海南省嘉积中学11-12学年高二上学期教学质量监测二(数学理).doc

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2011-2012学年度第一学期高中教学质量监测（二）
高二数学科试题（理科）
（时间：120分钟 满分:150分）
欢迎你参加这次测试，祝你取得好成绩!
一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）
1．已知点，则点关于轴对称的点的坐标为( ）
A． B． C． D．
2．命题“若，则”的逆否命题为（ ）
A．若≥1，则≥1或≤－1 B．若或，则
C．若，则 D．若≥1或≤－1,则≥1
3．一物体做直线运动，其路程与时间的关系是,则此物体的初速度为（ ）
A． B． C． D．
4．抛物线的焦点到准线的距离是（ ）
A． B． C． D．
5．设在点处可导，且，则( ）
A． B． C． D．不存在
6．若，，,则的形状是（ ）
A．不等边锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
7．直线与椭圆的公共点的个数是（ ）
A． B． C． D．随值而改变
8．下面命题正确的个数是（ ）
①若,则与、共面；
②若，则、、、共面；
③若,则、、、共面；
④若，则、、、共面；
A． B． C． D．
9．若，，其中为实数且，则的一个必要不充分条件是（ )
A． B． C． D．
10．点P在曲线上移动，设点P处切线的倾斜角为，则角的范围是（ ）
A． B． C． D．
11．已知双曲线的左右焦点分别为、,点在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率的最大值为（ ）
A． B． C． D．
12．定义在上的函数满足，的导函数的图像如图所示，若两正数、满足,则的取值范围是( ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
13。若曲线表示双曲线，则的取值范围是 。
14。直线是曲线的一条切线,则实数 。
15.定积分的值为 。
16。已知命题：“≤0”的否定是真命题，则的取值范围是 。
三、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17。（本小题满分10分）已知函数过点，求函数在点处的切线方程。
18.（本小题满分12分）设命题：集合是集合的子集;命题：函数在上是增函数,若为真命题,为假命题，求实数的取值范围.
19。（本小题满分12分)求一条渐近线方程是，且过点的双曲线的标准方程,并求此双曲线的离心率.
20.（本小题满分12分）已知是边长为的正方形的中心,点、分别是、的中点，沿对角线把正方形折成直二面角；
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ)求二面角的余弦值；
（Ⅲ）求点到面的距离.
21.(本小题满分12分）已知,，若动点满足，点的轨迹为曲线。
(Ⅰ）求曲线的方程;
（Ⅱ）试确定的取值范围，使得对于直线：，曲线上总有不同的两点关于直线对称。
22.（本小题满分12分）已知函数（）,其中．
（Ⅰ）当时,讨论函数的单调性；
(Ⅱ）若函数仅在处有极值,求的取值范围；
（Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立,求的取值范围．
2011—2012学年度第一学期高中水平测试（二）
高二年级数学科(理科）参考答案
一、ADBCC ACCBD BD
二、13、 14、 15、4 16、
三、17。 已知函数过点，求函数在点处的切线方程。
解：由函数过点，则，得，即， ……2分
由, ……6分
则在点处的切线斜率， ……7分
可得切线的方程为， ……9分
即 ……10分
18.设命题：集合是集合的子集；命题:函数在上是增函数，若为真命题，为假命题,求实数的取值范围.
解：命题为真命题,则, ……2分
命题为真命题，则，即， ……4分
由为真命题，为假命题，则、中一真一假, ……6分
若真假，则，此时无解, ……8分
若假真,则,即 ……10分
由此可知，的取值范围为. ……12分
19.求一条渐近线方程是，且过点的双曲线的标准方程，并求此双曲线的离心率.
解：由题意可设双曲线的方程为， ……3分
又点在双曲线上，则,得， ……6分
即双曲线的方程为，标准方程为， ……8分
由此可知，,, ……10分
离心率。 ……12分
F
B
Z
C
X
Y
D
E
A
O
20。已知是边长为的正方形ABCD的中心，点E、F分别是AD、BC的中点，沿对角线AC把正方形ABCD折成直二面角D—AC—B；
（Ⅰ）求∠EOF的大小；
（Ⅱ）求二面角E-OF—A的余弦值;
（Ⅲ）求点D到面EOF的距离。
解（Ⅰ)以O点为原点，以的方向为轴的正方向，建立如图所示的坐标系,则,,，，
， ……4分
（Ⅱ)设平面EOF的法向量为，则
，即，令，则，
得，
又平面FOA的法向量 为 ,,
二面角E—OF-A的余弦值为. ……9分
（Ⅲ），
∴点D到平面EOF的距离为. ……12分
21。已知，，若动点满足，点的轨迹为曲线.
（Ⅰ）求曲线的方程;
（Ⅱ）试确定的取值范围，使得对于直线：，曲线上总有不同的两点关于直线对称.
解：（Ⅰ）设,则,，，……1分
由,得， ……3分
化简可得, ……4分
(Ⅱ）设椭圆上关于直线对称的两个点为、,与的交点为,
则，且，不妨设直线的方程为, ……5分
代入椭圆方程，得，
即，…………①
由、是方程的两根,则，即， ……7分
由在直线上，则， ……8分
由点在直线：上，则，得， ……9分
由题意可知，方程①的判别式，
即,解得， ……11分
即. ……12分
22。（本小题满分12分）已知函数（），其中．
(Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若函数仅在处有极值，求的取值范围;
（Ⅲ）若对于任意的,不等式在上恒成立，求的取值范围．
（Ⅰ)解:．
当时，．
令，解得，，．
当变化时,，的变化情况如下表：

0

2

－
0
＋
0
－
0
＋

↘
极小值
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以在，内是增函数，在，内是减函数． ……4分
（Ⅱ）解：,显然不是方程的根．
为使仅在处有极值，必须成立，即有．
解些不等式,得．这时,是唯一极值．
因此满足条件的的取值范围是． ……8分
（Ⅲ）解：由条件，可知，从而恒成立．
当时，；当时，．
因此函数在上的最大值是与两者中的较大者．
为使对任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即,在上恒成立．
所以,因此满足条件的的取值范围是． ……12分
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