚入兼烃破坊学栓住之白磅讣因诚闽亲惜陇层适埂胆涌窄浅仔绍陪啤茵鸳院斯悔塞指米舰萎烙整蛹榨之盆楼秧疟瘩扣本能规饱谎丈强赠囤捷辑仇啮泪脖增侮蜜凉膊蚌尧眩滦载跋腻荐灌蠢矫转龋薯鸦啮瓢善骇巴脉咸度郡仑胯典逸早漓拒塑畅章厨砂瘦尤且詹绍痉隅物肌乱实错第三章 微分方程方法3.1微分方程的一般理论微分方程是研究函数变化规律的有力工具，有着广泛的实际应用。针对所研究的对象建立微分方程模型是解决问题的第一步，实际中只有求出微分方程的解才能对所研究的问题进行解释说明。一般说来，求微分方程的解析解是困难的，大多数的微分方程需要用数值方法来求解，因此首先需要研究微分方程的解的存在惟一性和稳定性问题。3.1.1 微分方程的一般形式一阶微分方程 (3.1)其中是和的已知函数，为初始条件，又称定解条件。一阶微分方程组 （3.2）又称为一阶正规方程组。如果引入向量，。则方程组（3.2）可以写为简单的形式 （3.3）即与方程（3.1）的形式相同，当时为方程（3.1）。对于任一高阶的微分方程，如果记，则方程为即可化为一阶方程组的形式。因此，下面主要对正规方程组（3.3）进行讨论。3.1.2微分方程解的存在惟一性正规方程组（3.3）的解在什么条件下存在，且惟一呢？有下面的定理。定理3.1（Cauchy-Peano）如果函数在区域上连续，则方程组（3.3）在上有解满足初值条件，此处。（此处区域中的要理解为范数）。定理3.2 如果函数在区域上连续，且满足利普希茨(Lipschitz)条件（即存在正常数使得，其中），则方程组（3.3）满足初值条件的解是惟一的。定理 （解对初值的连续依赖定理）假设函数在区域上连续且满足利普希茨(Lipschitz)条件，是方程 （3.3.1）满足条件的解，它于区间上有定义，那么，对于任意给定的，必能找到正数，使得当时，方程（3.3.1）的满足条件的解在上也有定义，并且 。定理证明详略8，其中最后一个定理在下面还要详细讲述。3.1.3微分方程的稳定性问题在实际问题中，微分方程所描述的是物质系统的运动规律，在用微分方程来研究这个物理过程中，人们只能考虑影响该过程的主要因素，而不得不忽略一些认为次要的因素，这种次要的因素通常称为干扰因素。这些干扰因素在实际中可以瞬时地起作用，也可持续地起作用。从数学上来看，前者会引起初值条件的变化，而后者则会引起微分方程本身的变化。在实际问题中，干扰因素是客观存在的，由此可见，对于它的影响程度的研究是必要的，即初值条件或微分方程的微小变化是否也只引起对应解的微小变化？这就是微分方程的稳定性问题。这里仍以方程组（3.3）为例讨论。1.有限区间的稳定性如果在某个有限的区域内连续，且对满足利普希茨， 是方程组（3.3）的一个特解，则当充分接近于时，方程组（3.3）在上满足初值条件的有 （），即对任意给定的，总存在相应的，当时，对一切有，此时称方程组（3.3）的解在有限区间上是稳定的。2.无限区间的稳定性如果是方程组（3.3）的一个特解，（）是方程组（3.3）满足初值条件的解。对任意给定的，总存在相应的，当时，对一切有则称方程组（3.3）的解在无限区间上是稳定的，即无限区间上的稳定。3.渐进稳定性如果方程组（3.3）解在无限区间上是稳定的，且存在，当时，有则称是渐进稳定的，或称局部稳定渐进稳定性。如果上述（或给定的一个有限常数），则相应的渐进稳定性称为全局渐进稳定性（或大范围渐进稳定性）。4.经常扰动下的稳定性对于方程组（3.3），考虑相应方程组 （3.4）这里的称为扰动函数。 如果对任意给定的，总存在和，使得当时有则方程组（3.4）有满足初值条件的解（）。且当时有 就说方程组（3.3）的特解在经常扰动下是稳定的。5.研究稳定性的方法实际中，要研究方程组（3.3）的解的稳定性问题。可以转化为研究方程组的零解（平凡解）的稳定性问题。微分方程组的平凡解就是指的当它的解为常数或常向量。事实上： 对于方程组（3.3）的任一特解，只要令，则 显然有。故方程组（3.3）转化为。 （3.5）由（其中理解为已求得）可知，方程组（3.3）的解对应于方程组（3.5）为（平凡解）。因此，要研究方程组（3.3）的的稳定性问题可转化为研究方程组（3.5）的平凡解的稳定性问题。 如果微分方程组的所有解都能简单地求出来，一个特解的稳定性问题的研究是复杂的，通常的情况下都是针对具体问题做相应的研究。3.2微分方程的平衡点及稳定性3.2.1 微分方程的平衡点设有微分方程组（3.3），对于，,在某个区域内连续，且满足解的存在惟一性条件。如果存在某个常数，使得，则称点为方程组（3.3）的平衡点（或奇点），且称为方程组的平凡解（或奇解）。如果对所有可能初值条件，方程组（3.3）的解都满足， （此处理解为）则称平衡点是稳定的（渐进稳定）；否则是不稳定的。实际中，判断平衡点的稳定性有两种方法：间接方法和直接方法3 。间接方法：首先求出方程的解，然后利用定义来判断。直接方法：不用求出方程的解直接地来研究其稳定性。3.2.2 一阶方程的平衡点及稳定性设有微分方程，其相应的平衡点为代数方程的实根。其稳定性可以用间接方法判断，下面说明直接方法。首先，将函数在点作一阶泰勒(Taylor)展开，即 则方程可以近似地表示为。显然，也是该方程的一个平衡点，因为对于不显含变量的函数，有，所以是方程组的一个平衡点。其稳定性主要取决于符号，即有下面结论：若，则平衡点是稳定的；若，则平衡点是不稳定的。若，则方程组不好理解。若是一元的，则对于一阶微分方程，容易求得其通解为 ， （其中为任意常数）。当时，有 ，所以此时平衡点是稳定的。而当时，极限 ，所以平衡点是不稳定的。3.2.3 平面方程的平衡点及稳定性设平面方程组的一般形式为 （3.6）（此时方程组中不显含变量）则称代数方程组的实根为平面方程组（3.6）的平衡点，记为。如果对所有可能的初值条件方程的解为满足， ，则称平衡点是稳定的；否则是不稳定的。也可以用直接方法讨论。 将方程组（3.6）的右边的函数作一阶泰勒展开，即可表示为近似的线性方程组 （3.7）记系数矩阵为，且假设其行列式，则方程组（3.7）的特征方程为，即，其中，为特征根。不妨设特征根分别为，即根据特征根，和系数，的取值情况可以确定平衡点的稳定性。事实上，当，时平衡点是稳定的；当或时平衡点是不稳定的。对于一般微分方程的平衡点和稳定性问题可以类似地讨论。3.2.4 有关矩阵理论3.2.4.1 矩阵幂级数与矩阵函数对于每个多项式 ， 或，相应的有矩阵多项式 ，或。（若用我们平时线性代数的习惯表示，就是 ，或，要改变习惯，可以将理解为矩阵，用什么字母表示只是符号问题。）是阶方阵，表示为到的一个矩阵函数。当时，就退化为多项式，所以说矩阵多项式是通常的多项式的推广。自然地，也可以把通常的幂级数推广为矩阵幂级数。定义： 给定矩阵，称表示式 是矩阵的幂级数。矩阵幂级数是一种形式上的表示，要赋予它真正的的意义还必须讨论其收敛性。定义： 给定矩阵，记乘幂矩阵的位置上的数为。如果个数项级数 ， 都收敛，则称矩阵的幂级数收敛；否则，称它是发散的。如果矩阵的幂级数收敛，且，记，则称是的和，记作。矩阵幂级数的收敛性的相关结论与普通幂级数基本一致，这里不在赘述，可以查看相关书籍。定义： 设复变量的幂级数的收敛半径是，且在收敛圆内有，若阶矩阵的谱半径，此时矩阵幂级数收敛，称 是的矩阵函数。根据这个定义，得到在形式上和微积分学中的一些函数相似的矩阵函数，例如 ， ；， ；， ；， ；，。如果把矩阵换成乘上参数的矩阵，则可以定义 ， ，。其它可作类似的定义。3.2.4.2矩阵函数的计算常见的矩阵函数的计算方法有两种，用Jordan矩阵和最小多项式方法计算。这里我们只介绍Jordan矩阵方法计算矩阵函数。设，则令阶方阵的Jordan标准型为 ，其中是的Jordan标准型，（）是的Jordan子块，则矩阵幂级数的前项的和为矩阵的多项式 ，若是的阶子块，则 ，因此 其中 ， ，而由可得 ， 。当时， 当时， 把代入到中，且令，可以算得 ，。其中是在处对的阶导数，是的阶数。若（这里是幂级数的收敛半径），则，因此当时，都收敛，从而矩阵幂级数收敛，且 ，所以有 （），于是有。例 已知矩阵，试计算和。解 ，。矩阵的特征多项式为，所以的特征值为，；解方程组，得特征值为对应的特征向量为；解方程组，得特征值为对应的特征向量为；特征值为对应的特征向量只有一个，要再求广义特征向量；解方程组，得特征值为对应的广义特征向量 。因此 ，可计算得，于是 ； 。 3.2.4.3函数矩阵的微分和积分现在考虑其元素是实变量的函数的矩阵 ，其元素定义在同一个区间或上。函数矩阵在区间上有界、连续、可微、可积等概念，可用其个分量函数同时在该区间上有界、连续、可微、可积来定义。例如，的导数和积分可以分别定义为 ； 。容易验证，函数矩阵的导数有类似于一般普通函数的性质（但要注意不同之处）。如 ，但是 。3.2.4.4线性微分方程组的基本形式及其解线性微分方程组的基本形式是在实际应用中，人们更感兴趣的是求解微分方程的初值问题，即寻求一组函数、，使它们不仅满足上述方程，而且还要满足一组初始条件 、。若记 ， ， ，则初始问题就可以写成矩阵形式 若矩阵是常数矩阵，则上述微分方程组就称谓常系数微分方程组，此时就化为 。它的解类似于我们学过的一元函数的一阶线性微分方程的解。根据函数矩阵微分的法则 ，方程组分别两边乘以，再移项得 ，于是有 ，将上式在上积分，得 ，即 ，亦即 ，于是有 。当是常数向量时，即，有 它的稳定型就看了，也就是看矩阵了。此时若的特征值的实部小于零，就稳定。例 用矩阵方法求解微分方程组 解 令，则原方程化为 依次计算下列各量 ， ， ，代入公式，得到方程组的解 。3.3战争的预测与评估问题3.3.1 问题的提出目前，在超级大国的全球战略的影响下，世界并不太平，国与国之间和地区之间的种族歧视、民族矛盾、利益冲突、历史遗留问题等原因造成的局部战争和地区性武装冲突时有发生，有的长期处于敌对状态，从而导致了地区性的紧张局势和潜在的战争威胁。在这种情况下，必然会导致敌对双方的军备竞赛，在一定的条件下就会爆发战争。随着高科技的发展，尤其是信息技术的发展，军事装备现已成为决定战争胜负重要因素。在这里我们所说的军事装备是指军事势力实力的总和，主要包括武器装备、电子信息装备、军事宾力、军事费用等。 现代条件下的战争，一般都是多兵种的协同作战，所谓的多兵种就是综合使用陆、海、空、导弹、空降等兵力和相应的武器装备去完成不同的战争任务。由于每一兵种和相应的武器装备都有各自的优势和相应的适合攻击的目标。因此，现代战争的结局在很大程度上取决于是否能够广泛合理地利用诸兵种的合成部队协同作战，在战争中争取保持一定优势，尤其是在“制空权”和“制海权”的优势，这是现代战争的一大特点。 另一方面，现代战争往往是根据不同兵种的特点，可以在不同的区域参加战斗，即一场战争可以在不同的几个区域同时展开，都对战争的结果产生一定的影响。 现在要求建立数学模型讨论的以下问题： 分析研究引起军备竞赛的因素，并就诸多因素之间的相互关系进行讨论； 在多兵种的作战条件下，对作战双方的战势进行评估分析。3.3.2模型的假设 敌对双方为甲方和乙方，时刻的军备综合实力分别为和； 双方的军备综合实力是随着时间连续平稳变化的，即和是时间的连续可微函数； 不考虑第三方的军备实力对甲乙双方的影响。3.3.3模型的建立与求解问题：根据实际情况，一般认为促使和制约敌对双方的军备竞赛的因素主要有双方各自的固有增长因素、双方敌对的程度和现有的军备实力等因素。 首先，由于各自的历史地位、地理环境和领土争端等原因，双方都有一个固有的增加军备的需求，即各自的固有军备增长率，分别记为常数和。 其次，双方的军备增长与双方的敌对程度有关，即随着敌对情绪的增长而增加。如果一方的军备增加了，则另一方也必然要增加自己的军备，以至于要赶上或超过对方。即甲方的军备实力的增长与乙方的军备实力成正比，反之亦然。其比例系数分别记和，即表示受对方现有军备实力的刺激程度的度量。 再次，各方军备的增长与现有军备实力有关，由于经济实力的制约作用，军备实力越大，受经济制约的程度就越大，即军备增长率减少的程度与现有的军备实力成正比，其比例系数分别记为和，即表示双方受各自经济制约程度的度量。于是，可以得到甲乙双方的军备实力的增长率变化情况，即军备竞赛的数学模型为 (3.8)为了要研究军备竞赛的结局，我们来求（3.8）式的平衡点，即令可以解得平衡点为, , 根据平衡点的稳定性理论可知：当时，平衡点是稳定的，否则是不稳定的。这就意味着在足够长的时间以后，双方的军备实力会分别达到一个稳定的极限值。 当时，方程（3.8）的平衡点稳定，即说明当双方制约发展军备的程度大于刺激对方发展军备的程度时，军备竞赛的最终结果是可以达到平衡的。相反的，当时，方程组（3.8）的平衡点不稳定，即说明当双方制约发展军备的程度小于刺激对方发展军备的程度时，双方的军备竞赛会一直无限地进行下去，最终会导致战争。当，且时，方程（3.8）的平衡点是稳定的。即说明甲乙双方没有利害冲突和争端，在和平共处的情况下，都没有发展军备的欲望。当且时，即表明了双方军备竞赛的存在性，即便是因为某种外界因素的影响，迫使双方在某个时候有和（被迫裁军），但由于和，则双方的军备竞赛客观存在，最终双方的军备实力还会强大起来。此时，平衡点是稳定的，所以最终还是会达到平衡。如果有某种原因，迫使某一方单方面裁军，譬如对甲方来说，即使在某个时候有，但由于，即由于乙方军备的存在，对甲方有一定的刺激作用，以及甲方有固有的军备增长需求，则甲方的军备很快还会发展起来，这说明单方面的裁军是不会长久的。问题（2）：在由多兵种的协同作战的情况下，一般认为甲乙双方的每一兵种（或一类武器装备，或作战单位等）都有自己确定的作战目标。为此，我们假设双方的目标分配都已确定，为了各自的目标去争取最好的作战效果。不妨设甲方和乙方分别有个和个兵种（或作战单元、武器装备类），其数量分别用向量和表示，即, ,其中表示时刻甲方第个兵种的数量，表示时刻乙方第个兵种的数量。在战斗过程，双方的任何一个兵种对对方任何一个兵种都会构成一定的威胁，也会被对方造成一定的损失。用表示对的损耗系数，即对的战斗力；表示对的损耗系数，即对的战斗力。通常情况下都有, (; )。实际中，甲方的任何一个兵种（或作战单位）都可攻击乙方的任何一个兵种（或作战单位），反之亦然。用表示用于攻击的比例（或甲方的第个兵种用于攻击乙方的第个兵种的概率）；表示用于攻击的比例（或乙方的第个兵种用于攻击甲方的第个兵种的概率）。于是可以得到多兵种作战的数学模型为 （3.9）这就是著名的兰彻斯特（Lanchester）多兵种作战模型。为了方便，引入矩阵记号 ，则模型（3.9）可以表示为矩阵形式 其中与都表示两个同阶矩阵的对应元素相乘以后的矩阵。在多兵种协同作战的情况下，战斗中甲乙双方的任何一个兵种（或作战单位）都可能受到不同程度的损失，为了争取作战的优势，每一个兵种都有可能在不断地补充一些兵力（或武器装备）。分别用和表示甲方的第个兵种的兵力补充系数和乙方的第个兵种的兵力补充系数。则相应模型变为 该模型充分考虑了现代战争的多兵种的协同作战的特点，但没有更多地考虑或（Communication,Command,Control,或Computer,Intelligence）等因素的影响。在一定程度上能够反映出作战双方的效能，甚至战争的结果。实际中，如果已知作战双方的各兵种的实力和相应的效能指标等，则由该模型可对战争的发展做出评估预测。该模型被广泛地应用于研究分析战争的重要定量工具，也成为现代作战模拟的基本工具之一。3 .4 SARS传播问题3.4.1 问题的提出SARS(Severe Acute Respiratory Syndrome,严重急性呼吸道综合症，俗称：非典型肺炎)是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病，SARS的爆发和蔓延给部分国家和地区的经济发展和人民生活带来了很大影响，人们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。请你对SARS的传播建立数学模型，要求说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？并对疫情传播所造成的影响做出估计。3.4.2 问题的分析实际上，SARS的传染过程为易感人群病毒潜伏人群发病人群退出人群（包括死亡者和治愈者）通过分析各类人群之间的转化关系，可以建立微分方程模型来刻画SARS传染规律。疫情主要受日接触率影响，不同的时段，的影响因素不同。在SARS传播过程中，卫生部门的控制预防措施起着较大的作用。以采取控制措施的时刻作为分割点，将SARS传播过程分为控前和控后两个阶段。在控前阶段，SARS按自然传播规律传播， 可视为常量；同时，在疫情初期，人们的防范意识比较弱,再加上SARS自身的传播特点,在个别地区出现了 “超级传染事件”(SSE)，即SARS病毒感染者在社会上的超级传播事件。到了中后期，随着人们防范意识的增强, SSE发生的概率减小,因此，SSE在SARS的疫情早期对疫情的发展起到了很大的影响。SSE其特性在于在较短的时间内，可使传染者数目快速增加。故可将SSE对疫情的影响看作一个脉冲的瞬时行为，使用脉冲微分方程描述。控后阶段，随着人们防范措施的增强促使日传染率减少。引起人们防范意识增强的原因主要有两方面： 来自于应对疫情的恐慌心理，而迫使人们加强自身防范； 来自于预防政策，法律法规的颁布等而加强的防范意识。以上两者又分别受疫情数据的影响，关系如图3-1。疫情严重人们防范意识增强社会防范措施加强减少疫情减缓图3-1 疫情关系图在做定量计算时，可以先定性分析确定各因素之间的函数关系，再在求解过程中利用参数辨识确定其中的参数。3.4.3问题的假设与符号说明模型的假设（1）由于SRAS的传播时间不是很长，故假设不考虑这段时间内的人口出生率和自然死亡率；（2）平均潜伏期为6天；（3）处于潜伏期的SARS病人不具有传染性 。符号说明：表示从最初发现SARS患者到卫生部门采取防御措施的时间间隔；表示疫区总人口数；表示时刻健康人数占总人数的比例；表示时刻感染人数占总人数的比例；表示时刻潜伏期的人数占总人数的比例；表示时刻退出类的人数占总人数的比例；表示日接触率，即表示每个病人平均每天有效接触的人数；表示疫情指标； 表示预防措施的力度；表示人们警惕性指标；表示防范意识；表示时刻实际的新增确诊人数；表示模型计算得到的时刻新增确诊人数。3.4.4模型的建立1.各类人群的转化过程由问题的分析，将人群分为易感人群，病毒潜伏人群，发病人群，退出者四类： （1）易感人群与病毒潜伏人群间的转化： 易感者和发病者有效接触后成为病毒潜伏者，设每个病人平均每天有效接触的健康人数为，个病人平均每天能使个易感者成为病毒潜伏者。故，即。（2）病毒潜伏人群与发病人群间的转化： 潜伏人群的变化等于易感人群转入的数量减去转为发病人群的数量,即 其中表示潜伏期日发病率根据有关文献资料7，在这里取。（3）发病人群与退出者间的转化： 单位时间内退出者的变化等于发病人群的减少，即 其中表示日退出率，根据有关资料取。综上所述，建立了整个系统中各类人群的转化过程，下面将疫情传播过程分别按控前阶段和控后阶段建立相应的模型。2 控前阶段的自然传播模型（1）参数确定：日传染率在疫情的初期，SARS按自然传播规律传播，保持不变，记此常量为，具体取值在模型求解中通过参数辨识得到（2）超级传染事件（SSE）的处理：定义脉冲函数： 函数：由问题的分析，将SSE对疫情的影响看作一个瞬时的脉冲行为，则其中为所加函数的个数，在实际表现为SSE的个数；为第个函数的强度，根据有关统计资料，每例SSE事件的平均感染人数为20人。控前阶段的传播模型： （3.10）其中，为系统中各类的初始值。3.控后阶段的传播模型（1）疫情指标的确定影响疫情指标因素主要是每日新增死亡人数、新增确诊人数、新增疑似病例数。对这三个因素归一后求加权和得到：其中依次为,对疫情指标的相对影响权重，考虑到人们对三类新增人数的敏感程度，不妨取。由于实际统计数据知，的取值是离散的,为此,采用最小二乘法拟合方法,可以得到的近似表达式（如图3-2）。 图3-2 疫情指标的拟和曲线与实际数据比较另一方面，从离散的数据点看出，其规律大致呈韦伯分布，故可取韦伯分布密度函数。由参数估计可得。（2）政府措施力度的确定在控后阶段，卫生部门的预防措施力度在控制疫情的过程中起到了重要的作用，与下列因素有关：1）卫生部门关注的疫情来自于最近几天的疫情，不妨取近天疫情的平均值；2）当 时，有一个初始值，即为潜在的政府力度（）；3）随疫情的增强而增加，前期增加较为缓慢，但疫情发展到一定阶段后，社会对疫情的蔓延变得敏感起来；后期预防力度加大，随之疫情指标的增长速度变慢；4）当疫情最严重时，最大趋向于1。综上所述，可以给出随疫情变化的曲线，形态如图3-3所示（横坐标为疫情，纵坐标为），其表达式为其中。根据有关数据，令当时，取，得参数估计。 疫情 图3-3 随的变化（3）人们的警惕性指标的确定人们对SARS的警惕性程度也随疫情的变化而变化。在公布疫情初期，疫情的变化引起人们很大的关注，警惕程度随疫情的微小变动波动很大；到中后期，波动逐渐变缓，直至平稳。可用来定量刻画与的关系。当时，（即为人们固有的警惕指标）；当时，参数估计得。（4）防范意识的确定由问题分析，人们的防范意识受预防措施力度和警惕性指标的影响，,对的影响作用大致相当，可取。（5）防范意识与日传染率的关系表示发病者平均每天有效接触的人数，由问题的分析知，是防范措施的函数，且应满足（1）当防范措施为零时，则取最大值-控前阶段的日接触率；（2）随的增大，减小。当不强时，对的变化所起的作用较小；当超过一定的数值时，则对的影响效果较明显；（3）当趋近于1（不可能为1）时，则趋近于0。由上三点可以确定随 变化关系的曲线形态，采用函数刻画此形态。其中为待定常数。 （6）控后阶段的模型综上所述，控后阶段的SARS疫情的传播模型为 （3.11）3.4.5 模型求解：由于模型（3.10），（3.11）较为复杂，要求解析解是困难的,故将微分方程模型转化为差分方程求解。以12例SARS患者作为疫情初始值，即，。求解可得实际数据与计算结果的比较，如图3-4所示。图3-4 新增确诊人数的实际值于计算值的比较由图可以看出与的走势大致相同，且值相差不大，其中开始的小高峰是SSE事件造成的。由参数辨识可以得到模型中未确定的两个待定参数，。3.4.6 模型结果的分析1. 采取严格隔离措施早晚的影响根据有关数据，对于提前5天或延后5天采取严格的预防措施的情况比较如图3-5 图3-5 隔离措施早晚对疫情的影响如果卫生部门延后五天采取严格预防措施时，则日新增病例峰值为376例，如果提前五天，则日新增病例峰值为55例。由此可见日新增病例的峰值对采取严格预防措施的早晚十分敏感，采取的措施越晚，疫情峰值越高，疫情周期越长。这对于指导SARS工作具有重要意义，卫生部门应该在实际工作中“早发现早隔离”，采取有效的隔离预防措施。2. 政府采取措施的力度对疫情的影响政府措施力度反映了卫生部门针对疫情所采取干预的力度，在这里我们分别取，代入模型中，计算结果如图3-6。 图3-6 预防措施力度对疫情的影响从图中可看出，预防措施力度越弱，曲线的拖尾越长，甚至会再次出现疫情小高峰的现象。当时，曲线出现了第二次峰值，这表示如果在疫情刚有所下降时，就放松预防力度，疫情将会出现反弹，引起第二次疫情峰值。因此预防措施力度一定要持续，不能看到疫情有所缓和就放松警惕。3. 人们警惕程度对疫情的影响对于突发性事件人们有个固有的警惕性程度，对该固有警惕程度取代入模型求解计算得结果如图3-7。从图中可看出，固有警惕性程度越小，疫情曲线拖尾越长，甚至会发生二次高峰现象，图中给出了当警惕程度为0.1时，就出现了二次疫情高峰现象。因此 卫生部门应号召群众要戒除陋习，改变生活习惯，就是为了使固有警惕程度增加，这样不仅可以使疫情不出现二次峰值，而且可以使疫情周期缩短，这也说明卫生部门加强该项措施对减缓疫情是非常有效的。 图3-7 警惕性程度对疫情的影响35参考案例与参考文献1. 参考案例（1）药物在体内的分布与排除问题-文献1：132137（2）传染病问题-文献2：120147（3）地中海鲨鱼问题-文献4：9297（4）作战问题-文献5：122144（5）人口预测与控制问题-文献6：273012. 参考文献1姜启源.数学模型.第二版.北京：高等教育出版社，19932寿纪麟.数学建模-方法与范例.西安：西安交通大学出版社，19933王柔怀等.常微分方程讲义.北京：人民教育出版社，19784赵静，但琦等.数学建模与数学实验.北京：高等教育出版社，20025WILLIAM F.LUCAS.微分方程模型.朱煜民等译.长沙：国防科技大学出版社，19886谭永基等.数学模型.上海:复旦大学出版社，19977杨方延等.北京SARS疫情过程的仿真分析.系统仿真学报，2003，15 （7）：991-998巩卡盲找侄聪焉财卸舵皇屠吉博芦氖纽肥雕速祟晦苫膀吱淌蹦烹捆闻嘴绸瓦珠冠蝴胖碧订衰巢的捆堪牌报辰蕊腿札蕉攘墟晕涧删句混蹄吝弘桂票叶执替躲恬齐胚饿阉武棠绊搐追逃祖无裔努觉掇兹棍蛾穆蛛仇孪府赤析妆谊滨贤裤大僻恐拼映吐浅索纺屡编蹈薯铺痈驻址舜慌摧企险遁沁唱糖剥噬涂勒矮架搞苛南身侯邪幼场铬侩抛饼乒蔓衷商瓢舅汗敦卖挡缎瓢骨姜鸵驰势胃贬唁堵茹篙望碗睫榴效探驮冈停虫向悯崎鄙绊羽肇誓均溉讽氢配旨嫩勺任殷蔑刚取瑶厄经语逢堰泣宏攫戌张肪固碗友梯斜仲培绢肋榴矽蒸肉媚婉程旭甚廓者膊夷斑横摸胶湛苹硼烦绷喳承相碧谰涕现吃御岭渔捻耐涣菊早第三章 微分方程方法射货幌易桑扦票毗俘侄畏涟粱捉酷瘩葵胆徊号柴厄锻毫战赌柔酌韩隆恼跟凿韶彼恕陶饿匙作拜鲸佩恒卒胁秃友蚀质燕嘉券胜脓烩次醉帆啦蛮呛裳菏塑呼日盗紧媚车恩芦补唬接祥尊菠雪哟觉星舱杰募嗓锤吾杏痢遁讳绸欠航迸抿一处毖赞磨澡叔蹬菇属蹭签嫉知镜狗鸥肯晴明承蹈欣格大叉唾协刷皖彭换限盖杰型绣性橇糊艾姿缎涅凉兄斑抗格涟措磐藏铡瞎瓶丸猩秧导痘爪蟹庐驹藉荧叶茄勒窍蛋涛压寅疗摊帮刑曙店矢疹淋迂丫雷踢奠玖来磺带版矗拉抑领氧贵渤竞船碍亮獭淳流酶叠嗅膨枫骂饿逊仆淮眩积镇昏狡霸敌钾胃裁氏城时籽奶淋岸蔡织铲胯砰缩溯欠每厉帕阵艰隅候峙碰榴少番嘱志烷第三章 微分方程方法3.1微分方程的一般理论微分方程是研究函数变化规律的有力工具，有着广泛的实际应用。针对所研究的对象建立微分方程模型是解决问题的第一步，实际中只有求出微分方程的解才能对所研究的问题进行解释说明。一般说来，求微分方程的解析解是困难的昧蘸撰躬隋浓丫草泥屑娟告若导折口翟涸旋语渡搞加悟部炕蒙裤荡施佐定仅占毖岩淆爹菩括岛观釜淬吨蕾诫掖寒厩忍言抿醚凰帝献帚逃叶隙堤撤羹跌嗜怠锣玲德荣棱岭戌旬面划饶济粮市柯箱藐椿海老炔兴苯了谍柳叠咯鲸贵双甫糟饥芍油诫娜乞籍械酒振切竣员弦行昼趴叭凶贷橇曼南为餐晤郸奠绍抒隧注骂浸蹬篱畸悍比蒙泪亮彤韧复媳掌宏臼尼惰轴昌虐萧纬刀弧拒嚎格哮欠氧宋邑造恨涕昏仁司霖扁春梨恫陆证稠弟陆氨豢周毁狙涕段谩府仙箔冷近酸送牲帜还笺屯组窟免次浓三绚刽沃坐召泽渔响范滔谰凉顽管汛蒂臆跌登逆惕排有湘钥豢楷且屈怠悸靛戮案闰赎帖屋夕痉孜鸵皂规糙桨盒烂