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自动控制学习笔记(PID控制原理)

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PID控制原理

PID算法是最早发展起来的控制策略之一，由于其算法简单、鲁棒性（系统抵御各种扰动因素——包括系统内部结构、参数的不确定性，系统外部的各种干扰等的能力）好及可靠性高而被广泛地应用于过程控制和运动控制中。尤其是随着计算机技术的发展，数字PID控制被广泛地加以应用，不同的PID控制算法其控制效果也各有不同。
将偏差的比例（Proportion）、积分（Integral）和微分（Differential）通过线性组合构成控制量，用这一控制量对被控对象进行控制，这样的控制器称PID控制器。

模拟PID控制原理

在模拟控制系统中，控制器最常用的控制规律是PID控制。
常规的模拟PID控制系统原理框图如图所示。
被控对象
微分
积分
比例

+
r(t) + e(t) + u(t) y(t)

- +

模拟PID控制系统原理图
该系统由模拟PID控制器和被控对象组成。图中， r(t)是给定值， y(t)是系统的实际输出值，给定值与实际输出值构成控制偏差e(t)
(te) = r(t) − y(t) （式1－1）
e (t)作为PID控制的输入，u(t)作为PID控制器的输出和被控对象的输入。所以模拟PID控制器的控制规律为
u(t) =Kp [e(t) +dt+Td] （式1－2）
其中：Kp ―― 控制器的比例系数
Ti－－ 控制器的积分时间，也称积分系数
Td―― 控制器的微分时间，也称微分系数

1、比例部分
比例部分的数学式表示是：Kp*e(t)
在模拟PID控制器中，比例环节的作用是对偏差瞬间作出反应。偏差一旦产生控制器立即产生控制作用，使控制量向减少偏差的方向变化。控制作用的强弱取决于比例系数Kp，比例系数Kp越大，控制作用越强，则过渡过程越快，控制过程的静态偏差也就越小；但是Kp越大，也越容易产生振荡，破坏系统的稳定性。故而，比例系数Kp选择必须恰当，才能过渡时间少，静差小而又稳定的效果。

2、 积分部分
积分部分的数学式表示是：
从积分部分的数学表达式可以知道，只要存在偏差，则它的控制作用就不断的增加；只有在偏差e(t)=0时，它的积分才能是一个常数，控制作用才是一个不会增加的常数。可见，积分部分可以消除系统的偏差。
积分环节的调节作用虽然会消除静态误差，但也会降低系统的响应速度，增加系统的超调量。积分常数Ti越大，积分的积累作用越弱，这时系统在过渡时不会产生振荡；但是增大积分常数会减慢静态误差的消除过程，消除偏差所需的时间也较长，但可以减少超调量，提高系统的稳定性。当Ti较小时，则积分的作用较强，这时系统过渡时间中有可能产生振荡，不过消除偏差所需的时间较短。所以必须根据实际控制的具体要求来确定Ti。

3、 微分部分
微分部分的数学式表示是：Kp*Td
实际的控制系统除了希望消除静态误差外，还要求加快调节过程。在偏差出现的瞬间，或在偏差变化的瞬间，不但要对偏差量做出立即响应（比例环节的作用），而且要根据偏差的变化趋势预先给出适当的纠正。为了实现这一作用，可在PI控制器的基础上加入微分环节，形成PID控制器。
微分环节的作用使阻止偏差的变化。它是根据偏差的变化趋势（变化速度）进行控制。偏差变化的越快，微分控制器的输出就越大，并能在偏差值变大之前进行修正。微分作用的引入，将有助于减小超调量，克服振荡，使系统趋于稳定，特别对髙阶系统非常有利，它加快了系统的跟踪速度。但微分的作用对输入信号的噪声很敏感，对那些噪声较大的系统一般不用微分，或在微分起作用之前先对输入信号进行滤波。
微分部分的作用由微分时间常数Td决定。Td越大时，则它抑制偏差e(t)变化的作用越强；Td越小时，则它反抗偏差e(t)变化的作用越弱。微分部分显然对系统稳定有很大的作用。
适当地选择微分常数Td，可以使微分作用达到最优。

数字式PID控制算法可以分为位置式PID和增量式PID控制算法。

1.位置式PID算法
由于计算机控制是一种采样控制，它只能根据采样时刻的偏差计算控制量，而不能像模拟控制那样连续输出控制量量，进行连续控制。由于这一特点（式1－2）中的积分项和微分项不能直接使用，必须进行离散化处理。离散化处理的方法为：以T作为采样周期，作为采样序号，则离散采样时间对应着连续时间，用矩形法数值积分近似代替积分，用一阶后向差分近似代替微分，可作如下近似变换：
t=kT (k=0，1，2······)

上式中，为了表示的方便，将类似于e(kT)简化成ek等。
将上式代入（式1－2），就可以得到离散的PID表达式为
（式2－2）
或
（式2－3）

其中 k―― 采样序号，k＝0，1，2，……；
―― 第k次采样时刻的计算机输出值；
―― 第k次采样时刻输入的偏差值；
―― 第k－1次采样时刻输入的偏差值；
――积分系数，；
――微分系数，；
如果采样周期足够小，则（式2－2）或（式2－3）的近似计算可以获得足够精确的结果，离散控制过程与连续过程十分接近。
（式2－2）或（式2－3）表示的控制算法式直接按（式1－2）所给出的PID控制规律定义进行计算的，所以它给出了全部控制量的大小，因此被称为全量式或位置式PID控制算法。
这种算法的缺点是：由于全量输出，所以每次输出均与过去状态有关，计算时要对进行累加，工作量大；并且，因为计算机输出的对应的是执行机构的实际位置，如果计算机出现故障，输出的将大幅度变化，会引起执行机构的大幅度变化，有可能因此造成严重的生产事故，这在实生产际中是不允许的。

2.增量式PID算法
所谓增量式PID是指数字控制器的输出只是控制量的增量。当执行机构需要的控制量是增量，而不是位置量的绝对数值时，可以使用增量式PID控制算法进行控制。

开始
数据初始化
采集系统输出
计算系统偏差
e
(
k
)
KP
=
kp×
[
e
(
k
)
-
e
(
k
-
1
)]
KI
=
ki×e
(
k
)
KD
=
kd×
[
e
(
k
)
-
2
e
(
k
-
1
)+
e
(
k
-
2
)]
D
u
(
k
)=
KP
+
KI
+
KD
u
(
k
)=
u
(
k
-
1
)+
D
u
(
k
)
u
(
k
-
1
)=
u
(
k
)
u
(
k
)
>
=
umax
?
u
(
k
)
<
=
umin
?
u
(
k
)=
umax
u
(
k
)=
umin
Y
Y
N
N
返回

增量式PID控制算法可以通过（式2－2）推导出。由（式2－2）可以得到控制器的第k－1个采样时刻的输出值为：
（式2－4）
将（式2－2）与（式2－4）相减并整理，就可以得到增量式PID控制算法公式为：

（式2－5）
增量式PID控制算法与位置式PID算法（式2－2）相比，计算量小的多，因此在实际中得到广泛的应用。
而位置式PID控制算法也可以通过增量式控制算法推出递推计算公式：
（式2－6）

（式2－6）就是目前在计算机控制中广泛应用的数字递推PID控制算法。
在MCGS工控组态软件（是北京昆仑通态自动化软件科技有限公司研发的一套基于Windows平台的，用于快速构造和生成上位机监控系统的组态软件系统，主要完成现场数据的采集与监测、前端数据的处理与控制，可运行于Microsoft Windows 95/98/Me/NT/2000/xp等操作系统。）中对应的脚本程序如下：
偏差2=偏差1 '上上次偏差
偏差1=偏差 '上次偏差
偏差=设定值－测量值 '本次偏差
比例=比例系数*(偏差－偏差1) '比例作用
if 积分时间=0 then '积分作用
积分=0
else
积分=比例系数*采样周期 *偏差/积分时间
endif
微分=比例系数*微分时间*(偏差－2*偏差1+偏差2)/采样周期 '微分作用
增量=比例+积分+微分 '增量输出
位置=前次位置+增量 '位置输出
if 位置>=位置最大值then 位置=位置最大值 '超出位置最大值，位置＝位置最大值
if 位置<=位置最小值then 位置=位置最小值 '超出位置最小值，位置＝位置最小值
前次位置=位置 '为下循环准备

3. 带死区的PID控制（SPID）算法
在控制系统中为了避免控制动作过于频繁，设置一个可调的参数e0，当系统偏差
时，控制量的增量 ，即此时控制系统维持原来的控制量；当系统偏差 时，控制量的增量 依据增量式标准PID算法给出。
在MCGS工控组态软件中对应的脚本程序如下：
偏差2=偏差1 '上上次偏差
偏差1=偏差 '上次偏差
偏差=设定值-测量值 '本次偏差
if 偏差>-0.5 and 偏差<0.5 then '偏差小于阈值
增量=0 '增量为零
else
比例=比例系数*(偏差-偏差1) '否则计算比例作用
if 积分时间=0 then
积分=0 '如果积分时间=0，则无积分作用
else
积分=比例系数*采样周期*偏差/积分时间 '否则计算积分作用
endif
微分=比例系数*微分时间*(偏差-2*偏差1+偏差2)/采样周期'计算微分作用
增量=比例+积分+微分 '增量输出
endif
位置=前次位置+增量 '位置输出
if 位置>=位置最大值then 位置=位置最大值 '超出位置最大值，位置＝位置最大值
if 位置<=位置最小值then 位置=位置最小值 '超出位置最小值，位置＝位置最小值
前次位置=位置 '为下循环准备

4.积分分离 PID控制（IPID）算法
积分分离PID算法是人为地设定一个阈值e，当系统偏差 时，即系统的偏差较大时，只采用PD控制，这样可以避免较大的超调，又使系统有较好的快速性；当 时，即系统的偏差较小时，加入积分作用，采用PID控制，可保证系统有较高的精度。
在MCGS工控组态软件中对应的脚本程序如下：
偏差2=偏差1 '上上次偏差
偏差1=偏差 '上次偏差
偏差=设定值-测量值 '本次偏差
比例=比例系数*(偏差-偏差1) '比例作用
if 积分时间=0 or 偏差>1 or 偏差<-1 then '如果积分时间=0或偏差太大
积分=0 '无积分作用
else
积分=比例系数*采样周期*偏差/积分时间 '否则计算积分作用
endif
微分=比例系数*微分时间*(偏差-2*偏差1+偏差2)/采样周期 '微分作用
增量=比例+积分+微分 '增量输出
位置=前次位置+增量 '位置输出
if 位置>=位置最大值then 位置=位置最大值 '超出位置最大值，位置＝位置最大值
if 位置<=位置最小值then 位置=位置最小值 '超出位置最小值，位置＝位置最小值
前次位置=位置 '为下循环准备

5.不完全微分PID控制（DPID）算法
不完全微分PID控制算法时为了避免误差扰动突变时微分作用的不足。其方法是在PID算法

中加入一个一阶惯性环节（低通滤波器） ，即构成不完全微分PID控制算法，

在此基础上进行离散化后可得出其递推公式。
在MCGS工控组态软件中对应的脚本程序如下：
偏差2=偏差1 '上上次偏差
偏差1=偏差 '上次偏差
偏差=设定值-测量值 '本次偏差
比例=比例系数*(偏差-偏差1) '比例作用
if 积分时间=0 then '如果积分时间=0无积分作用
积分=0
else
积分=比例系数* 采样周期*偏差/积分时间 '否则计算积分作用
endif
if 微分时间=0 then '如果微分时间=0无微分作用
微分=0
else
不全微分2=不全微分1
不全微分1=不全微分
微分增益=比例系数*微分时间/采样周期
不全微分系数=微分时间/(微分增益+微分时间)
不全微分=不全微分系数*不全微分1+比例系数*(偏差-偏差1)/(采样周期+微分时间/微分增益)
微分=比例系数*微分时间*(偏差-2*偏差1+偏差2)/(采样周期+微分时间/微分增益)+比例系数*不全微分系数*(不全微分1-不全微分2) '否则计算微分作用
endif
增量=比例+积分+微分 '增量输出
位置=前次位置+增量 '位置输出
if 位置>=位置最大值then 位置=位置最大值 '超出位置最大值，位置＝位置最大值
if 位置<=位置最小值then 位置=位置最小值 '超出位置最小值，位置＝位置最小值
前次位置=位置 '为下循环准备

控制器参数整定

控制器参数整定：指决定调节器的比例系数Kp、积分时间Ti、微分时间Td和采样周期Ts的具体数值。整定的实质是通过改变调节器的参数，使其特性和过程特性相匹配，以改善系统的动态和静态指标，取得最佳的控制效果。
整定调节器参数的方法很多，归纳起来可分为两大类，即理论计算整定法和工程整定法。理论计算整定法有对数频率特性法和根轨迹法等；工程整定法有凑试法、临界比例法、经验法、衰减曲线法和响应曲线法等。工程整定法特点不需要事先知道过程的数学模型，直接在过程控制系统中进行现场整定方法简单、计算简便、易于掌握。

凑试法
按照先比例（P）、再积分（I）、最后微分（D）的顺序。
置调节器积分时间Ti=∞，微分时间Td=0，在比例系数Kp按经验设置的初值条件下，将系统投入运行，由小到大整定比例系数Kp。求得满意的1/4衰减度过渡过程曲线。
引入积分作用（此时应将上述比例系数Kp设置为5/6 Kp）。将Ti由大到小进行整定。
若需引入微分作用时，则将Td按经验值或按Td=（1/3～1/4）设置，并由小到大加入。
临界比例法
在闭环控制系统里，将调节器置于纯比例作用下，从小到大逐渐改变调节器的比例系数，得到等幅振荡的过渡过程。此时的比例系数称为临界比例系数Ku，相邻两个波峰间的时间间隔，称为临界振荡周期Tu。
临界比例度法步骤：
1、将调节器的积分时间Ti置于最大（Ti=∞），微分时间置零（Td=0），比例系数Kp适当，平衡操作一段时间，把系统投入自动运行。
2、将比例系数Kp逐渐增大，得到等幅振荡过程，记下临界比例系数Ku和临界振荡周期Tu值。
3、根据Ku和Tu值，采用经验公式，计算出调节器各个参数，即Kp、Ti和Td的值。
按“先P再I最后D”的操作程序将调节器整定参数调到计算值上。若还不够满意，可再作进一步调整。
临界比例度法整定注意事项：
有的过程控制系统，临界比例系数很大，使系统接近两式控制，调节阀不是全关就是全开，对工业生产不利。
有的过程控制系统，当调节器比例系数调到最大刻度值时，系统仍不产生等幅振荡，对此，就把最大刻度的比例度作为临界比例度进行调节器参数整定。
经验法
用凑试法确定PID参数需要经过多次反复的实验，为了减少凑试次数，提高工作效率，可以借鉴他人的经验，并根据一定的要求，事先作少量的实验，以得到若干基准参数，然后按照经验公式，用这些基准参数导出PID控制参数，这就是经验法。
临界比例法就是一种经验法。这种方法首先将控制器选为纯比例控制器，并形成闭环，改变比例系数，使系统对阶跃输入的响应达到临界状态，这时记下比例系数Ku、临界振荡周期为Tu，根据Z－N提供的经验公式，就可以由这两个基准参数得到不同类型控制器的参数，如表2－1所示。
表2－1 临界比例法确定的模拟控制器参数
控制器类型
Kp
Ti
Td
P
0.5 Ku

PI
0.45 Ku
0.85Tu

PID
0.6 Ku
0.5Tu
0.12Tu
这种临界比例法使针对模拟PID控制器，对于数字PID控制器，只要采样周期取的较小，原则上也同样使用。在电动机的控制中，可以先采用临界比例法，然后在采用临界比例法求得结果的基础上，用凑试法进一步完善。
表2－1的控制参数，实际上是按衰减度为1/4时得到的。通常认为1/4的衰减度能兼顾到稳定性和快速性。如果要求更大的衰减，则必须用凑试法对参数作进一步的调整。
采样周期的选择
香农（Shannon）采样定律 ：为不失真地复现信号的变化，采样频率至少应大于或等于连续信号最高频率分量的二倍。根据采样定律可以确定采样周期的上限值。实际采样周期的选择还要受到多方面因素的影响，不同的系统采样周期应根据具体情况来选择。
采样周期的选择，通常按照过程特性与干扰大小适当来选取采样周期：即对于响应快、（如流量、压力）波动大、易受干扰的过程，应选取较短的采样周期；反之，当过程响应慢（如温度、成份）、滞后大时，可选取较长的采样周期。
采样周期的选取应与PID参数的整定进行综合考虑，采样周期应远小于过程的扰动信号的周期，在执行器的响应速度比较慢时，过小的采样周期将失去意义，因此可适当选大一点；在计算机运算速度允许的条件下，采样周期短，则控制品质好；当过程的纯滞后时间较长时，一般选取采样周期为纯滞后时间的1/4～1/8。
参数调整规则的探索
人们通过对PID控制理论的认识和长期人工操作经验的总结，可知PID参数应依据以下几点来适应系统的动态过程。
1、在偏差比较大时，为使尽快消除偏差，提高响应速度，同时为了避免系统响应出现超调，Kp取大值，Ki取零；在偏差比较小时，为继续减小偏差，并防止超调过大、产生振荡、稳定性变坏，Kp值要减小，Ki取小值；在偏差很小时，为消除静差，克服超调，使系统尽快稳定，Kp值继续减小，Ki值不变或稍取大。
2、当偏差与偏差变化率同号时，被控量是朝偏离既定值方向变化。因此，当被控量接近定值时，反号的比列作用阻碍积分作用，避免积分超调及随之而来的振荡，有利于控制；而当被控量远未接近各定值并向定值变化时，则由于这两项反向，将会减慢控制过程。在偏差比较大时，偏差变化率与偏差异号时，Kp值取零或负值，以加快控制的动态过程。
3、偏差变化率的大小表明偏差变化的速率，越大，Kp取值越小，Ki取值越大，反之亦然。同时，要结合偏差大小来考虑。
4、微分作用可改善系统的动态特性，阻止偏差的变化，有助于减小超调量，消除振荡，缩短调节时间，允许加大Kp ，使系统稳态误差减小，提高控制精度，达到满意的控制效果。所以，在比较大时，Kd取零，实际为PI控制；在比较小时，Kd取一正值，实行PID控制。

自校正PID控制器

对于一个特定的被控对象，在纯比例控制的作用下改变比例系数可以求出产生临界振荡的振荡周期Tu和临界比例系数Ku。
根据Z－N条件，有
T=1.0 Tu
Ti= 5.0Tu
Td=0. 125Tu
代入（式2－5）则有：
Δuk＝Kp (2. 45 ek−−3. 5ek-1+1. 25e k-2) （式2－7）
很显然，采用上式可以十分容易的实现常数Kp的校正。

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