财务管理作业期权二叉树.doc
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1、财务管理作业22、(1)期权的价值是股票的价格减去执行价的现值,所以 C0=80-70/1.06=13.96(美元) (2)防止套利的存在,得出看涨期权的价值是 80=(95-75)/(95-90)C+75/1.06 所以C0=2.31(美元)23、(1)期权的价值是股票的价格减去执行价的现值,所以 C0=70-45/1.05=27.14(美元) (2)防止套利的存在,得出看涨期权的价值是 70=2 C0+60/1.05 所以C0=6.43(美元)24、 利用买卖期权平价求解看跌期权的价格 61+P=65e-0.026 *3/12+4.12 所以P=7.70(美元)30、 看张期权的期限Del
2、ia是N(d1),所以 d1=(87/85)+(0.05+0.562 /2)*0.75/()=0.3678 所 以N(d1)=0.6435 所以看张期权的Delia是0.64,看跌期权的Delia=0.64-1=-0.36 Delia表示一个标的资产每变化1美元时,期权价格的变化量。31、 用B-S模型期权定价模型,股票价格为160万美元,执行价格为 175美元,所以 d1=(1600000/1750000)+(0.05+0.022/2)*(12/12)/ (0.20*)=-0.0981 d2=-0.0981-(0.20*)=-0.2981 进而求得N(d1)=0.4609 N(d2)=0.3
3、828 将这些值 代入B-S公式,可得 C=1600000*0.-0.05*1*0.3828=100231.18(美元)34、 股票价格可能增长15%,也可能下降15%。所以到期时股票价格 可能为 股票价格(增长)=75*(1+0.15)=86.25(美元) 股票价格(下降)=75*(1-0.15)=63.75(美元)两种情况下的收益都是股票的价格减去执行价格与0的最大值, 所以 股价上升的收益=Max*86.25-70 ,0=16.25(美元) 股票下降的收益=Max*63.75-70 ,0=0(美元) 股价上升时风险中性的概率是 股价上升的概率=(0.15+0.12)/(0.15+0.15
4、)=0.90 股价下降的概率=1-0.90=0.10 所以,看涨期权风险中性的价值是 看涨期权的价值=(0.90*16.25)+(0.10*0)/(1+0.08) =13.06(美元)35、 股票价格上升或下降,期权收益将保持不变,因为股价的变化量 是一样的。股票的价格增长后新的风险中性概率为 股票价格上升概率=(0.08+0.15)/(0.15+0.15)=0.7667 股票价格下降概率=1-0.7667=0.2333所以看涨期权价格的风险中性价值为:看涨期权价值=(0.7667*16.25+0.2333*0)/(1+0.15)=11.54(美元) 36、如果行权价格为0,看涨期权价值等于股
5、票价值,即85美元。 44、(1)为了用二叉树模型解决这个问题,首先需要画出一个包含股票当前价格和期权到期时股票的可能价格的股票价格二叉树。然后,还需要给期权画一个类似的二叉树,该二叉树指明在两种可能的股价变动下,到期时期权的价值是多少。 股票价格 110美元执行价格的看涨期权今天 一年后 今天 一年后 125 15 =Max(0,125-110)100 ? 80 0 =Max(0,80-110) 今天的股票价格是100美元,1年后它可能上涨到125美元,也可能下跌到80美元。如果股票上涨到125美元,看涨期权执行价格是110美元,那么到期时其持有者将获得15美元的收益。如果股票下降到80美元
6、,期权持有者不会执行期权,到期时收益为0。如果股票的价格上升,期间收益率为25%,如果 股票价格下降,期间收益率为-20%。可用下面的表达式来确定股票价格上升时的风险中性概率 无风险利率=股价上涨率*增长受益+股价下跌概率*下降收益0.025=股价上涨概率*0.25+(1-股价上涨概率)*(-0.20) 得股价上涨概率=50%这就是说,股票价格下降的风险中性概率为 股价下跌概率=1-0.5=50%用风险中性概率,可以得到看涨期权在到期日的期望收益 到期日的期望收益=0.50*15+0.50*0=7.50(美元)应为这个收益在1年以后才发生,必须折现。由于适应风险中性概率,还可以利用无风险收益率
7、,所以 到期日期望收益的现值=7.50/1.025=7.32(美元)所以,给定1年后股价波动信息,一个行权价为110美元,1年后到期的欧式看涨期权的现值是7.32美元。(2) 是的。有办法创设一种和刚才描述的看涨期权具有相同收益情况的合成的看涨期权。为了做到这一点,需要以无风险利率借入资金购买股票。购买股票的数量取决于期权的Delia值,而Delia又由下面的等式决定 Delia=15/45.0.3333因此,创设一个合成看涨期权的第一步应该购买1/3份股票,股票的现价为100美元每股,所以购买1/3股票花费33.33美元。为了决定借款量,需要比较看涨期权的收益和到期时1/3份股票的收益看涨期
8、权 如果股票价格上涨为125美元 收益=15美元 如果股票价格下跌为80美元 收益=01/3份股票到期时的收益 股票价格上升到125美元 收益=1/3*125=41.66(美元) 股票价格下降到80美元 收益=1/3*80=26.66(美元)合成看涨期权的收益应该跟实际看涨期权收益相同。可是买入1/3份股票在到期时无论股票上升还是下降都获得了超过实际期权收益26.66美元的收益。为了使到期日的收益降低26.66美元,应该借入26.66美元的现值。一年后支付该26.66美元的债务降低收益,使其与实际到期收益相同。所以为了创设跟一执行价为110美元一年后到期的看涨期权一样的收益的合成期权,只需要购
9、买1/3的股票和借款26.01美元。 (3)因为购买1/3的股票的成本是33.33美元,借款是26.01美元,该合成期权的成本为 合成期权的成本=33.33-26.01=7.32(美元)这也是跟实际看涨期权有相同的价格,由于合成期权和实际期权的收益是一样的,公司对两者所愿意投入的资金也是一样的。45、(1)为了用二叉树模型解决这个问题,首先需要画出一个包含股票当前价格和期权到期时股票的可能价格的股票价格二叉树。接下来,还要为期权画一个类似的二叉树,该二叉树指明在两种可能的股价变动下,到期是期权的价值为多少。 股票价格 执行价格为40美元的看跌期权价格 今天 半年后 今天 半年后 60 0 =M
10、ax(0,40-60) 30 ? 15 25=Max(0,40-25) 今天的股票价格是30美元,半年后它可能下跌为15美元,也可能上涨为60美元。如果股票下跌为15美元,看跌期权将会被执行,相应的收益为25美元,如果股价上涨为60美元,看跌期权不会被执行,收益为0。若股票价格上升,期间收益率是100%,如果股票价格下降,期间收益率是-50%。可以用下面表达式来确定股票价格上升的风险中性概率。 无风险利率=股价上涨的概率*增长收益+股价下跌的概率*下降收益 0.10=股价上涨的概率*1+(1-股价上涨的概率)(-50%) 股价上涨的概率=40%进而求得 股价下跌的概率=1-40%=60%用风险
11、中性概率,可以得到看涨期权在到期日的期望收益为 到期日的期望收益=0.40*0+0.60*25=15.00美元现值为 PV(期望收益)=15.00/(1.21)1/2 =13.64美元所以该欧式看涨期权今天的现价是13.64美元。(2) 是的。有办法创设一种和刚才描述的看跌期权具有相同收益情况的合成的看跌期权。为了做到这一点,需要卖出股票并将获得资金以无风险利率借出去。需要卖出去的股票的数量取决于期权的Delia值,而Delia值由下式决定 Delia=期权价格的变动/股价的变动因为股票价格上升期权价为0,股票价格下降期权价为25美元,所以期权的涨落为-25美元。因为到期时股票价格或者是60美
12、元或者是15美元,所以股价的涨落为45美元。所以有 Delia=-25/45=-5/9因此,创设合成看跌期权的第一步是卖出5/9份股票,目前的股票交易价格是每股30美元,所有通过卖出5/9份股票可获得16.67美元(5/9*30)的收益。为了决定借出去的资金数量,需要比较实际看跌期权的收益和5/9份股票到期时的收益。 看跌期权的收益 股价上涨至60美元,收益为0美元 股价下跌至15美元,收益为25美元 5/9份股票的收益 股价上涨至60美元,收益=(-5/9)*60=-33.33美元 股价下跌至15美元,收益=(-5/9)*15=-8.33美元合成看跌期权的收益应该与实际看跌期权的收益相同。但
13、是,无论股价是上涨还是下跌,卖出5/9份股票都会使收益下降33.33美元,为了到期时的收益增加33.33美元,应该借出现值为33.33美元的资金。6个月后,将收到33.33美元,这将使得收益刚好等于实际看跌期权的价值。因此,借出的数额为 借出的数额=33.33/1.211/2=30.30美元(3) 因为卖出股票将产生正的16.67美元的现金流,借出数额为30.30美元,合成看跌期权的总成本为 合成看跌期权的总成本=30.30-16.67=13.64美元这跟实际看跌期权的价格相同。由于合成期权和实际期权的收益是一样的,公司对两者所愿意投入的资金也是一样的。46、(1)公司会购买3个月到期,行权价
14、格为375美元/盎司的看涨期权。当黄金的价格上涨超过375美元/盎司时,这个看涨期权能够弥补价格上涨给公司带来的损失,它使得公司购买黄金的最高价格为375美元/盎司。(2)为了用二叉树模型解决这个问题,首先需要画出一个包括标的资产当前价格和标的资产在期权到期时的可能价值的价格二叉树。接下来,还要为期权画一个类似的二叉树,该二叉树指明在两种可能的股价变动下,到期时期权的价值为多少。 黄金价格 行权价为375美元的看涨期权今天 三个月后 今天 三个月后 400 25 =Max(0,400-375) 350 ? 325 0 =Max(0,325-375) 今天黄金价格为每盎司350美元。如果价格上涨
15、到400美元,公司将行使行权价为375美元的看涨期权,并在到期日获得25美元的回报。如果黄金价格跌到325美元,该公司将不会行使期权,回报为0.如果黄金价格上升,在此期间的收益率是14.29%(400/350-1)。如果黄金价格下降,在此期间的收益率是-7.14%(325/350-1)。使用下边的表达是来确定黄金价格上涨的风险中性概率:无风险利率=股价上升的概率*上升的收益率+(1-股价上升的概率)*下降的收益率0.04=股价上升的概率*0.1429+(1-股价上升的概率)*(-0.0714)股价上升的概率=52%下降的概率=1-52%=48%用风险中性的概率,可以得到看涨期权在到期日的期望收
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