数学分析三试卷及答案.doc

《数学分析》(三）――参考答案及评分标准
一。 计算题（共8题，每题9分，共72分）。
1. 求函数在点(0，0)处的二次极限与二重极限。
解:,因此二重极限为。……(4分）
因为与均不存在,
故二次极限均不存在。 ……(9分)
2. 设 是由方程组所确定的隐函数,其中和分别具有连续的导数和偏导数,求.
解： 对两方程分别关于求偏导:
，
……(4分）
。解此方程组并整理得. ……（9分）
3. 取为新自变量及为新函数，变换方程
.
设 （假设出现的导数皆连续）.
解：看成是的复合函数如下：
。 ……（4分）
代人原方程，并将变换为。整理得：
。 ……（9分）
4. 要做一个容积为的有盖圆桶,什么样的尺寸才能使用料最省?
解： 设圆桶底面半径为，高为，则原问题即为:求目标函数在约束条件下的最小值，其中
目标函数: ，
约束条件： . ……（3分）
构造Lagrange函数：。
令 ……（6分）
解得，故有由题意知问题的最小值必存在，当底面半径为高为时，制作圆桶用料最省。 ……(9分)
5. 设,计算。
解：由含参积分的求导公式
……（5分）
。 ……（9分）
6. 求曲线所围的面积，其中常数。
解：利用坐标变换 由于，则图象在第一三象限，从而可以利用对称性，只需求第一象限内的面积.
。 ……(3分)
则
……（6分）
。 ……(9分）
7. 计算曲线积分，其中是圆柱面与平面的交线(为一椭圆)，从轴的正向看去,是逆时针方向。
解：取平面上由曲线所围的部分作为Stokes公式中的曲面，定向为上侧，则的法向量为
。 ……(3分）
由Stokes公式得
……(6分)
……（9分）
8. 计算积分，为椭球的上半部分的下侧.
解:椭球的参数方程为，其中且
. ……（3分)
积分方向向下，取负号,因此,
……(6分）
……（9分）
二。 证明题(共3题，共28分).
9。（9分）讨论函数在原点（0,0)处的连续性、可偏导性和可微性。
解：连续性：当时,
，当，
从而函数在原点处连续. ……（3分)
可偏导性：,
，
即函数在原点处可偏导.……(5分）
可微性： 不存在,
从而函数在原点处不可微. ……（9分）
10。（9分)（9分） 设满足：
(1)在上连续,
（2），
（3）当固定时，函数是的严格单减函数.
试证:存在,使得在上通过定义了一个函数，且在上连续。
证明：(i)先证隐函数的存在性。
由条件（3)知，在上是的严格单减函数，而由条件（2)知，从而由函数的连续性得
， .
现考虑一元连续函数。由于,则必存在使得
， 。
同理，则必存在使得
， 。
取，则在邻域内同时成立
， 。 ……(3分）
于是,对邻域内的任意一点，都成立
， 。
固定此，考虑一元连续函数。由上式和函数关于的连续性可知,存在的零点使得
＝0。
而关于严格单减,从而使＝0的是唯一的.再由的任意性，证明了对内任意一点,总能从找到唯一确定的与相对应，即存在函数关系或。此证明了隐函数的存在性。
……（6分）
(ii)下证隐函数的连续性.
设是内的任意一点,记。
对任意给定的，作两平行线
, 。
由上述证明知
， 。
由的连续性，必存在的邻域使得
， , 。
对任意的，固定此并考虑的函数，它关于严格单减且
, 。
于是在内存在唯一的一个零点使
，
即 对任意的，它对应的函数值满足。这证明了函数是连续的. ……(9分)
11。（10分）判断积分在上是否一致收敛，并给出证明。
证明：此积分在上非一致收敛。证明如下：
作变量替换，则
。 ……(3分）
不论正整数多么大，当时，恒有。 ……(5分）
因此，
……（7分）
，当时。
因此原积分在上非一致收敛. ……(10分）
注：不能用Dirichlet判别法证明原积分是一致收敛的。原因如下：
尽管对任意的积分一致有界，且函数关于单调，但是当时,关于并非一致趋于零。事实上，取 相应地取，则,并非趋于零。
《 数学分析［3］ 》模拟试题
一、 解答下列各题（每小题5分,共40分）
1、 设求;
2、求
3、设求在点处的值;
4、求由方程所确定的函数在点处的全微分；
5、求函数在点处的梯度；
6、求曲面在点(1,2，0）处的切平面和法线方程；
7、计算积分：;
8、计算积分：；
二、 （10分）求内接于椭球的最大长方体的体积，长方体的各个面平行于坐标面.
三、 （10分）若是由和两坐标轴围成的三角形区域,且，求
四、 (10分）计算，其中是由圆周及所围成的在第一象限内的闭区域 .
五、 （10分）计算，其中为，的全部边界曲线，取逆时针方向。
六、 (10分）计算,其中是半球面.
七、 （10分）讨论含参变量反常积分在内的一致收敛性.
参考答案
一、解答下列各题(每小题5分，共40分）
1、 设求；
解:；
。
2、求；
解：
3、设求在点处的值；
解：
。
4、求由方程所确定的函数在点处的全微分；
解：在原方程的两边求微分,可得
将代入上式，化简后得到
5、求函数在点处的梯度;
解：
。
6、求曲面在点(1，2，0)处的切平面和法线方程；
解：记
在点(1，2，0）处的法向量为：
则切平面方程为:即
法线方程为：，即.
7、计算积分：;
解:
而在上连续，且在［1，2］上一致收敛,则可交换积分次序，于是有
原式。
8、计算积分:；
解：交换积分顺序得：
八、 求内接于椭球的最大长方体的体积,长方体的各个面平行于坐标面。
解：设长方体在第一卦限的顶点坐标为（x，y，z），则长方体的体积为：
拉格朗日函数为
由 解得：
根据实际情况必有最大值，所以当长方体在第一卦限内的顶点坐标为时体积最大.
九、 若D是由和两坐标轴围成的三角形区域，且，求
解:
十、 计算，其中是由圆周及所围成的在第一象限内的闭区域 .
解：
。
十一、 计算，其中为，的全部边界曲线，取逆时针方向。
解:由格林公式：
所以
十二、 计算,其中是半球面。
解：
十三、 讨论含参变量反常积分在内的一致收敛性.
解：，而收敛，
所以由M判别法知，在内的一致收敛。
《 数学分析[3］ 》模拟试题
十四、 解答下列各题（每小题5分,共40分)
1、设,求；
2、，求；
3、设,求；
4、设是方程所确定的与的函数，求；
5、求函数在点处沿从点到点的方向导数；
6、已知曲面上点P处的切平面平行于平面，求P点的坐标。
7、计算积分：；
8、计算积分：;
二、 (10分)原点到曲线的最大距离和最小距离。
三、(10分）已知，其中为球体：，求
四、（10分）计算，其中D是由圆周所围成的区域。
五、(10分）计算，其中为圆周,取逆时针方向.
六、（10分)计算,其中为锥面被拄面所割下部分。
七、 (10分）讨论含参变量反常积分在内的一致收敛性.
参考答案
十五、 解答下列各题（每小题5分，共40分)
1、设，求;
解:
。
2、，求；
解：
。
3、设，求;
解：
.
4、设是方程所确定的与的函数，求；
解：方程两边求微分，得
.
5、求函数在点处沿从点到点的方向导数；
解：方向即向量的方向,因此x轴到方向的转角.
故所求方向导数为:。
6、已知曲面上点P处的切平面平行于平面，求P点的坐标。
解:设P点的坐标为,则P点处的切平面为
又因该平面与平面平行，
则有 ，,即。
7、计算积分：;
解：
而在上连续，且在[2，3］上一致收敛，则可交换积分次序，于是有
原式.
8、计算积分：；
解：交换积分顺序得：
三、 原点到曲线的最大距离和最小距离.
解：设P(x,y，z)为曲线上任意点，则目标函数为，约束条件为，建立拉格朗日函数：
由 得驻点：和，根据实际情况必有最大值和最小值，
.
四、 已知，其中为球体:,求
解:用球坐标计算,得
故。
四、计算，其中D是由圆周所围成的区域。
解:由对称性知:
故
五、计算,其中为圆周,取逆时针方向。
解：由格林公式：
所以 。
六、计算,其中为锥面被拄面所割下部分.
解:在xoy面上的投影为
八、 讨论含参变量反常积分在内的一致收敛性.
解:当时，,而收敛,
所以由M判别法知，在内的一致收敛。
《数学分析(三) 》参考答案及评分标准第 6 页 共 6 页