人教版高二上学期数学期末考试题.docx
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…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 绝密★启用前 2019年01月07日王老师的高中数学组卷 试卷副标题 考试范围:xxx;考试时间:100分钟;命题人:xxx 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷(选择题) 请点击修改第I卷的文字说明 评卷人 得 分 一.选择题(共12小题) 1.“m≥2”是“x2+2x+m≥0对任意x∈R恒成立”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2.长轴长为8,以抛物线y2=12x的焦点为一个焦点的椭圆的标准方程为( ) A. B. C. D. 3.已知双曲线E:(a>0,b>0)的渐近线方程是y=±2x,则E的离心率为( ) A.5 B. C. D. 4.甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图,甲乙两组数据的平均数分别为、标准差分别为σ甲、σ乙,则( ) A.<,σ甲<σ乙 B.<,σ甲>σ乙 C.>,σ甲<σ乙 D.>,σ甲>σ乙 5.已知方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,则m的取值范围是( ) A.m>2或m<﹣1 B.m>﹣2 C.﹣1<m<2 D.m>2或﹣2<m<﹣1 6.若角O终边上的点A(﹣,a)在抛物线x2=﹣4y的准线上,则cos2θ=( ) A. B. C.﹣ D.﹣ 7.把黑、白、红、蓝4张纸牌随机分组甲、乙、丙、丁4个人,每人分得一张,事件“甲分得蓝牌”与事件“乙分得蓝牌”是( ) A.不可能事件 B.对立事件 C.互斥但不对立事件 D.以上都不对 8.根据下表中的数据可以得到线性回归直线方程=0.7x+0.35,则实数m,n应满足( ) x 3 m 5 6 y 2.5 3 4 n A.n﹣0.7m=1。7 B.n﹣0。7m=1。5 C.n+0.7m=1。7 D.n+0。7m=1。5 9.胡萝卜中含有大量的β﹣胡萝卜素,摄入人体消化器官后,可以转化为维生素A,现从a,b两个品种的胡萝卜所含的β﹣胡萝卜素(单位:mg)得到茎叶图如图所示,则下列说法不正确的是( ) A.< B.a的方差大于b的方差 C.b品种的众数为3。31 D.a品种的中位数为3。27 10.如图,在四面体OABC中,M、N分别在棱OA、BC上,且满足=2,=,点G是线段MN的中点,用向量,,表示向量应为( ) A.=++ B.=﹣+ C.=﹣﹣ D.=+﹣ 11.已知点E是抛物线C:y2=2px(P>0)的对称轴与准线的交点,点F为抛物线C的焦点,点P在抛物线C上,在△EFP中,若sin∠EFP=μ•sin∠FEP,则μ的最大值为( ) A. B. C. D. 12.已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1,AD=AA1=2,AB=3,E是线段AB上一点,且AE=AB,F是BC中点,则D1C与平面D1EF所成的角的正弦值为( ) A. B. C. D. 第Ⅱ卷(非选择题) 请点击修改第Ⅱ卷的文字说明 评卷人 得 分 二.填空题(共4小题) 13.命题“"的否定为 . 14.已知双曲线C的方程为(a>0),过原点O的直线l与双曲线C相交于A、B两点,点F为双曲线C的左焦点,且AF⊥BF,则△ABF的面积为 . 15.袋中装有5个大小相同的球,其中3个黑球,2个白球,从中一次摸出2个球,则摸出1个黑球和1个白球的概率等于 . 16.已知F1、F2分别是椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点,过F2的直线l与E交于P、Q两点,若|PF2|=2|QF2|,且|QF1|=3|QF2|,则椭圆E的离心率为 . 评卷人 得 分 三.解答题(共6小题) 17.已知双曲线的方程是4x2﹣9y2=36. (1)求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程; (2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点,点P在双曲线上,且|PF1|•|PF2|=16,求∠F1PF2的大小. 18.已知命题;命题q:x∈B,B={x|﹣1﹣a<x<﹣1+a,a>0}. 若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围. 19.记关于x的不等式<0的解集为P,函数f(x)=()x﹣1,x∈[﹣1,0]的值域为Q. (1)若a=3,求P; (2)若x∈P是x∈Q的必要不充分条件,求正数a的取值范围. 20.4月7日是世界健康日,成都某运动器材与服饰销售公司为了制定销售策略,在成都市随机抽取了40名市民对其每天的锻炼时间进行调查,锻炼时间均在20分钟至140分钟之间,根据调查结果绘制的锻炼时间(单位:分钟)的频率分布直方图如图所示. (Ⅰ)根据频率分布直方图计算人们锻炼时间的中位数; (Ⅱ)在抽取的40人中从锻炼时间在[20,60]的人中任选2人,求恰好一人锻炼时间在[20,40]的概率. 21.设有三点A,B,P,其中点A,P在椭圆C:上,A (0,2),B (2,0),且. (1)求椭圆C的方程; (2)若过椭圆C的右焦点的直线l倾斜角为45°,直线l与椭圆C相交于E、F,求三角形OEF的面积. 22.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率与双曲线﹣=1的离心率互为倒数,且过点P(1,). (1)求椭圆C的方程; (2)过P作两条直线l1,l2与圆(x﹣1)2+y2=r2(0)相切且分别交椭圆于M、N两点. ①求证:直线MN的斜率为定值; ②求△MON面积的最大值(其中O为坐标原点). 第25页 共20页 ◎ 第26页 共20页 2019年01月07日王老师的高中数学组卷 参考答案与试题解析 一.选择题(共12小题) 1.“m≥2”是“x2+2x+m≥0对任意x∈R恒成立”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 【分析】首先找出x2+2x+m≥0对任意x∈R恒成立的等价条件,然后根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可. 【解答】解:x2+2x+m≥0对任意x∈R恒成立⇔△≤0⇔m≥1, ∵m≥2⇒m≥1,m≥1推不出m≥2, ∴“m≥2”是“x2+2x+m≥0对任意x∈R恒成立”的充分不必要条件. 故选:A. 2.长轴长为8,以抛物线y2=12x的焦点为一个焦点的椭圆的标准方程为( ) A. B. C. D. 【分析】求出抛物线的焦点坐标,利用椭圆的长轴,求出b,即可得到椭圆方程. 【解答】解:抛物线y2=12x的焦点(3,0), 长轴长为8,所以椭圆的长半轴为:4,半焦距为3,则b==. 所以所求的椭圆的方程为:. 故选:D. 3.已知双曲线E:(a>0,b>0)的渐近线方程是y=±2x,则E的离心率为( ) A.5 B. C. D. 【分析】根据双曲线渐近线的方程,确定a,b的关系,进而利用离心率公式求解. 【解答】解:∵双曲线﹣=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x, ∴,即b=2a, ∴, ∴离心率e=. 故选:D. 4.甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图,甲乙两组数据的平均数分别为、标准差分别为σ甲、σ乙,则( ) A.<,σ甲<σ乙 B.<,σ甲>σ乙 C.>,σ甲<σ乙 D.>,σ甲>σ乙 【分析】利用折线图的性质直接求解. 【解答】解:甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图, 甲乙两组数据的平均数分别为、标准差分别为σ甲、σ乙, 由折线图得:>,σ甲<σ乙, 故选:C. 5.若角O终边上的点A(﹣,a)在抛物线x2=﹣4y的准线上,则cos2θ=( ) A. B. C.﹣ D.﹣ 【分析】求出抛物线的准线方程,可得a=1,再由任意角的三角函数的定义,即可求得结论. 【解答】解:抛物线x2=﹣4y的准线为y=1, 即有a=1,点A(﹣,1), 由任意角的三角函数的定义,可得sinθ=,cosθ=﹣, ∴cos2θ==. 故选:A. 6.把黑、白、红、蓝4张纸牌随机分组甲、乙、丙、丁4个人,每人分得一张,事件“甲分得蓝牌”与事件“乙分得蓝牌”是( ) A.不可能事件 B.对立事件 C.互斥但不对立事件 D.以上都不对 【分析】根据题意,把黑、白、红、蓝4张纸牌随机分组甲、乙、丙、丁4个人,每人分得一张,事件“甲分得蓝牌”与事件“乙分得蓝牌”之外,还有“丙分得蓝牌"和“丁分得蓝牌”,事件“甲分得蓝牌”与事件“乙分得蓝牌"是互斥而不对立的事件. 【解答】解:根据题意,把黑、白、红、蓝4张纸牌随机分组甲、乙、丙、丁4个人, 每人分得一张,事件“甲分得蓝牌"与事件“乙分得蓝牌”之外, 还有“丙分得蓝牌”和“丁分得蓝牌”, ∴两者不是对立的, ∴事件“甲分得蓝牌”与事件“乙分得蓝牌"是互斥而不对立的事件. 故选:C. 7.根据下表中的数据可以得到线性回归直线方程=0。7x+0.35,则实数m,n应满足( ) x 3 m 5 6 y 2。5 3 4 n A.n﹣0。7m=1。7 B.n﹣0。7m=1.5 C.n+0.7m=1。7 D.n+0.7m=1.5 【分析】分别求出x,y的平均数,代入回归方程,求出n﹣0。7m的值即可. 【解答】解:由题意: =(3+m+5+6)=(14+m), =(2.5+3+4+n)=(9。5+n), 故(9。5+n)=0.7×(14+m)+0.35, 解得:n﹣0.7m=1.7, 故选:A. 8.如图,在四面体OABC中,M、N分别在棱OA、BC上,且满足=2,=,点G是线段MN的中点,用向量,,表示向量应为( ) A.=++ B.=﹣+ C.=﹣﹣ D.=+﹣ 【分析】利用空间向量加法法则直接求解. 【解答】解:∵在四面体OABC中,M、N分别在棱OA、BC上, 且满足=2,=,点G是线段MN的中点, ∴= =+ =+() =+[+()] =++()+() =++. 故选:A. 9.已知点E是抛物线C:y2=2px(P>0)的对称轴与准线的交点,点F为抛物线C的焦点,点P在抛物线C上,在△EFP中,若sin∠EFP=μ•sin∠FEP,则μ的最大值为( ) A. B. C. D. 【分析】设PE的倾斜角为α,则cosα=,当μ取得最大值时,cosα最小,此时直线PM与抛物线相切,将直线方程代入抛物线方程,△=0,求得k的值,即可求得λ的最大值. 【解答】解:过P(x轴上方)作准线的垂线,垂足为H, 则由抛物线的定义可得|PF|=|PH|,由sin∠EFP=μ•sin∠FEP, 则△PFE中由正弦定理可知:则|PE|=μ|PF|, ∴|PE|=μ|PH|, 设PE的倾斜角为α,则cosα=, 当μ取得最大值时,cosα最小,此时直线PM与抛物线相切, 设直线PM的方程为x=ty﹣,则, 即y2﹣2pty+p2=0, ∴△=4p2t2﹣4p2=0, ∴k=1,即tanα=1,则cos, 则μ的最大值为, 故选:C. 10.已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1,AD=AA1=2,AB=3,E是线段AB上一点,且AE=AB,F是BC中点,则D1C与平面D1EF所成的角的正弦值为( ) A. B. C. D. 【分析】以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出D1C与平面D1EF所成的角的正弦值. 【解答】解:以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系, ∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1,AD=AA1=2,AB=3, E是线段AB上一点,且AE=AB,F是BC中点, ∴D1(0,0,2),C(0,3,0),E(2,1,0),F(1,3,0), =(0,3,﹣2),=(2,1,﹣2),=(1,3,﹣2), 设平面D1EF的法向量=(x,y,z), 则,取y=1,得=(2,1,), 设D1C与平面D1EF所成的角为θ, 则D1C与平面D1EF所成的角的正弦值sinθ===. 故选:A. 11.胡萝卜中含有大量的β﹣胡萝卜素,摄入人体消化器官后,可以转化为维生素A,现从a,b两个品种的胡萝卜所含的β﹣胡萝卜素(单位:mg)得到茎叶图如图所示,则下列说法正确的是( ABC ) A.< B.a的方差大于b的方差 C.b品种的众数为3.31 D.a品种的中位数为3.27 【分析】利用茎叶图的性质求出a,b两组数据的平均数、方差、众数、中位数,由此能求出结果. 【解答】解:由茎叶图得: b品种所含β﹣胡萝卜素普遍高于a品种, ∴<,故A正确; a品种的数据波动比b品种的数据波动大, ∴a的方差大于b的方差,故B正确; b品种的众数为3.31与3.41,故C错误; a品种的数据的中位数为:=3。27,故ABC正确. 12.已知方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,则m的取值范围是( BD) A.m>2或m<﹣1 B.m>2 C.﹣1<m<2 D.﹣2<m<﹣1 【分析】先根据椭圆的焦点在x轴上m2>2+m,同时根据2+m>0,两个范围取交集即可得出答案. 【解答】解:椭圆的焦点在x轴上 ∴m2>2+m,即m2﹣2﹣m>0 解得m>2或m<﹣1 又∵2+m>0 ∴m>﹣2 ∴m的取值范围:m>2或﹣2<m<﹣1 故选:D. 13.已知函数f(x)=2sinxcosx﹣2sin2x,给出下列四个结论:其中正确结论的个数是(ab ) A.函数f(x)的最小正周期是π; B函数f(x)在区间[]上是减函数; C函数f(x)的图象关于点(﹣,0)对称; D函数f(x)的图象可由函数y=sin2x的图象向右平移个单位再向下平移1个单位得到. 【分析】利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式,求解函数的周期判断①的正误;利用函数的单调性判断②的正误;利用函数y=sinx的中心判断③的正误;函数的图象的变换判断④的正误; 【解答】解:f(x)=sin2x﹣2sin2x+1﹣1=sin 2x+cos 2x﹣1=sin(2x+)﹣1. A因为ω=2,则f(x)的最小正周期T=π,结论正确. B当x∈[]时,2x+∈[,],则sinx在[]上是减函数,结论正确. C因为f(﹣)=﹣1,则函数f(x)图象的一个对称中心为(﹣,﹣1),结论不正确. D函数f(x)的图象可由函数y=sin2x的图象向左平移个单位再向下平移1个单位得到,结论不正确. 故正确结论有AC, 二.填空题(共4小题) 14.命题“”的否定为 ∃x0>0,﹣lnx0>0 . 【分析】全称命题的否定为特称命题,注意量词的变化和否定词的变化. 【解答】解:由全称命题的否定为特称命题,可得 命题”的否定为为“∃x0>0,﹣lnx0>0” 故答案为:∃x0>0,﹣lnx0>0 15.已知双曲线C的方程为(a>0),过原点O的直线l与双曲线C相交于A、B两点,点F为双曲线C的左焦点,且AF⊥BF,则△ABF的面积为 9 . 【分析】利用双曲线的简单性质结合三角形的面积,转化求解即可. 【解答】解:双曲线C的方程为(a>0),过原点O的直线l与双曲线C相交于A、B两点, 点F为双曲线C的左焦点,且AF⊥BF,AF=m,BF=n,可得m+n=2a,m2+n2=4c2, 可得:m2+n2+2mn=4a2, 可得:mn=c2﹣a2=b2=9, 故答案为:9. 16.袋中装有5个大小相同的球,其中3个黑球,2个白球,从中一次摸出2个球,则摸出1个黑球和1个白球的概率等于 . 【分析】从中一次摸出2个球,基本事件总数n==10,摸出1个黑球和1个白球包含的基本事件个数m==6,由此能求出摸出1个黑球和1个白球的概率. 【解答】解:∵袋中装有5个大小相同的球,其中3个黑球,2个白球, 从中一次摸出2个球, 基本事件总数n==10, 摸出1个黑球和1个白球包含的基本事件个数m==6, ∴摸出1个黑球和1个白球的概率p=. 故答案为:. 17.已知F1、F2分别是椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点,过F2的直线l与E交于P、Q两点,若|PF2|=2|QF2|,且|QF1|=3|QF2|,则椭圆E的离心率为 . 【分析】由题意画出图形,由已知结合椭圆定义可得:|PF2|=a﹣ex1,|QF2|=a﹣ex2,再由焦半径公式求得P,Q的坐标,再把线段长度比转化为横坐标差的比值求解. 【解答】解:如图,设P(x1,y1),Q(x2,y2), 由|QF1|=3|QF2|,且|QF1|+|QF2|=2a,得4|QF2|=2a, 则|QF2|=, 又|PF2|=2|QF2|,∴|PF2|=a, 由焦半径公式得:|PF2|=a﹣ex1,|QF2|=a﹣ex2, 则a﹣ex1=a,a﹣ex2=, ∴,可得c=2•, ∴e=. 故答案为:. 三.解答题(共6小题) 18.已知双曲线的方程是4x2﹣9y2=36. (1)求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程; (2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点,点P在双曲线上,且|PF1|•|PF2|=16,求∠F1PF2的大小. 【分析】(1)化简双曲线方程为标准方程,然后求解焦点坐标、离心率和渐近线方程; (2)通过双曲线的定义以及余弦定理转化求解即可. 【解答】解:(1)解:由4x2﹣9y2=36得,所以a=3,b=2,, 所以焦点坐标,,离心率,渐近线方程为. (2)解:由双曲线的定义可知||PF1|﹣|PF2||=6, ∴ = =, 则∠F1PF2=60°. 19.已知命题;命题q:x∈B,B={x|﹣1﹣a<x<﹣1+a,a>0}. 若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围. 【分析】命题={x|(x﹣2)(x+3)<0}.命题q:x∈B,B={x|﹣1﹣a<x<﹣1+a,a>0}.根据p是q的必要不充分条件,即可得出. 【解答】解:命题={x|(x﹣2)(x+3)<0}=(﹣3,2).命题q:x∈B,B={x|﹣1﹣a<x<﹣1+a,a>0}. ∵p是q的必要不充分条件,∴,解得0<a≤2. ∴实数a的取值范围是(0,2]. 20.记关于x的不等式<0的解集为P,函数f(x)=()x﹣1,x∈[﹣1,0]的值域为Q. (1)若a=3,求P; (2)若x∈P是x∈Q的必要不充分条件,求正数a的取值范围. 【分析】(1)a=3时,P={x|<0},由此能求出结果. (2)求出Q={x|0≤x≤2},p={x|<0},由此利用x∈P是x∈Q的必要不充分条件,能求出正数a的取值范围. 【解答】解:(1)x的不等式<0的解集为P, a=3时,P={x|<0}={x|﹣1<x<3}. (2)∵函数f(x)=()x﹣1,x∈[﹣1,0]的值域为Q. Q={x|0≤x≤2},p={x|<0}, x∈P是x∈Q的必要不充分条件, ∴正数a的取值范围是(2,+∞). 21.4月7日是世界健康日,成都某运动器材与服饰销售公司为了制定销售策略,在成都市随机抽取了40名市民对其每天的锻炼时间进行调查,锻炼时间均在20分钟至140分钟之间,根据调查结果绘制的锻炼时间(单位:分钟)的频率分布直方图如图所示. (Ⅰ)根据频率分布直方图计算人们锻炼时间的中位数; (Ⅱ)在抽取的40人中从锻炼时间在[20,60]的人中任选2人,求恰好一人锻炼时间在[20,40]的概率. 【分析】(Ⅰ)由频率分布直方图得锻炼时间在[20,40)的频率为0。05,锻炼时间在[40,60)的频率为0。15,锻炼时间在[60,80)的频率为0.4,由此能求出人们锻炼时间的中位数. (Ⅱ)由频率分布直方图得锻炼时间在[20,40)的人数为2,设这2人为x1,x2,锻炼时间在[40,60)的人数为6,设这6人为y1,y2,y3,y4,y5,y6,从这8人中任取2人,利用列举法能求出恰好一人锻炼时间在[20,40]的概率. 【解答】解:(Ⅰ)由频率分布直方图得锻炼时间在[20,40)的频率为0。0025×20=0。05, 锻炼时间在[40,60)的频率为0。0075×20=0。15, 锻炼时间在[60,80)的频率为0。0200×20=0。4, ∴锻炼时间的中位数在[60,80)内, 设中位数为x,则0。05+0。15+(x﹣60)×0.02=0。5, 解得x=75, ∴人们锻炼时间的中位数为75分钟. (Ⅱ)由频率分布直方图得锻炼时间在[20,40)的人数为0。0025×20×40=2,设这2人为x1,x2, 锻炼时间在[40,60)的人数为0。0075×20×40=6,设这6人为y1,y2,y3,y4,y5,y6, 从这8人中任取2人的不同取法有: (x1,x2),(x1,y1),(x1,y2),(x1,y3),(x1,y4),(x1,y5),(x1,y6), (x2,y1),(x2,y2),(x2,y3),(x2,y4),(x2,y5),(x2,y6),(y1,y2), (y1,y3),(y1,y4),(y1,y5),(y1,y6),(y2,y3),(y2,y4),(y2,y5), (y2,y6),(y3,y4),(y3,y5),(y3,y6),(y4,y5),(y4,y6),(y5,y6), 其中恰有1人锻炼时间在[20,40)内的不同取法有12种, ∴恰好一人锻炼时间在[20,40]的概率p=. 22.设有三点A,B,P,其中点A,P在椭圆C:上,A (0,2),B (2,0),且. (1)求椭圆C的方程; (2)若过椭圆C的右焦点的直线l倾斜角为45°,直线l与椭圆C相交于E、F,求三角形OEF的面积. 【分析】(1)由已知求得b,设P(x,y),由向量等式求得P,再设椭圆方程为,把P的坐标代入椭圆方程求得a,则椭圆方程可求; (2)求出直线l的方程,与椭圆方程联立求得交点坐标,进一步求得EF的长度,再由点到直线距离公式求出O到直线l的距离,则三角形OEF的面积可求. 【解答】解:(1)由题意知,b=2,设P(x,y),A(0,2),B(2,0), 由,得(2,2)=,则, 设椭圆方程为,可得,即a2=8. ∴椭圆方程为; (2)c=. ∴直线l的方程为y=x﹣2,代入椭圆方程, 整理得:3x2﹣8x=0,则x=0或x=. ∴交点坐标为(0,﹣2)和(), ∴|EF|=,O到直线l的距离d=. ∴. 23.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率与双曲线﹣=1的离心率互为倒数,且过点P(1,). (1)求椭圆C的方程; (2)过P作两条直线l1,l2与圆(x﹣1)2+y2=r2(0)相切且分别交椭圆于M、N两点. ①求证:直线MN的斜率为定值; ②求△MON面积的最大值(其中O为坐标原点). 【分析】(1)求得双曲线的离心率,可得椭圆的离心率,由离心率公式和P满足椭圆方程,解方程可得a,b,即可得到所求椭圆方程; (2)①运用直线和圆相切的条件:d=r,同时联立直线方程和椭圆方程,运用韦达定理和直线的斜率公式,计算可得定值; ②设直线MN的方程为y=x+m,联立椭圆方程,运用韦达定理和弦长公式,以及点到直线的距离公式,以及三角形的面积公式,结合基本不等式即可得到所求最大值. 【解答】解:(1)双曲线﹣=1的离心率为=2, 可得椭圆C的离心率为,设椭圆的半焦距为c,所以a=2c, 因为C过点P,所以+=1,又c2=a2﹣b2, 解得a=2,b=,c=1, 所以椭圆方程为+=1; (2)①证明:显然两直线l1,l2的斜率存在, 设为k1,k2,M(x1,y1),N(x2,y2), 由于直线l1,l2与圆(x﹣1)2+y2=r2(0)相切,则有k1=﹣k2, 直线l1的方程为y﹣=k1(x﹣1), 联立椭圆方程3x2+4y2=12, 消去y,得x2(3+4k12)+k1(12﹣8k1)x+(3﹣2k1)2﹣12=0, 因为P,M为直线与椭圆的交点,所以x1+1=, 同理,当l2与椭圆相交时,x2+1=, 所以x1﹣x2=,而y1﹣y2=k1(x1+x2)﹣2k1=﹣, 所以直线MN的斜率k==; ②设直线MN的方程为y=x+m,联立椭圆方程3x2+4y2=12, 消去y得x2+mx+m2﹣3=0, 所以|MN|=•=, 原点O到直线的距离d=, △OMN的面积为S=••=• ≤•=, 当且仅当m2=2时取得等号.经检验,存在r(0<r<)), 使得过点P(1,)的两条直线与圆(x﹣1)2+y2=r2相切, 且与椭圆有两个交点M,N. 所以△MNO面积的最大值为.- 配套讲稿:
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