数学分析三试卷及答案.doc
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1、数学分析(三)参考答案及评分标准一。 计算题(共8题,每题9分,共72分)。1. 求函数在点(0,0)处的二次极限与二重极限。解:,因此二重极限为。(4分)因为与均不存在,故二次极限均不存在。 (9分)2. 设 是由方程组所确定的隐函数,其中和分别具有连续的导数和偏导数,求.解: 对两方程分别关于求偏导:, (4分)。解此方程组并整理得. (9分)3. 取为新自变量及为新函数,变换方程.设 (假设出现的导数皆连续).解:看成是的复合函数如下:。 (4分)代人原方程,并将变换为。整理得:。 (9分)4. 要做一个容积为的有盖圆桶,什么样的尺寸才能使用料最省?解: 设圆桶底面半径为,高为,则原问题
2、即为:求目标函数在约束条件下的最小值,其中目标函数: ,约束条件: . (3分) 构造Lagrange函数:。令 (6分) 解得,故有由题意知问题的最小值必存在,当底面半径为高为时,制作圆桶用料最省。 (9分)5. 设,计算。解:由含参积分的求导公式 (5分)。 (9分)6. 求曲线所围的面积,其中常数。解:利用坐标变换 由于,则图象在第一三象限,从而可以利用对称性,只需求第一象限内的面积.。 (3分)则 (6分)。 (9分)7. 计算曲线积分,其中是圆柱面与平面的交线(为一椭圆),从轴的正向看去,是逆时针方向。解:取平面上由曲线所围的部分作为Stokes公式中的曲面,定向为上侧,则的法向量为
3、。 (3分)由Stokes公式得(6分)(9分)8. 计算积分,为椭球的上半部分的下侧.解:椭球的参数方程为,其中且. (3分)积分方向向下,取负号,因此, (6分)(9分) 二。 证明题(共3题,共28分).9。(9分)讨论函数在原点(0,0)处的连续性、可偏导性和可微性。解:连续性:当时,,当,从而函数在原点处连续. (3分)可偏导性:,,即函数在原点处可偏导.(5分)可微性: 不存在,从而函数在原点处不可微. (9分)10。(9分)(9分) 设满足:(1)在上连续,(2),(3)当固定时,函数是的严格单减函数.试证:存在,使得在上通过定义了一个函数,且在上连续。证明:(i)先证隐函数的存
4、在性。由条件(3)知,在上是的严格单减函数,而由条件(2)知,从而由函数的连续性得, .现考虑一元连续函数。由于,则必存在使得, 。同理,则必存在使得, 。取,则在邻域内同时成立, 。 (3分)于是,对邻域内的任意一点,都成立, 。 固定此,考虑一元连续函数。由上式和函数关于的连续性可知,存在的零点使得0。 而关于严格单减,从而使0的是唯一的.再由的任意性,证明了对内任意一点,总能从找到唯一确定的与相对应,即存在函数关系或。此证明了隐函数的存在性。(6分)(ii)下证隐函数的连续性.设是内的任意一点,记。对任意给定的,作两平行线, 。由上述证明知, 。由的连续性,必存在的邻域使得, , 。对任
5、意的,固定此并考虑的函数,它关于严格单减且, 。于是在内存在唯一的一个零点使,即 对任意的,它对应的函数值满足。这证明了函数是连续的. (9分)11。(10分)判断积分在上是否一致收敛,并给出证明。证明:此积分在上非一致收敛。证明如下:作变量替换,则。 (3分)不论正整数多么大,当时,恒有。 (5分)因此,(7分),当时。因此原积分在上非一致收敛. (10分)注:不能用Dirichlet判别法证明原积分是一致收敛的。原因如下:尽管对任意的积分一致有界,且函数关于单调,但是当时,关于并非一致趋于零。事实上,取 相应地取,则,并非趋于零。 数学分析3 模拟试题一、 解答下列各题(每小题5分,共40
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