一维LOGISTIC映射研究模板.docx

一Introduction混沌是一种貌似无规则的运动, 指在确定性非线形系统中, 不需要附加任何随机因素亦可出现类似随机的行为( 内在随机性) , 这种过程即非周期又不收敛, 而且对初始值有极其敏感的依赖性, 因此从长期意义上讲, 系统的未来行为是不可预测的。一维Logistic映射从数学形式上来看就是一个非常简单的混沌映射, 早在20世纪50年代, 就被生态学家用来描述种群的变化, 另外, 基于变形Logistic映射的混沌流密码算法, 在保密通讯领域应用也十分广泛。一维Logistic映射描述如下: Xn+1=FXn=Xn1-Xn其中0xn1,nZ,04, 该模型看起来简单, 而且是确定性的, 但具有极为复杂的动力学行为, 产生的序列由和X的初始值控制, 这两个值任何一个出现微小差别时, 所产生的序列将会完全不同。本文即以FORTRAN90为编程语言, 对一维Logistic映射的性质进行了探索。二explainprogramming程序包括module、 主程序和若干子程序, 下面对各部分一一作简单介绍。2.1moduleModuleuseful中封装了所有全局变量, 需要使用这些变量的函数只要写入usemoduleuseful语句即可。Moduleuseful中,习题要求的最大迭代步数1000、 输出最后10步结果等, 均以常量的形式写入; 由于希望观察在不同下系统特性, 因此使用了一个可变大小数组, 在程序运行中根据输入条件动态取得一系列数值。考虑到非线形迭代对数值非常敏感, Module及程序其它地方声明的实数均为双精度浮点数。2.2主程序Programmain中主要调用各个子程序, 并将部分结果写入输出文件。由于程序在最初调试时, 只设计了一个, 调试成功后, 为简单起见, 将多个的循环部分放在主程序中。2.3子程序子程序依次包括input、 pretreat、 iterative和compare, 分别叙述如下: Input():输入参数的最小值k0和最大值kn, 以及希望在k0到kn之间划分的多少等份imk; 输入x序列的初始值x0。程序中判断, 如果取值范围不满足要求, 提示重新输入。Pretreat(): 对输入进行预处理。希望得到当在k0到kn之间变化的多个结果, 因此根据输入的imk将区间k0,kn进行等分, 当imk取1时, 参数取kn值。Iterative(): 主程序中循环调用该子程序, 根据一维Logistic映射公式递归计算Xn序列,程序中用实数数组xval()表示。Compare(): 分析Xn序列特性, 是程序的关键部分。算法叙述如下: 1) 从序列点X2开始遍历, 直至X1000, 执行以下操作; 2) 对点Xn, 向前搜索20个点( n20时, 搜索到X1停止) ,按就近原则逐一比较, 若有Xn-Xm20, 则认为chaotic, 输出值为0) 由图可知, 当1时, 产生的序列为一固定值, 等于零; 当3时, 系统有稳态解, 即解是不动点, 周期数为1, 由理论可知, 此时解为1-1/, 与初始值X0无关; 当在3附近时, 系统的稳态解由周期数1变为周期数2, 这是一个一分为二的分叉过程; 当在3.45附近时, 系统的稳态解由周期2变为周期4, 随着参数的不断增大, 周期数不断加倍, 产生的序列值周而复始的在有限个周期轨道之间重复, 当在3.6附近时系统进入混沌状态。(a)序列值随变化(b)周期数随变化图1=0.001,4, X0=0.6在输入中重新界定的范围, 能够方便的研究不同区间内的特性。根据上图结果, 选取了两个有意思的区间进行观察, 分别是3.5,3.7和3.7,3.9, imk取1000, X0取0.6, 结果如下。能够发现, 周期数除了上述观察到的2、 4、 8还出现了3、 6、 9更多的周期数, 可能将程序中搜索的区域( 当前是搜索邻近20个点判断是否有周期出现) 扩大也能获得。同时, 能够注意到, 混沌区中有些空白的窗口, 这种窗口与初始值的选择无关, 观察到, 最大的空白窗口是周期数3的窗口, 它出现在3.828附近, 图(b)的结果更为直观, 且图中零星分布的点表示, 这样的周期窗口很多, 且分布似乎没有规律。(a)序列值随变化(b)周期数随变化图2=3.5,3.7, X0=0.6(a)序列值随变化(b)周期数随变化图3=3.7,3.9, X0=0.6在上述观察到的混沌区中, 选取一个以便观察系统对Xn序列初值的敏感度, 不妨取=3.82, X0分别取0.6和0.60001,初值的误差甚至小于程序中用于判断两个变量相等的error,同样的, 程序只在imk取1时会有以下输出, 结果如下图, 由于整个序列不便于比较, 只截取了前后各约50个点。有图可知, 在前20个序列点, 数据基本还保持一致, 随着迭代步数逐渐增大, 误差被逐渐放大, 极为相近的初值, 得到的结果却迥异。(a)(b)图4=3.82,序列值随迭代步数变化五调试和改进该程序的最终版本能够执行对参数的区间进行运算, 获得每一个对应的Xn序列, 并进行分析, 寻找序列有无周期, 周期数是多少。调试过程按由简单到复杂, 循序渐进的开展, 先编写对单个输入的代码, 调试经过后再编写完整的程序。程序中并没有复杂的语句, 工作的难点在于寻找序列周期的算法, 如何获得有效的周期数是关键。下一步工作能够考虑对程序的功能进一步扩展, 如对序列值的上下限进行分析, 以及序列值的聚集区间分析, 由前述工作能够发现, 当参数4时, 序列值并没有充满(0,1)空间, 且分布不均匀, 能够试图经过程序对数据进行统计分析。六总结作者经过应用FORTRAN语言, 编写一维Logistic映像的分析程序, 在实践中得到了锻炼, 在重复的调试中也颇有收获。